Теоретические основы работы газостатических опор. Монография

Параметры γ, γ è γ называют конструктивными параметрами питателей.

Åñëè x = xd – решение уравнения (3.36) или уравнений (3.38) (в зависимости от типа питателя), то давление на кромке питателя

Коэффициент при lnr в формуле (3.39) определяет коэффициент A в формуле (3.31):

A = − pd 2 − pa 2 .

E

Поэтому расход газа для дискового подпятника можно определить по формуле

Расчет полосовой опоры с щелевым дросселем

Рассмотрим (рис. 3.3) прямоугольную полосовую опору протяженности T и ширины L, причем L << T. Пусть газ в смазочный слой подается через продольную капиллярную щель, имеющую ширину b и такую же протяженность, что и опора. Давление на входе в щелевой дроссель принимаем равным ps, а давление окружающей среды – pa. Принимаем толщины смазочного слоя H и дросселирующей щели c

61

постоянными. Для упрощения исследования пренебрегаем концевыми эффектами в опоре и на входе в щелевой дроссель.

Ps

Ðèñ. 3.3. Схема щелевой опоры

Åñëè îñü Ox направить поперек питающей щели, то комплексные потенциалы потоков в зазоре определятся, очевидно, по формуле (3.28), из которой следует, что для смазочного слоя в опоре справедливы равенства

Масса газа, протекающего в единицу времени из участка питающей щели шириной dY в область смазочного слоя X < 0, согласно формулам (3.24) и (3.38), равна

62

а в область X > 0

Так как поток газа в дросселирующей щели полностью аналогичен потоку газа в смазочном слое, но происходит под действием давлений ps è pd, то нетрудно записать, что через участок щели протяженности dX в единицу времени протекает масса газа, равная

На каждом элементе границы смазочный слой – питающая щель должно выполняться условие баланса расходов газа

dQ1 + dQ2 = dM,

из которого, учитывая формулы (3.39)–(3.41), следует уравнение для определения давления на выходе из щели

Легко находим

Несущая способность части полосовой опоры, лежащей в области X < 0, вычисляется по формуле

Интеграл легко вычисляeтся. Получаем

63

Аналогично запишется формула для несущей способности части полосовой опоры, лежащей в области X > 0:

Очевидно, что полная несущая способность полосовой опоры с щелевым поддувом равна

Массу газа, протекающего в единицу времени через смазочный слой полосовой опоры, можно определить путем суммирования по всей длине питающей щели элементарных расходов dM, вычисляемых по формуле (3.41), что дает

3.4. Метод источников и стоков

Если поддув газа в смазочный слой плоской опоры производится через питатели диафрагменного типа, то в ряде практически важных случаев удается построить комплексный потенциал потока в смазочном слое, используя метод источников и стоков. Для этого рассматривают задачу о течении газа в слое той же самой толщины, что и в рассчитываемой опоре, но больших, иногда неограниченных, размеров, чем смазочная пленка. Распределяют по всему этому слою системы источников и стоков таким образом, чтобы порожденный ими поток газа в области, соответствующей смазочному слою, полностью совпадал с потоком в этом слое. Комплексный потенциал системы источников и стоков определяется в виде суммы комплексных потенциалов источников, стоков и поступательного потока. Достаточно просто строится комплексный потенциал для бесконечно длинной полосовой опоры с одной дорожкой питателей малого диаметра, параллельной границам опоры. Он лежит в основе теории смазки газостатических подшипников различных типов, находящих применение в технике. Поэтому остановимся более подробно на выводе соответствующих формул.

64

Комплексный потенциал дорожки источников в плоскости

Используем декартовы координаты ξ, η. Îñü Oξ направляем вдоль границы полосы (рис. 3.4). Пусть ζ = ξ + iη. Рассматриваем случай однорядной опоры ширины L, когда все питатели одинаковые, имеют диаметры d и расположены равномерно с шагом B на линии η = l, так что их центры имеют координаты

ζk = ζ0 + Bk, k = 0, ±1, ±2,.. ,

ãäå ζ0 – координата центра питателя, выбираемого в качестве базового ζ0 = ξ0 + il.

Ðèñ. 3.4. Схема полосовой однорядной опоры

Построим комплексный потенциал, порожденный рассматриваемой дорожкой питателей в безграничном слое, имитируя каждый питатель точечным источником мощности Q′. Для источника, помещенного в точку ς = ςk, имеем (см. формулы (3.32) и (3.48))

65

Найдем комплексный потенциал всей системы источников как сумму комплексных потенциалов каждого из них:

то можно записать, что комплексный потенциал, порождаемый дорожкой источников в безграничном слое, определяется по формуле

ãäå D = D0 + iD* – комплексная постоянная.

