Правовое обеспечение формирования, обращения и оценки собственности. Учебное пособие

результат применения функции = показатель х фактор функции

Функция денежной единицы «Накопленная сумма единицы (сложный

процент)»

Функция позволяет определить сумму денежных средств (FV), которая будет накоплена на банковском счете при размещении на нем денежных средств в объеме

PV руб. на период n лет, по ставке процентов i при начислении процентов m раз в год по механизму сложного процента. Формула расчета величины FV представлена ниже, формула (1).

где: i / m – скорректированная ставка процентов в соответствии с периодом начисления процентов, указанном в договоре о банковском вкладе;

(m x n) – количество начислений процентов за весь период действия договора вклада;

– фактор функции.

Пример использования функции: на счет в банке размещается сумма 100 000

рублей на срок 2 года под 12 % годовых с ежеквартальным начислением процентов.

Определить, какая сумма денежных средств будет накоплена во вкладе на дату за-

вершения договора о банковском вкладе.

Запишем условие задания в кратком виде:

PV = 100 000 рублей; i = 12 %;

m = 4; n = 2; FV = ?

Решение: FV = 100 000 рублей х (1 + 0,12 / 4) 4х2 = 126 677 руб.

111

Изменим условие вклада: начисление процентов производится ежемесячно, то есть m=12. В таком случае через 2 года во вкладе будет накоплена сумма больше,

чем в предыдущем случае.

FV = 100 000 рублей х (1 + 0,12 / 12) 12х2 = 126 973,46 руб.

Во втором случае во вкладе будет накоплено больше на 296,46 руб.

Вывод: чем чаще начисляются проценты, тем большая сумма будет накоплена на счете при прочих равных условиях.

Разница в накопленных суммах будет расти при увеличении срока вклада.

Увеличим срок с двух до десяти лет при неизменности остальных условий, то есть n

= 10 лет, m = 4:

FV = 100 000 рублей х (1 + 0,12 / 4) 4х10 = 326 203,78 руб.

При n = 10 лет, m = 12:

FV = 100 000 рублей х (1 + 0,12 / 12) 12х10 = 330 038,69 руб.

В процессе оценки функция применяется для прогнозирования значения пока-

зателя (индексации) при известном среднем изменении значения показателя (напри-

мер, цены вещи) за месяц, квартал или другой период в результате инфляции.

Пример: за период 5 месяцев при среднемесячном росте цен на определенную вещь (товар) в 4 % индекс изменения цены составит (1 + 0,04)5 = 1,22. Если рыноч-

ная цена товара на начало периода прогнозирования составляла 1000 руб., то на ко-

нец периода прогнозируется ее значение 1220 руб.

Функция денежной единицы «Текущая стоимость денежной единицы»

Функция позволяет определить сумму денежных средств (PV), которую сле-

дует поместить во вклад в банк на срок n лет, с начислением на вклад процентов по ставке процентов i по механизму сложного процента m раз в год.

Формула расчета величины PV представлена ниже, формула (2). Формула 2

является обратной формуле 1.

112

или форма записи формулы:

,

Пример: в банке открыт вклад сроком на 2 года под 12 % годовых с ежеквар-

тальным начислением процентов. Определим, какую сумму денежных средств нуж-

но разместить во вклад на указанных условиях, что накопить 100 000 руб.

Запишем условие задания в кратком виде:

FV = 100 000 рублей; i = 12 %;

m = 4; n = 2; PV = ?

PV = 100 000 рублей х 1 / (1 + 0,12 / 4) 4х2 = 78940,92 руб.

Изменим условие вклада: начисление процентов производится ежемесячно, то есть m=12. В таком случае, чтобы накопить 100 000 руб. необходимо разместить во вклад сумму меньше, чем в предыдущем случае.

PV = 100 000 рублей х 1 / (1 + 0,12 / 12) 12х2 = 78756,61 руб.

Эту функцию инвесторы используют для определения суммы денежных средств (PV), за которую следует купить какой-либо доходный актив, по которому в будущем будет получена одна определенная (известная или с достаточно высокой вероятностью прогнозируемая) сумма денежных средств (FV).

В данном случае определяемая величина PV руб. является денежной оценкой этого доходного актива или, иначе, ценой покупки этого доходного актива. Так как

113

в период до получения выплаты одной суммы денежных средств не будет промежу-

точных выплат, то формула (2) преобразуется в формулу (3).

