Теоретические основы работы газостатических опор. Монография

Из предположения об изотермичности процесса смазки – гипотезы, хорошо себя оправдавшей, следует, что можно исключить из рассмотрения уравнение баланса энергии (1.4), приняв T = const, а уравнение состояния (1.6) записать в виде

ãäå as = kRT = const – скорость звука в газе.

При этом вязкость газа также должна быть принята постоянной μ = const.

Инерционные силы смазочного слоя обычно пренебрежимо малы по сравнению с вязкими силами. Их эффекты могут проявляться лишь при очень малых толщинах смазочного слоя, которые, в основном, неприемлемы для газостатических опор. Поэтому можно положить в уравнениях движения смазки

èлевые части уравнений (1.2) заменить нулями.

Âсилу сделанных допущений система основных уравнений движения вязкого газа в смазочных слоях газовых опор значительно упрощается и сводится к следующей системе уравнений:

Пусть поверхности, ограничивающие смазочный слой, описываются соответственно уравнениями

В качестве граничных условий на смазываемых поверхностях для скоростей надо принять

vj = VAj ïðè q3 = qA; vj = Vbj ïðè q3 = qb; j = 1, 2, (1.13)

где компоненты скоростей точек смазываемых поверхностей VAj è Vbj считаются известными функциями координат q1, q2 и времени t.

11

Интегрируя первые два уравнения системы (1.11) при гранич- ных условиях (1.13), находим

Пользуясь формулами (1.14), легко устанавливаем, что

Теперь обратимся к последнему уравнению системы (1.11). Умножая обе его части на dq3 и интегрируя по q3 в пределах от qA äî qb, получаем

+ρ(Vb3 − Va 3 ) = 0.

Учитываем, что

12

+ρ(Vb 3 − Va 3 ) = 0.

Âтеории газовой смазки используются условия прилипания смазки к смазываемым поверхностям, вследствие чего частица смазочного вещества, находящаяся на смазываемой поверхности, имеет скорость соответствующей ей точки этой поверхности. Поэтому должны выполняться равенства

с учетом которых уравнение для распределения давлений записывается так:

Используя выражения для скоростей (1.14), после несложных вычислений находим

что позволяет записать уравнение (1.18) в виде дифференциального уравнения для определения давлений в смазочном слое (уравнение Рейнольдса):

13

Это уравнение справедливо и для несжимаемой смазки, когда ρ = const, и для газовой изотермической смазки, когда ρ = Cp. Для газовой смазки уравнение Рейнольдса удобно записать так:

Уравнение (1.20) можно представить в такой дивергентной форме:

Âобщем случае это нелинейное дифференциальное уравнение

âчастных производных второго порядка (квазилинейное относительно старших производных от квадрата давлений). В частном случае, когда движение смазки установившееся и смазываемые поверхности неподвижные, уравнение становится линейным относительно квадрата давлений.

Из уравнения (1.21) следует и такая операторная форма его записи:

двумерный оператор Лапласа.

Еще одна форма записи уравнения Рейнольдса, удобная для приложений, может быть получена, если за искомую функцию принять

Учитывая, что

14

H3 p2 = H S – 2S H,

уравнению (1.21) можно придать следующий вид:

В постановку задач теории газовой смазки входит задание

краевых условий на границах смазочного слоя Γ j ( j = 0, 1, 2, ..., n) следующего типа

где величины Pj должны предполагаться известными функциями граничных точек.

Âслучаях неустановившегося течения должны задаваться на- чальные значения распределения давлений в смазочном слое или условия периодичности во времени поля давлений, когда движение периодическое.

Âбольшинстве случаев для опор с принудительным вдувом газа давления на входе газа в смазочный слой заранее неизвестны

èподлежат определению в процессе решения задачи. Дополнительные условия, которые при этом ставятся, также носят нелинейный характер, как и сами уравнения Рейнольдса, что значительно усложняет решение соответствующих задач.

Важной характеристикой потока смазки в слое является его расход. Расход газа в единицу времени через контур l смазочного слоя определяется по формуле

qb

Q = ∫ ∫ ρv ndq3dl,

l qa

ãäå – единичный вектор нормали к контуру . n l

Используя формулу (1.14), находим

15

Для изотермической газовой смазки, принимая во внимание формулу (1.9), получаем

В уравнение Рейнольдса (1.20) входит величина зазора Í. Если движение смазки установившееся, то зазор считается известной функцией координат H = H (q1, q2). В общем случае H = H (q1, q2, t) и вид этой функции зависит как от формы смазываемых поверхностей, так и от их взаимного расположения в пространстве в каждый момент времени и определяется динамическим поведением системы. В таких случаях функция H может оказаться искомой функцией времени наряду с давлением.

1.2. Частные формы записи уравнения Рейнольдса

Основными типами опор с газовой смазкой являются плоские направляющие, плоские упорные, цилиндрические радиальные, а также конические и сферические радиально-упорные подшипники, исследование полей давлений в смазочных слоях которых удобно проводить в соответствующих ортогональных системах координат.

При анализе динамического поведения роторной системы с опорами на газовой смазке целесообразно пользоваться едиными для всей системы подвижными и неподвижными системами координат для единообразного описания явлений во всех смазочных слоях опор.

В общем случае и ротор, и подшипники могут находиться в движении. Специфика работы большинства машин такова, что относительные поступательные и угловые перемещения их подвижных элементов обычно должны оставаться малыми (линейные – порядка 10–3¾10–4 по сравнению с характерными размерами тел, угловые – порядка 10–3¾10–4 радиан). Это позволяет при выводе основных уравнений движения роторной системы пренебрегать малыми вели- чинами, имеющими порядок 10–3¾10–4, по сравнению с единицей. С такой точностью справедливо и само уравнение Рейнольдса.