Комплексный потенциал дорожки источников в полосе

Поток газа, порождаемый дорожкой питателей в полосе при условии, что на границах полосы давления постоянные и равны pa, может быть получен от распределенных по всей безграничной плоскости систем дорожек источников и стоков обильности Q, параллельных границам полосы, базовые источники которых

поступательного потока, нормального к границам полосы. Здесь при построении искомого комплексного потенциала нельзя непосредственно суммировать все бесконечное множество комплексных потенциалов, так как такая сумма будет расходящейся. Поэтому рассмотрим сначала случай, когда в плоскости расположено ограниченное число (2K + 1) дорожек источников и столько же дорожек стоков.

Суммарный потенциал, порождаемый дорожками источников, равен

66

Используя формулу для произведения синусов, можно записать с точностью до постоянной

B

Аналогично, суммарный потенциал, поставляемый дорожками стоков, равен

B

Введем еще в рассмотрение однородный поступательный поток, направленный поперек полосы, комплексный потенциал которого для удобства представляем в виде

ãäå bk è ek – постоянные, подлежащие определению. Рассмотрим теперь поток с суммарным потенциалом

67

Используя формулы sin (ia) = isha è cos (ia) = cha, находим

B

Искомый потенциал, отвечающий потоку газа, порожденному дорожкой питателей в полосе, получается предельным переходом при K → ∞. В этом случае

68

1. На границе полосы η = 0 реальная часть функции v равна нулю, что можно записать в виде

В справедливости этого свойства легко убедиться простой проверкой, учитывая равенство

1

Re[v(ξ,ζ0 ,ζ0 )] = [v(ξ,ζ0 ,ζ0 ) + v(ξ,ζ0 ,ζ0 )]. 2

Из вида функции v (3.48) следует, что

v(ξ,ζ0 ,ζ0 ) = −v(ξ,ζ0 ,ζ0 ),

что и доказывает справедливость утверждения (3.49). 2. Имеет место равенство

− B / 2+ξo

Для доказательства этого свойства рассмотрим интеграл

Коши от функции v(ξ, ς 0 , ς0 ) по прямоугольному контуру ABCD, ограниченному прямыми η = 0, (AB); ξ = B/2 + ξ0, (BC); η = const, (CD); ξ = – B / 2 + ξ0, (DA). Реальная часть этого интеграла равна нулю в силу аналитичности неоднозначной логарифмической подинтегральной функции

Re ∫v(ζ ,ζ0 ,ζ0 )dζ = 0.

С

Можем записать

Re[ ∫v(ς , ς 0 , ς0 )dς + ∫v(ς , ς 0 , ς0 )dς + ∫v(ς , ς 0 , ς0 )dς + ∫v(ς , ς 0 , ς0 )dς ] = 0.

AB BC CD DA

В силу периодичности функции v ïî ξ имеем

∫v(ς , ς 0 , ς0 )dς + ∫v(ς , ς 0 , ς0 )dς = 0.

BC DA

69

Âсилу первого свойства подынтегральная функция в интеграле

∫v(ς , ς 0 , ς0 )dς равна нулю, поэтому и сам этот интеграл равен нулю.

AB

Следовательно, имеет место равенство

Re ∫ v(ς , ς 0 , ς0 )dς = 0.

CD

η = const на отрезке CD, а концы этого отрезка совпадают с пределами интегрирования в формуле (3.50), справедливость которой таким образом доказана.

3.5.Расчет полосовых однорядных газостатических опор

ñдискретным поддувом

Рассмотрим сперва однорядную полосовую опору протяженности T >> L, вдув газа в смазочный слой которой производится через n одинаковых питателей диафрагменного типа, расположенных равномерно по всей длине опоры в один ряд, отстоящий от боковой границы полосы на расстоянии L (ñì. ðèñ. 3.4).

При расчете такой опоры будем пренебрегать концевыми эффектами и рассматривать ее как часть бесконечно длинной полосовой опоры с одним рядом питателей, имеющем шаг B = T/n. В этом случае при H = const для комплексного потенциала потока в смазочном слое применима формула (3.48), а среднеквадратичое давление на кромке питателя может быть вычислено по формуле

кций, входящих в w(ζ), вычисляем по теореме о среднем, а от функции, имеющей логарифмическую особенность в центре круга, – непосредственно. При вычислениях учитываем, что на кромке питателя

ln sin π (ζ – ζ0 ) ≈ ln πd + iθ.

B 2B

70