Теоретические основы работы газостатических опор. Монография

5. РАСЧЕТ СЕГМЕНТНЫХ ГАЗОСТАТИЧЕСКИХ ОПОР

Наряду с полноохватными подшипниками с газовой смазкой, исследованию свойств которых было уделено внимание в предыдущих разделах книги, в машинах и приборах используются также сегментные радиальные и упорные подшипники, смазываемые газом. Такие подшипники обладают способностью автоматического слежения за положением подвижного элемента (ротора) за счет самоустановки сегментов, так как крепление последних к корпусу подшипников нежесткое, а их смазываемые поверхности подвергаются значительно меньшим силовым и тепловым деформациям, чем в случае замкнутых опор, что особенно ценно для крупногабаритных подшипников.

Сегментные подшипники, смазываемые газом, могут быть как газодинамического, так и газостатического типов. Нередко внешний наддув газа в смазочный слой осуществляется и в газодинамических сегментных подшипниках в моменты пуска и останова машины для предотвращения сухого контакта в опорах в эти периоды.

Наддув газа в смазочный слой сегментных подшипников обыч- но осуществляется через один или несколько питателей типа кольцевой или простой диафрагмы. Если смазываемые поверхности в сегментном газостатическом подшипнике остаются параллельными во время работы машины, а зазор между ними остается постоянным, то в случаях малых и умеренных чисел сжимаемости Λ вращение вала незначительно влияет на распределение давлений в смазочном слое опоры и можно принять, что квадрат давлений в слое является гармонической функцией. В этих случаях для расчета поля давлений в смазочном слое каждого сегмента можно использовать методы источников и конформных отображений, изложенные в разделе 3. Основная трудность при этом связана с построением соответствующего комплексного потенциала для прямоугольной области, а также в нахождении комплексной функции, реализующей конформное отображение сегмента на прямоугольник. Для

121

сегментов, получаемых из плоского кольца радиальными сечениями, последняя задача решается элементарно.

Если смазываемые поверхности не параллельны, то расчет поля давлений в смазочном слое значительно усложняется, особенно вследствие того, что для расчета сегментных газостатических подшипников схема линий поддува, моделирующих ряды питателей, становится мало пригодной и возникает необходимость полного учета дискретности в расположении питателей.

5.1. Комплексный потенциал для прямоугольной газостатической опоры с дискретным поддувом

Газостатические опоры прямоугольной в плане формы используются в качестве направляющих в станках и в качестве сегментов в радиальных сегментных газостатических подшипника.

Если зазор в такой опоре постоянный, а эффект относительного перемещения смазываемых поверхностей незначителен и его можно не учитывать, то квадрат давлений р2 в смазочном слое удовлетворяет уравнению Лапласа (3.20), что позволяет ввести в

рассмотрение комплексный потенциал потока U = p2 + iΨ. Воспользуемся декартовой системой координат ξ è η, îñè Oξ è

Oη которой проходят вдоль границ прямоугольника. Пусть центры питателей, диаметры выходных кромок которых dj расположены в точках с комплексными координатами ςj = ξj + iηj (j = 1, 2, …, N), L1 è L2 – размеры опоры вдоль осей Oξ è Oη соответственно, N – число питателей в сегменте.

Комплексный потенциал потока U(ς) = p2 + iΨ в смазочном слое прямоугольной газостатической опоры должен удовлетворять условиям

Введем в рассмотрение комплексный потенциал Uj(ς) потока, порожденного только j-м питателем, помещенным в точку A (ςA = ςj) опоры.

122

Поток газа в смазочном слое опоры от питателя, помещенного в точку A, удовлетворяющий условиям (5.1)–(5.2), можно рассматривать в плоскости ς как результат наложения потоков, порожденных четырьмя семействами дорожек источников и стоков, параллельных оси Oξ, имеющих шаг 2L1 и период по η, равный 2L2. При этом в базовые точки этих семейств A è B (ςB = –ςj) попадает источник мощности

Qj, а в базовые точки C (ςC = ς– j) è D (ςD = –ς– j) попадают стоки (источники мощности (–Qj). Обильности источника Qj надо подобрать

таким образом, чтобы выполнялось условие (3.54) при k = j. Базовый источник в m-й дорожке источников семейства A

имеет координату

ςm = ςA + 2miL2, m = 0, ±1, ±2, ...

Аналогично можно представить координаты базовых источников в соответствующих дорожках источников и стоков остальных семейств.

Переменная часть комплексного потенциала потока, наводимого m-й дорожкой источников семейства A, в соответствии с формулой (3.49), равна

Совокупность всех дорожек источников и стоков семейств A è C порождает комплексный потенциал, аналогичный потенциалу (3.50), но без слагаемого, отвечающего поступательному потоку. Вся совокупность дорожек источников и стоков семейств A, B, C è D порождает комплексный потенциал

123

Комплексная функция uj(ς) обладает теми свойствами, что ее реальная часть fj (ξ, η) = Re (uj (ς)) обращается в нуль на всех сторонах рассматриваемого прямоугольника и что

ãäå Γj – контур питателя.

