Теоретические основы работы газостатических опор. Монография

e = еx (t)xo + ey (t) yo + ez (t)z o.

Поэтому положение любой точки оси ротора можно представить таким вектором:

Если поверхности шипа и подшипника – круглые цилиндры, то в сечениях их плоскостью z′ = const образуются окружности с точностью до величин высшего порядка малости, радиусы которых r1 è r2 соответственно. Уравнение поверхности шипа в неподвижной цилиндрической системе координат легко получить, если учесть, что радиальная координата точки М, лежащей на поверхности шипа, равна

r = (a + O1M ) r o ,

ãäå O1 – центр сечения шипа плоскостью z' = const.

Вводим в рассмотрение оси O"x" è O"y" в плоскости z' = const, параллельные соответствующим неподвижным осям, учитывая малость перекоса оси ротора. Находим

21

Для конического подшипника смазываемые поверхности представляют собой круглые усеченные конусы одинакового угла полураствора Ф, причем обычно Ф < 85°. Для таких опор в качестве базовой поверхности q3 = 0 целесообразно принять такого же угла раствора неподвижный конус, отклонения от которого точек смазываемых поверхностей можно считать малыми. Конические координаты данной точки М вводим следующим образом. За координату q1 = R принимаем расстояние по образующей базового конуса от его вершины до основания перпендикуляра, опущенного из точки М на поверхность базового конуса. За координату q2 = φ принимаем двугранный угол, определяющий положение плоскости, проходящей через ось конуса и точку М, относительно некоторой неподвижной плоскости, содержащей ось конуса. В качестве координаты q3 принимаем расстояние от точки М до поверхности базового конуса, причем q3 > 0, если точка М лежит вне базового конуса. Введем в рассмотрение декартову систему координат O'x'y'z', начало которой совпадает с вершиной базового конуса, а положительная часть оси O'z' совпадает с внутренней частью оси базового конуса. Нетрудно убедиться, что декартовы координаты точки М связаны с коническими координатами следующими соотношениями:

x′ = (r sin Φ + q3 cos Φ) cosϕ,

y′ = (r sin Φ + q3 cos Φ) sinϕ,

(1.37)

z′ = r cos Φ − q3 sin Φ.

Коэффициенты Ламе для «конических» координат равны соответственно

H1 = 1, H2 = r sin Ф, H3 = 1.

Ïðè ýòîì

Уравнение Рейнольдса в «конических» координатах с учетом

òîãî, ÷òî Var = Vbr = 0, Vaφ = ω1R sinФ, Vbφ= = ω2R sinФ, принимает вид

22

В общем случае конические поверхности могут быть произвольно расположены друг относительно друга. Положение каждой из них можно определить радиусами-векторами их вершин и единичными ортами их осей

δa = δ ax xo + δay yo + δaz z o ,

δb = δ bx xo + δby yo + δbz z o ,

zao = α a xo + βa yo + z o , zbo = α b xo + βb yo + z o .

Рассмотрим сечения конусов плоскостью z' = const. В сечениях образуются эллипсы, которые с учетом малости перекосов осей можно считать окружностями. Координата q3 точки, лежащей на поверхности внутреннего конуса, определяется при этом

Аналогично записывается уравнение поверхности внешнего конуса

q3 = qb,

Местная толщина слоя в коническом подшипнике определяется по формуле

23

ãäå c = (δbz – δaz) sinФ, a = (δb – δa) cosФ + (θb – θa)R .

В случае сферического подшипника в качестве базовой поверхности принимаем такую неподвижную сферу радиуса ro, центр которой совпадает с началом декартовой системы координат O'x'y'z' и отклонения от которой точек смазываемых поверхностей имеют порядок δ << ro. Используем сферические координаты φ, ψ, r, ãäå óãîë ψ отсчитывается от оси O'z', óãîë φ определяет положение плоскости, проходящей через ось O'z' и заданную точку М, а r определяет расстояние от начала координат до точки М. Полагаем

q1 = φ, q2 = ψ, q3 = R – Ro,

тогда x′ = (ro + q3 ) sinψ cosϕ, (1.40) y′ = (ro + q3 )sinψ sinϕ,

z′ = (ro + q3 )cosψ .

Нетрудно установить, что в данном случае

H1 = ro sinψ , H2 = ro , H3 = 1,

В сферических подшипниках сферы обычно вращаются вокруг общей оси, поэтому

Vaψ = Vbψ = 0, Vaϕ = ω1r1 sinψ ,Vbψ = ω2r2 sinψ .

Уравнение Рейнольдса (1.19) для сферического подшипника имеет вид

24

Для определения зазора в сферическом подшипнике определим вначале вид уравнения внешней сферы в декартовых координатах. Пусть смещение центра внешней сферы определено вектором

eb = ebx xo + eby yo + ebz z o .

Нетрудно заметить, что радиальная координата точки внешней сферы может быть определена по формуле

rb = (r2 + eb ) r o .

