Теоретические основы работы газостатических опор. Монография

Åñëè h не является периодической функцией времени, то, не нарушая общности, можно принять, что при t = t0 ht = 0, а функции

st, xtj è xtj удовлетворяют нулевым начальным условиям

141

означающим, что нестационарное движение развивается из стационарного с момента времени t0, когда система была выведена из равновесного состояния.

Åñëè æå ht – периодическая функция времени

то следует считать, что и функции st, xtj è xtj – периодические и с

тем же периодом

Полученные уравнения малых возмущений (5.45) справедливы для любых конечных значений параметра Λ. Но так как в них входит функция sΛ, методы определения которой, как сказано выше, разработаны только для «малых» чисел сжимаемости Λ, то найти функцию st из этих уравнений мы можем лишь для «малых» значений числа сжимаемости Λ.

Отметим, что система уравнений (5.45) линейная. В случае периодических задач, когда

решение этих уравнений может быть найдено в виде

ãäå ω* – частота колебаний смазываемых поверхностей.

Для решения непериодических задач одним из наиболее эффективных методов решения является метод преобразования Лапласа по времени, которому подвергаются все функции, входящие в уравнения (5.45).

142

5.4.Метод расчета статических полей давлений

âсмазочных слоях газостатических опор

ñпостоянным зазором без учета вращения вала

Рассмотрим сначала случай опоры с постоянным зазором (h = const). Функцию s, отвечающую этому случаю, обозначим через s00. На основе уравнений (5.32) для определения функции s00 имеем краевую задачу

Квадраты давлений на кромках питателей x00j определяются из условий баланса расходов газа для питателей:

j = 1, 2, …, N.

Âсилу линейности краевой задачи (5.51)–(5.52) будем искать

ååрешение в виде

k =1

ãäå Bk – неизвестные постоянные, подлежащие определению. Обозначим через Ω–k область, занятую смазочным слоем, вклю-

чая все питатели, кроме k-ãî.

Функции fk определим, как решения следующих краевых

143

При таком определении функции fk уравнение (5.51) и гранич- ное условие на внешнем контуре слоя для функции s00 выполняются тождественно.

Очевидно, функции fk могут быть рассматриваемы как вещественные части соответствующих аналитических функций

wk = fk + iφk..

Эти комплексные потенциалы могут быть построены с помощью методов источников и методов конформных отображений.

В частности, для прямоугольной области wk = uk (z), ãäå uk (z) определена по формуле (5.3).

Функцию fk можно интерпретировать как квадрат давления некоторого потока вязкого газа в области Ω–k, а интеграл вида

– как величину, пропорциональную расходу газа через контур Гj. Òàê êàê ïðè j ≠ k внутри контура Гj нет источника, то можем записать, учитывая также условия (5.54), что

Подставив комплексные потенциалы wk и определив функции fk = Re(uk), можно перейти к определению постоянных Bk и безразмерных квадратов давлений xˆ00j è x00j.

Подставляя выражение для функции s00, даваемое формулой (5.53) в последние N краевых условий (5.51) и последние N условий баланса расходов газа через питатели (5.52), получаем систему нелинейных уравнений для определения величин Bk

è xˆ 00j, x00:

144

ãäå Φ jk = π1d Γ∫j fk dς .

Из последнего равенства находим

Подставляя найденные значения коэффициентов в первые уравнения системы (5.56), получаем систему нелинейных алгебра-

ических уравнений для определения величин x00j è x00 j :

Здесь в случае питателей типа «кольцевая диафрагма» или не- учета эффекта двойного дросселирования необходимо положить x00k в первых N уравнениях и не рассматривать вторые N уравнений.

Систему уравнений (5.57) можно решать итерационным методом Зейделя, в основе которого лежат следующие физические рассуждения.