где: – процентная ставка на периоде n, по завершению которого будет осу-

ществлена выплата инвестору денежных средств в объеме FV руб.

Пример: инвестору предлагается к покупке финансовый инструмент (доход-

ный актив), по которому через 2 года будет осуществлена выплата 100 000 руб. По какой цене инвестору купить этот финансовый инструмент, чтобы получить на ин-

вестируемые им средства доходность 12 процентов годовых.

Решение: PV = 100 000 руб. х 1/(1 + 0,12)2 = 79719,39 руб.

Если инвестор купит финансовый инструмент за 79719,39 руб. то, получив че-

рез 2 года 100 000 руб., обеспечит на инвестируемые средства доходность 12 % го-

довых.

Изменим условие задачи: инвестору предлагается к покупке финансовый ин-

струмент (доходный актив), по которому через 6 мес. будет осуществлена выплата

100 000 руб. По какой цене инвестору купить этот финансовый инструмент, чтобы получить на инвестируемые им средства доходность 12 процентов годовых.

Решение: так как выплата денежных средств планируется через 6 мес., то ставку процентов i следует преобразовать в полугодовую, то есть i = 0,12/2 = 0,06 (6

%), а период n = 1, то есть одно полугодие.

Важно помнить, что в формуле (3) процентная ставка i и период n должны со-

ответствовать друг другу!

PV = 100 000 руб. х 1/(1 + 0,06)1 = 94339,62 руб.

114

Критерием покупки доходных активов или, иначе, инвестирования средств в такую покупку (ее можно рассматривать как вложение средств в инвестиционный проект покупки доходного актива) является доходность этой инвестиционной опе-

рации.

В последнем примере, приведенном выше, сумма 94339,62 руб. это макси-

мальная цена покупки финансового инструмента, при которой будет получена до-

ходность на вложенные деньги 12 % годовых. Если инвестору удастся в процессе переговоров с продавцом снизить цену покупки, то доходность на свои инвестиции он получит выше.

Показатель i – это процентная ставка, которую инвестор изменить не может.

Это ставка банка по вкладам или ставка банка по кредитам, или ставка процентов по государственной облигации.

В формуле (3) ставка i рассматривается как требуемая инвестором доходность,

как, если бы все инвесторы, хотели бы получать на свои инвестиции доходность, как по вкладам в банке. Это, безусловно, не так.

Во-первых, по разным финансовым инструментам и другим активам (недви-

жимость, машины и оборудование, бизнес и прочее) разные по величине и структу-

ре риски получения прогнозируемых средств, во-вторых, каждый инвестор, по раз-

ному оценивает риски своих инвестиций и обосновывает для себя свои требования к доходности (чем выше оценивается риск инвестиций, тем выше требуется доход-

ность).

По этой причине, в отношении одного и того же актива разные инвесторы по разному оценят риски, связанные с его покупкой, и будут определять цену покупки,

используя разные требования к доходности на свои инвестиции (разные процентные ставки доходности). Для каждого инвестора цена покупки одного и того же финан-

сового инструмента (актива) может быть разной. Эти персональные ставки требуе-

мой на инвестиции доходности обозначаются, как R % годовых. В большинстве случаев ставка R больше ставки i.

115

Таким образом, формулу (3) для целей определения цены покупки финансово-

го инструмента необходимо записать в виде формулы (4).

Или

где: – процентная ставка требуемой инвестором доходности на инвестиции на периоде n, по завершению которого будет осуществлена выплата FV инвестору.

Процесс определения текущей стоимости (PV) будущей величины (FV) назы-

вается дисконтированием, а ставка требуемой доходности R – ставкой дисконтиро-

вания.

Функция денежной единицы «Текущая стоимость обычного аннуитета»

Финансовые инструменты и другие доходные активы, по которым инвестор получает только одну выплату, достаточно редки. На финансовом и товарных рын-

ках в основном обращаются инструменты (вещи), по которым инвестор получает серию периодических выплат, которые образуют денежный поток выплат.

Определение текущей стоимости денежного потока (PV), включающего (m х n) денежных выплат (m раз выплат в году в течение n лет) представляет собой сум-

му текущих стоимостей каждого элемента денежного потока (5).

где: выплата i – выплата процентов в конце i-го периода, руб.;

R – ставка дисконтирования (требуемая доходность на инвестиции), коэф.