Первое свойство вытекает из способа построения функции uj(ς). Второе свойство следует из формулы (5.2), в которой надо учесть, что

Комплексный потенциал потока, порожденного всеми N питателями опоры, находится суммированием всех потенциалов Uj(ς) j =

1, 2, ..., N è pa2 . В результате имеем

Мощности источников Qj, входящие в эту формулу, могут быть определены по значениям давлений pdj на выходных кромках питателей из системы уравнений (5.2), после подстановки в них выражения (5.4).

При выполнении условий (5.2) надо вычислять контурный

интеграл ∫ u(ς ) | dς | . Здесь удобно поступить следующим образом.

Γ k

124

Отдельно вычислить интеграл по контуру k-го питателя от той части функции U(ς), которая имеет логарифмическую особенность в точке ς = ςk, а значения интегралов от остальных слагаемых, входящих в функцию U(ς) и остающихся аналитическими в точке ς = ςk, могут быть вычислены по теореме о среднем, утверждающей, что среднее значение аналитической функции на окружности равно значению этой функции в центре окружности.

С учетом этой формулы можем записать, что

Если давления pdk заданы, то из уравнений (5.5) могут быть определены мощности источников Qj, порождающих рассматриваемый поток в газостатической прямоугольной опоре, и наоборот, если мощности источников Qj заданы, то эти уравнения служат для определения давлений на выходных кромках питателей.

В общем случае величины Qj è pdj неизвестны и их значения определяются в зависимости от типа питателей с привлечением уравнений баланса расходов газа, протекающего через каждый питатель и соответствующий участок смазочного слоя, аналогично

125

тому, как это делалось для упорных и радиальных полноохватных подшипников в предыдущих разделах.

Например, если не учитывается вторичное дросселирование в питателях, то условие баланса расходов записывается в виде

ãäå Mj вычисляется по формуле ().

Полагая x j = pdj2 pS2 и исключая Qj из уравнений (5.6) и (5.5),

получаем систему уравнений для определения давлений на кромках питателей

Определив из системы нелинейных уравнений (3.7) величины xk, по формуле (3.13) находим значения величин Mj, а следовательно, и Qj, что и завершает определение функции U(ς).

5.2. Комплексный потенциал для кольцевого сегмента упорного газостатического подшипника с дискретным поддувом

Рассмотрим один сегмент кольцевого упорного газостатического подшипника. Для удобства направим оси цилиндрической системы координат r, φ, z таким образом, чтобы φ = 0 отвечало передней кромке сегмента а φ = θ – задней кромке сегмента.

Пусть R = Ri и R = RÂ соответственно уравнения внутренней и внешней границ сегмента.

Ïðè H = const è Λ = 0 квадрат давления в смазочном слое является гармонической функцией и можно ввести в рассмотрение комплексный потенциал

126

W(z) = p2(r, φ) + iΨ(r, φ),

являющийся аналитической функцией комплексной координаты z = reiφ.

Принимаем, что питатели имеют диаметры выходных кромок dj << Rj и расположены так, что их центрам отвечают координаты

Контуры питателей при этом описываются уравнением

С помощью конформного преобразования

сегмент отображается на прямоугольник (рис. 5.1) в плоскости фиктивного потока ς = η + iφ, границы которого ограничены линиями

η = 0 è η = λ = ln RН ,

RВ

а также линиями φ = 0 è φ = θ.

Ðèñ. 5.1. Схема конформного отображения кольцевого сегмента

на прямоугольную область

127

Центры питателей в фиктивном потоке оказываются расположенными в точках

а контуры выходных кромок питателей описываются в фиктивном потоке уравнениями

свидетельствующими о том, что с точностью до величин поряд-

êà o (d 2j rj2 ) кромкам питателей в плоскости фиктивного потока отвечают окружности диаметров dj/Rj, а сам фиктивный поток представляет собой поток в прямоугольной области, порожденный источниками мощности Qj, расположенными в точках ςj è èìåþ-

щими диаметры выходных кромок d j = d j rj . Потенциал такого потока представлен формулой (5.4)

ãäå uj(ς) даются формулой (5.3), в которой надо положить L1 = λ,

L2 = θ.

Мощности источников Qj связаны с давлениями на кромках питателей pdk формулами (5.6), где

димо принять L1 = λ è L2 = θ.

При выполнении условий баланса расходов газа на питателях в формулах (3.15)–(3.16), определяющих расходы газа через

128

тогда

5.3. Общая постановка задач о расчете полей давлений в смазочных слоях газовых опор

с дискретным поддувом

Рассмотрим случай произвольной в плане газостатической опоры с дискретным поддувом, обе смазываемые поверхности которой подвижны.

Для удобства постановки и последующего решения задачи определения полей давлений в смазочном слое такой опоры в уравнении Рейнольдса и соответствующих ему граничных условиях перейдем к безразмерным величинам, положив

H = H*h, s = p2/pS2, t' = σ*t,

Vaτ = V v'aτ , Vbτ = V v'bτ , u = v'aτ + v'bτ ,

Âэтих формулах H* – характерная толщина смазочной пленки,

– характерная протяженность смазочной пленки, V* – характерная продольная скорость смазываемых поверхностей, σ* – характерная частота сдавливания слоя, L – оператор Рейнольдса, pdj – давление на выходной кромке питателя, pˆdj – давление в кармане, если питатель типа «простая диафрагма».

Уравнение Рейнольдса (1.21) преобразуется к виду

130