Îðò r o имеет вид

r o = (sinψ cosϕ,sinψ sinϕ,cosψ ).

Учитывая, что угол между векторами r2 è r o мал, получаем

rb = r2 + ebx sinψ cosϕ + eby sinψ sinϕ + ebz cosψ .

Аналогично получаем для внутренней сферы

ra = r1 + eax sinψ cosϕ + eay sinψ sinϕ + eaz cosψ .

При этом зазор в сферическом подшипнике равен

1.3. Формулы для вычисления гидродинамического воздействия смазочных слоев на ротор и подшипники

Главные векторы гидродинамических сил, действующих на поверхности пары трения со стороны смазочного слоя, могут быть вычислены по формулам

ленной внутрь смазочного слоя; SA è Sb – области смазываемых поверхностей соответственно ротора и подшипника.

25

Главные моменты относительно начала неподвижной системы координат гидродинамических сил смазочного слоя, действующих на ротор и подшипник, определяются по формулам

ãäå rˆ– радиус-вектор текущей точки смазываемой поверхности. При необходимости вычисления главного момента сил, дей-

ствующих на ротор (подшипник), относительно какого-либо другого центра С, можно воспользоваться формулой теоретической механики

M C = M O′ − O′C × F.

J ,k =1

ãäå Tjk компоненты тензора напряжений в рассматриваемом базисе,

nj = no qjo .

В случае смазочного слоя n1 = 0, n 2 = 0, n3 = sign (no q3o ), а в силу сделанных допущений (1.8)

T33 = –p, T3j = Tj3 = τ3j = τj3, j = 1, 2.

Остальные компоненты тензора напряжений полагаются равными нулю. Следовательно, формула (1.45) преобразуется к виду

Tn = (τ31q1o + τ32q20 − pq3o )sign(no q3o ).

Используя формулу (1.14), находим

26

В случае гладкого упорного подшипника единичные орты цилиндрической системы координат выражаются через декартовы следующим образом:

q1о = r o = xo cosϕ + yo sinϕ, q2о = ϕ o = − xo sinϕ + yo cosϕ, q3о = z o .

В рассматриваемом случае

Обращаясь к формулам (1.45)–(1.46), можем записать

Без особых затруднений находим

Tnx = (τ zr cosϕ − τ zϕ sinϕ )sign(no z o ),

Tny = (τ zr sin ϕ + τ zϕ cosϕ )sign(n o z o ),

Tnz = − psign(n o z o ).

Векторное произведение векторов r è Tn может быть вычислено по формуле

Теперь нетрудно записать формулы для главного вектора и главного момента системы сил, действующих на шип со стороны смазочного слоя упорного подшипника. В соответствии с формулами

27

(1.43)–(1.44), (1.47), с учетом того, что для шипа sign(n o z o ) = 1, будем иметь

Fax + iFay = ∫∫ (τ zr + iτ zϕ ) exp(iϕ )dS , Faz = − ∫∫ pdS,

S S

M az = ∫∫ (rτ zϕ )xp(iϕ )dS.

S

В случае круглого радиального цилиндрического подшипника

единичные орты цилиндрической системы координат выражаются через декартовы следующим образом:

q1o = ϕ o = − x o sin ϕ + y o cosϕ,

q2o = z o ,

q3o = x o cosϕ + y o sin ϕ.

В рассматриваемом случае τ31 = τRφ, τ32 = τRz, причем

Используя формулы для единичных векторов, находим

28

Главный вектор и главный момент системы сил, действующих на шип со стороны смазочного слоя круглого радиального цилиндрического подшипника, определяются по формулам

В случае конического подшипника единичные орты кониче- ской системы координат выражаются через декартовы следующим образом:

q1o = r o = x o sin Φ cos ϕ + y o sin Φ sin ϕ + z o cos Φ, q2o = ϕ o = − x o sin ϕ + y o cos ϕ,

q3o = ν o = x o cos Φ cos ϕ + y o cos Φ sin ϕ − z o sin Φ.

29

В рассматриваемом случае τ31 = τvR, τ31 = τvφ, причем

Используя формулы для единичных векторов, находим

Tnx = (τνr sin Φ cosϕ − τνϕ sin ϕ − p cos Φ cosϕ )sign(n o q3o )Т,

Tny = (τν r sin Φ sin ϕ + τνϕ cos ϕ − p cos Φ sin ϕ )sign(n o q3o ),

Tnz = (τν r cos Φ + p sin Φ)sign(n o q3o ).

Ïðè ýòîì

Главный вектор и главный момент системы сил, действующих на шип со стороны смазочного слоя конического подшипника, определяется по формулам

Fax + iFay = ∫∫(− p cos Φ + τνr sin Φ + iτνϕ ) exp(iϕ )dS,

S

Faz = − ∫∫(τνr cos Φ + p sin Φ)dS,

S

30