Выбираем сперва первый питатель (j = 1), а остальные питатели считаем отсутствующими. Находим давления для этого питателя. Затем берем второй питатель (j = 2) и рассчитываем давления для него с учетом найденных давлений для первого питателя. Затем берем третий питатель (j = 3) и находим давления для него с учетом найденных давлений для первых двух питателей. Процесс продолжаем до j = N. Получаем в «нулевом» приближении значения давлений для всех питателей. Затем строим «первое» приближение. Сперва рассчитываем давления для первого питателя с учетом найденных значений давлений «нулевого» приближения в остальных питателях. Затем находим давление для второго питателя с учетом

145

найденных уточненных значений давлений для первого питателя и значений давлений «нулевого» приближения для остальных питателей. Процесс продолжаем до j = N. Таким образом находим «первое» приближение для значений давлений в питателях. «Второе» и последующие приближения строятся аналогичным образом.

При этом на каждом этапе итераций давления на кромках питателей в соответствии с физикой явлений возрастают, что обеспечивает сходимость метода.

Изложенная методика решения системы уравнений (5.57) реализуется следующим образом. Введем новые переменные

и представим систему уравнений в следующей эквивалентной форме:

ðîì m в этом случае будут определяться как решении следующих систем уравнений

146

Таким образом, на каждом итерационном шаге метода Зейделя возникает необходимость последовательного решения N пар систем нелинейных алгебраических уравнений, каждая из которых

содержит только две неизвестных x(00mj) è z00(mj ) .

Каждая пара уравнений может быть, в свою очередь, решена методом итераций.

Если при расчете подшипника не учитывается эффект вторичного дросселирования, то итерационный процесс значительно упрощается, так как в этом случае следует отбросить первые N

уравнений в системе (5.60), положить x00 j ≡ 1 и решать только вторые N уравнений системы (5.60).

5.5.Расчет статических полей давлений

âсмазочных слоях газостатических опор

ñпеременным зазором методом расщепления

Рассмотрим сначала случай, когда смазываемые поверхности не параллельные (h = h0(q1, q2)) и неподвижные (Λ = 0), а движение газа установившееся. Соответствующая задача (5.32) принимает вид

Для определения безразмерных квадратов давлений газа на кромках питателей x0j и внутри «карманов» (если питатели типа «простая диафрагма» и учитывается вторичное дросселирование) необходимо использоватьуравнения баланса расходов газа для питателей:

147

Здесь постоянные Bk и функции ψk(q1, q2) подлежат определению, а функции fk являются решениями краевой задачи (5.54).

Обозначим через Ω R2 область, занятую смазочным слоем, а

N

через Γ = Γ j – границу области Ω.

j=0

Функции ψk определим как решения краевых задач

Òàê êàê L – линейный оператор, то при таком определении функций ψk функция s0, определенная равенством (5.63), тождественно удовлетворяет уравнению (5.61) и краевому условию на внешней границе смазочного слоя.

Для выполнения краевых условий на внутренних границах смазочного слоя – контурах Гj (5.61) условий баланса расходов газа (5.62), подставим в последнее выражение для функции s0,

даваемое формулой (5.63). Учитывая, что согласно (5.64) ψ k Γ j = 0 ,

получаем систему нелинейных алгебраических уравнений для определения величин Bk, x0j è xˆ0j:

148

Таким образом, решение краевой задачи (5.61)–(5.62) с заранее неизвестными граничными условиями на контурах питателей Гj сводится к решению N линейных краевых задач с нулевыми граничными условиями на всех границах смазочного слоя и системы 3N нелинейных алгебраических уравнений, вид которых устанавливается после решения этих краевых задач, в связи с чем изложенный метод может быть назван методом «расщепления».

Решение краевых задач (5.64) в общем случае может быть найдено либо с использованием конечно-разностных методов, либо с помощью прямых методов Бубнова–Галеркина.

Реализация первого метода затруднена сложностью аппроксимации производных в окрестностях питателей и выполнения граничных условий на них.

Второй метод можно считать предпочтительнее, так как он проще в реализации и требует меньших затрат машинного времени.

Согласно этому методу надо задаться полной системой линейно независимых базисных функций {ξj (q1, q2 )}∞j=1 , удовлетворяющих условиям ξj Γ = 0. Приближенные решения задач (5.64) ищем в виде

149

j=1

Подставляем эти решения в уравнения (5.64), затем умножаем обе части полученных равенства на ξℓ (1 ℓ Jk) и интегрируем по области Ω, получаем

в справедливости которого нетрудно убедиться, если учесть, что в соответствии с формулой (1.21)

150