Свяжем жестко с ротором систему подвижных координат O*x*y*z*, îñü O*z* которой совпадает с осью ротора. В общем случае

16

из-за статической неуравновешенности ротора его центр тяжести не лежит на оси O*z*.

Îñè O*x* è O*y* ортогональны к оси вращения. Положение центра тяжести ротора в этой системе координат определится век-

тором – = ( , , ), выходящим из начала координат. d dx dy dz

В качестве неподвижной системы координат Ox′y′z′ принимаем ту, с которой совпадает подвижная система координат в каком-либо равновесном положении (например, после сборки установки).

Единичный вектор z*o с точностью до величин высшего порядка малости может быть представлен в виде

Подшипники также могут быть подвижными и их положение в пространстве определяется аналогичными формулами, имеющими более конкретный вид в зависимости от типа подшипника. Установления вида уравнения Рейнольдса и вида функции H для конкретных типов подшипников приводится ниже.

Для плоских направляющих в качестве базовой поверхности S* целесообразно принять плоскость, с которой связана декартова система координат Oxyz, îñè Ox è Oy которой лежат в базовой плоскости. При этом

Q1 = x, Q2 = y, Q3 = z, H1 = H2 = H3 = 1.

Уравнение Рейнольдса в декартовых координатах имеет вид

Если смазываемые поверхности плоские и параллельные, то H = H(t), а вид функции H(t) либо задается, либо подлежит определению в процессе решения уравнения Рейнольдса совместно

17

с уравнениями движения тел, ограничивающих смазочный слой. В случаях, когда H = H(q1, q2, t), вид этой функции необходимо устанавливать по виду смазываемых поверхностей и закону их движения в пространстве.

Для плоского упорного подшипника в качестве координатной поверхности q3 = 0 принимаем такую неподвижную базовую плоскость z′= z′o, отклонения от которой точек смазываемых плоскостей имеют порядок δ << RH, ãäå RH – наружный радиус упорного подшипника. Используем неподвижные цилиндрические координаты r, φ, z. Обобщенные координаты выражаем через цилиндрические по формулам

В этом случае

x′ = r cosϕ, y′ = r sinϕ, z′ = zo′ + q3.

Òàê êàê |q3| << RH, то с точностью до величин порядка δ/RH по сравнению с единицей имеем

H1 = 1, H2 = R, H3 = 1,

Для упорного подшипника VaR = VbR = 0, Vaφ = ω1R, Vbφ = ω2R и уравнение Рейнольдса принимает вид

Зазор H в упорном подшипнике нетрудно найти в случае плоских смазываемых поверхностей. Пусть подвижная плоскость упорного подшипника, жестко связанного с ротором, в общем случае не ортогональна к оси ротора и ее положение относительно системы координат, жестко связанной с ротором, определяется единичным вектором нормали

18

При вращении единичные орты подвижной плоскости меняют свои проекции на неподвижные оси, что позволяет записать

x o = xo cosφ1 + yo sin φ1, y o = − xo sin φ1 + yo cosφ1,

z*o = α (t)xo + β(t) yo + z o ,

t

ãäå φ1 = ∫ω0dt + φo – угол положения подвижной плоскости относи-

0

тельно неподвижной.

Учитывая формулу (1.32) и последние формулы, можем записать

nQ = (αQ cosφ1 − βQ sin φ1 + α )xo + (αQ sin φ1 + βQ cosφ1 + β) yo + z o.

Таким образом, уравнение подвижной упорной плоскости в неподвижном пространстве определяется уравнением

(R − LQ z o − e ) nQ = 0,

ãäå R = (x´, y´, z´, t) – радиус-вектор положения произвольной точки подвижной плоскости в неподвижном пространстве.

Òàê êàê x′ = r cosϕ, y′ = r sinϕ , то с точностью до величин высшего порядка малости это уравнение можно записать в таком виде:

ãäå θ = α + iβ, θQ = αQ + iβQ .

По аналогии с (1.32) уравнение «неподвижной» упорной плоскости можно представить в виде

ãäå LN – осевая координата центра «неподвижной» упорной плоскости в «равновесном» состоянии; eNz – осевое смещение центра «неподвижной» упорной плоскости от «равновесного» положения;

θN = αN + ßN.

Зазор в упорном подшипнике определяется по формуле

ãäå C = LN − LQ , ε z = eNz − ez .

19

Для цилиндрического радиального подшипника в качестве координатной поверхности q3 = 0 принимаем такую неподвижную цилиндрическую поверхность радиуса r0 (базовую поверхность), отклонения от которой точек смазываемых поверхностей являются малыми порядка δ << r0.

Используем цилиндрическую систему координат r, φ, z′, ось которой Oz′ проходит по оси неподвижной базовой поверхности. Обобщенные координаты выражаем через введенные цилиндриче- ские следующим образом:

q1 = φ, q2 = z′, q3 = r – r0.

Âэтом случае

x′ = (ro + q3 ) cosϕ, y′ = (ro + q3 )sinϕ, z′ = z′.

Òàê êàê q3 << r0, то с точностью до величин порядка δ/r0 по сравнению с единицей легко находим

H1 = ro, H2 = 1, H3 = 1,

В радиальных подшипниках обычно Vаφ= ω1r1, Vbφ= ω2r2, Var= Vbr = 0, ãäå ω1 è ω2 соответственно частоты вращения внутреннего цилиндра (шипа) и наружного цилиндра (подшипника). С принятой точностью можно считать r1 = r2 = ro.

Уравнение Рейнольдса (1.19) для радиального цилиндрического подшипника принимает вид

Направление оси шипа определено вектором

z*o = α (t)xo + β(t) yo + z o.

Смещение центра ротора O* относительно неподвижного начала координат – точки O определено вектором

20