Теоретические основы работы газостатических опор. Монография

явления, так как при pd = 0 должно происходить истечение газа в вакуум, когда создаются наиболее благоприятные условия для потока газа в питателе. Следовательно, имеется диапазон противодавлений, для которых формулы (3.8) и (3.10) неприменимы.

Определим область применимости формул (3.8) и (3.10). Согласно теории установившихся течений газа в каналах переменного сечения сперва сужающихся, а потом расширяющихся (соплах Лаваля), с уменьшением противодавления скорость потока в них увеличивается до тех пор, пока в минимальном сечении поток не достигнет скорости звука. Дальнейшее снижение противодавления на выходе из канала не приводит к возрастанию скорости потока в минимальном сечении и поток «запирается». Поэтому даже при истечении газа в вакуум в минимальном сечении поток не может иметь скорость большую, чем скорость звука. Поток, достигнув при некотором противодавлении скорости звука в минимальном сечении, с дальнейшим понижением противодавления не меняет ни качественного, ни количественного характера своего течения до этого критического сечения. Однако за критическим сечением поток может стать сверхзвуковым. Характер потока за критическим сечением может резко меняться при дальнейшем снижении величи- ны противодавления, что сопровождается возникновением скачков давления на поверхностях разрыва газодинамических функций. Питатели диафрагменного типа в газостатических подшипниках являются аналогом сопел Лаваля. Поэтому формулы (3.6)–(3.7) являются справедливыми для описания потоков в питателях при всех противодавлениях только в областях до минимального сече- ния. При сверхзвуковых истечениях газа минимальное сечение становится критическим, в нем все параметры потока становятся критическими, в том числе и давление. Критическое давление, может быть определено из уравнения (3.8) с учетом формулы (3.7):

Отсюда находим

51

Следовательно,

Именно при значении давления pd = pкр, ãäå pкр определяется по последней формуле, расход газа через питатель становится максимальным, в чем нетрудно убедиться, исследовав на максимум функцию M, определенную формулой (3.9). Дальнейшее снижение противодавления потоку газа в питателе не может привести к увеличению расхода газа через него, так как скорость потока и остальные газодинамические параметры газа в минимальном сечении остаются при этом крити-

питатель надо пользоваться формулой (3.9).

Важно подчеркнуть, что давление в минимальном сечении питателя pd в теории газостатических опор принимается равным давлению на входе в смазочный слой.

Обычно формула, определяющая расход газа через питатель и учитывающая отмеченные особенности потока в нем, представ-

функция истечения.

52

Входящий в формулу (3.13) коэффициент α является поправоч- ным коэффициентом, определяемым эмпирически и отражающим влияние неодномерности и вязкости газа на расход газа в реальных питателях. Экспериментами установлено, что надо принять α = 0.8 для питателей типа «кольцевая диафрагма», минимальное сече- ние которых имеет площадь Amin = dH, ãäå d – диаметр питателя, H – местная толщина слоя в зоне питателя. Надо положить α = 0.9 для питателей типа «простая диафрагма» (питателей с круглыми карманами), за минимальное сечение канала надо принять площадь канала Amin = d 2/4, подводящего газ в карман. Давление в кармане принимается равным pd.

Иногда для питателей типа «простая диафрагма» учитывают эффект двойного дросселирования. За площадь второго минималь-

ного сечения принимается Amin = πdH , ãäå d – диаметр кармана, а за давление подачи газа при втором дросселировании принимается давление в кармане, создающееся в нем после первого дросселирования. В этом случае используется условие баланса расходов газа для кармана, записываемое в следующей форме

dt

Здесь M – количество газа, поступающего в единицу времени через подводящий канал с диаметром d , и вычисляемого по формуле

газа, вытекающего в единицу времени из кармана в смазочный слой через кольцевую диафрагму с минимальным сечением Аmin ïîä

53

m – масса газа, заключенная в данный момент в кармане и равная величине

ãäå V0 кар – объем кармана в теле подшипника.

3.2.Комплексный потенциал

Âгазостатических плоских упорных подшипниках и прямолинейных полосовых опорах (газостатических направляющих станков) смазываемые поверхности обычно располагаются параллельно друг другу. При этом эффект относительного продольного перемещения смазываемых поверхностей мало влияет на несущую способность, расход газа и другие интегральные характеристики смазочного слоя, особенно при малых и умеренных числах сжимаемости

Λ= 6μUL/(psH2) (U – характерная скорость продольного перемещения смазываемых поверхностей, L – характерный размер опоры,

pa – давление окружающей среды, μ – динамический коэффициент вязкости газа, H – толщина смазочной пленки).

При расчете таких опор часто полагают, что зазор между смазываемыми поверхностями постоянен (H = const), а сами поверхно-

сти неподвижны (Va = Vb = 0 ) и принимают процесс течения газа в смазочном слое изотермическим (T = const) и установившимся. Oси X, Y cвяжем с упорной плоскостью декартовой системы координат. Течение газа в смазочном слое между неподвижными поверхностями может быть описано уравнением Рейнольдса (1.30), из которого следует, что в рассматриваемом случае функция p2 удовлетворяет уравнению Лапласа:

Следовательно, квадрат давления p2 в газовом смазочном слое в случае неподвижных и параллельных смазываемых поверхностей является гармонической функцией и, согласно теории аналитиче-

54

ских функций, существует гармонически сопряженная с p2 функция ψ, удовлетворяющая условиям Коши–Римана

что позволяет ввести в рассмотрение аналитическую функцию w(z) комплексного переменного z = X + iY:

называемую комплексным потенциалом потока.

Покажем, что расход газа в смазочном слое выражается через функцию ψ, в с связи с чем последнюю называют функцией тока.

Рассмотрим в области течения произвольный контур MN (рис. 3.2).

Ðèñ. 3.2. Схема течения в плоскости õ, ó

Вычислим массу газа, протекающего в единицу времени через площадку высоты Í, опирающуюся на элемент дуги dl контура MN. Она равна

то формула (3.22) принимает вид

Использовав условия Коши–Римана, находим

55

В силу условий (3.21) получаем

Отсюда следует, что масса газа, протекающего в единицу времени через контур MN, пропорциональна разности значений функции тока ψ на концах этого контура:

Заметим, что скорость частиц газа в слое в рассматриваемом случае определяется по формулам

Итак, каждому потоку вязкого газа в тонком слое между параллельными неподвижными плоскими твердыми поверхностями соответствует определенная аналитическая функция комплексного переменного w(z) – комплексный потенциал потока. И наоборот, всякую аналитическую функцию комплексного аргумента можно интерпретировать как комплексный потенциал некоторого потока вязкого газа в тонком слое между параллельными неподвижными плоскими твердыми поверхностями. Для ряда аналитических функций соответствующие потоки могут быть реализованы физи- чески. Например, линейный комплексный потенциал описывает однородный поступательный поток, а логарифмический потенциал с вещественным коэффициентом – поток, порожденный точечным источником или стоком.

Исследуем сначала поток, отвечающий линейной аналитической функции вида

56

ãäå À – вещественный коэффициент; B = B0 + iB* – комплексная постоянная.

Из формул (3.21) и (3.26) следует, что

p2 + i ψ = A(X + iY) + B0 + iB*. Отсюда находим

то в соответствии с формулами (3.25) имеем

1A

vx = 2μ 2 p q3 (q3 − H ) , vy = 0, 0 q3 H.

Согласно формулам (3.27) линии тока ψ = const совпадают с линиями Υ = const и представляют собой прямые, параллельные оси OX. При A < 0 поток направлен вдоль оси OX, так как в этом случае vx > 0, à ïðè A > 0 поток направлен против оси OX (vx < 0). Такие потоки возникают, например, в прямолинейных полосовых опорах, если газ в смазочный слой подается через капиллярную щель. Покажем это.

Для упрощения примем, что опора бесконечно длинная и что толщина питающей капиллярной щели пренебрежимо мала по сравнению с шириной опоры. Выбираем систему координат так, чтобы ось OY проходила вдоль питающей щели, а линии X = (–1)klk, (k = 1, 2) соответствовали краям опоры. Если газ из щели поступает в смазочный слой под давлением pd, а давление окружающей среды pA (pA < ps), то легко проверить, что для комплексных потенциалов потока газа в соответствующих областях справедливы формулы

57

(с точностью до несущественной произвольной мнимой постоянной). Если исследовать поток, отвечающий комплексному потен-

циалу вида

w(z) = iAz + B,

ãäå А – вещественное число, B – комплексное число, то нетрудно установить, что ему отвечает такое течение газа в полосовой опоре, как и рассмотренное выше, но при другой ориентации системы координат, когда ось ОХ направлена вдоль питающей щели.

Важную роль в теории газовой смазки играет логарифмический комплексный потенциал типа

ãäå А – вещественный коэффициент, B = B0 + iB* – комплексная постоянная.

Исследуем соответствующий поток. Приняв z = Reiθ, в соответствии с формулами (3.21) и (3.29) находим

p2 = A ln R + B0, ψ = A θ + B*.

Очевидно, что все линии тока ψ= const совпадают с лучами θ= const, исходящими из начала координат. Такой поток отвечает точечному источнику или стоку (в зависимости от знака À), помещенному в на- чало координат. Если взять замкнутый контур MN, охватывающий начало координат только один раз, то легко найти, что

Следовательно, при A < 0 имеем источник (Q > 0), à ïðè A > 0 – ñòîê (Q < 0), |Q| – обильность (мощность) источника (стока). Потоки с логарифмическим потенциалом реализуются в дисковых подпятниках с подводом газа в смазочный слой через центральное

2Ro

58

ãäå Ro – радиус диска, d – диаметр питателя, pd – давление на кромке питателя, pа – давление окружающей среды.

Иногда задаются не давлением на кромке питателя, а мощностью источника Q. На основе формул (3.30) можно выразить коэффициент A через Q и тогда комплексный потенциал потока в дисковом подпятнике от центрального источника получает другое эквивалентное представление:

Суммируя комплексные потенциалы источников, стоков и поступательных потоков, можно построить комплексные потенциалы потоков газа в смазочных слоях газостатических опор более сложного типа, чем рассмотренные выше.

3.3. Примеры расчета простейших типов газостатических опор

Расчет дискового подпятника с центральным питателем

Комплексный потенциал потока в смазочном слое дискового подпятника описывается формулой (3.32). Давление газа pd – на входе в смазочный слой обычно неизвестно. Для его определения обращаемся к условию баланса расходов через питатель и смазочный слой

Если поддув газа в зазор дискового подпятника осуществляется через питатель типа «кольцевая диафрагма» или «простая диафрагма», но не учитывается эффект двойного дросселирования в «кармане», то для расхода газа через питатель справедлива формула (3.13). Исключая из равенств (3.33)–(3.34) величину Q, äëÿ

59

определения давления на кромке питателя получаем следующее уравнение:

Преобразовав полученное уравнение к безразмерному виду, приняв для этого обозначения,

получаем уравнение для определения давления на выходной кромке питателя

В случаях, когда используется питатель типа «простая диафрагма» и требуется учесть эффект двойного дросселирования в «кармане», необходимо выполнять два условия баланса расходов газа для питателя:

Принимая во внимание, что расход газа Q через смазочный слой связан с давлением на выходной кромке питателя соотношением (3.33), и учитывая формулы (3.16)–(3.17), определяющие величины M è M, уравнения (3.37) можем записать в такой безразмерной форме:

60