116

Если число элементов (выплат) в денежном потоке велико, то определение его текущей стоимости может быть очень трудоемким. Например, по договору ипотеки на 20 лет с ежемесячными платежами денежный поток будет включать 240 элемен-

тов.

Для наиболее известных финансовых инструментов и проектов, таких как об-

лигации, банковские кредиты, ипотека, аренда недвижимости, лизинг денежные по-

токи выплат (платежей) по ним имеют одинаковые характеристики в каждом из них:

равные по величине выплаты, поступающие равномерно (через одинаковые проме-

жутки времени), число выплат конечно. Денежный поток с такими характеристика-

ми: равномерный, равновеликий и конечный во времени, именуется аннуитетом.

Выплата (платеж) как элемент аннуитета именуется PMT (payment). В денежном потоке типа аннуитет PMT1 = PMT2 = … = PMTmxn.

Текущую стоимость аннуитета (PVA) можно рассчитать быстро, используя формулу (6).

где: R/m – скорректированная годовая ставка дисконтирования (ставка требу-

емой доходности) в соответствии с периодичностью (сколько раз в год) будут осу-

ществляться выплаты или платежи (PMT).

Пример: предложена к покупке закладная по договору ипотеки, по которой на протяжении 20 лет будут осуществляться ежемесячные выплаты 12 000 руб. Необ-

ходимо определить цену покупки закладной для инвестора, который требует на свои инвестиции доходность 12 % годовых.

Решение: РVA = 12000 руб. х (1 – 1/(1+0,12/12)240 ) /(0,12/12) = 1 310 167 руб.

В случае, если инвестор приобретет закладную за 1 310 167 руб., то получив за 20

лет обещанный денежный поток, вернет свои инвестиции в полном объеме и обес-

печит доходность на них 12 % годовых.

117

В стоимостной оценке функция лежит в основе доходного подхода к опреде-

лению стоимости объекта оценки, способного генерировать доход (например, обли-

гация с постоянным доходом, доходная недвижимость).

Функция «Накопление единицы за период»

Функция позволяет определить будущую стоимость (FV) равновеликих пери-

одических (аннуитетных) денежных сумм, выплат или платежей (PМT), размещае-

мых на пополняемом банковском счете на условиях банка (заданы значения i, m, n).

Формула расчета величины PV представлена ниже, формула (7).

(7)

Все составляющие формулы описаны в формулах 1 – 6.

Пример применения функции: определить сколько будет накоплено на попол-

няемом счете через 3 года, если ежемесячно пополнять вклад на 50 000 руб. (перво-

начальный вклад также 50 000 руб.). Процентная ставка по вкладу 12% годовых.

Решение: 50 000 руб. х [(1+0,12/12)^(12х3) -1] / (0,12/12) = 2 153 844 руб.

В стоимостной оценке функция используется как вспомогательная.

Функция «Фактор фонда возмещения»

Определяет величину периодического пополнение вклада (PMT) с процентной ставкой I и периодичностью ее начисления m, чтобы за определенный период вре-

мени n накопить нужную сумму (FV). Формула функции соответствует формуле 8.

Все составляющие формулы описаны в формулах 1 – 6.

118

В стоимостной оценке функция используется при определении стоимости не-

движимости доходным подходом, например, для определения годового периодиче-

ского платежа, извлекаемого из величины годового чистого операционного дохода

(от сдачи в аренду объекта недвижимости), необходимого для накопления суммы,

необходимой для замены короткоживущих элементов здания (сооружения) в кон-

кретный год эксплуатации недвижимости в будущем.

Пример использования функции: определить периодический годовой взнос на пополняемый счет в коммерческом банке, что бы на условиях вклада через 15 лет накопить 600 000 руб. Става по вкладу 12 % годовых, начисление процентов – 1 раз в год.

Решение задания: PMT = 600 000 руб. х 0,12 / ((1 + 0,12)^(1*15) – 1) = 16094,54

руб. Фактор функции равен 0,0268.

Функция «Взнос на амортизацию единицы»

Функция позволяет определить величину аннуитетного платежа, необходимо-

го для полной амортизации кредита в соответствии с условиями банка. Реализация функции осуществляется по формуле (9). Для применения функции должно быть известно:

-срок кредитования – n лет;

-процентная ставка по кредиту – i % годовых;

-периодичность равновеликих и равномерных платежей по кредиту – m раз в

год.

(9)

Все составляющие формулы описаны в формулах 1 – 6.

Пример использования функции: определить величину периодического пла-

тежа по кредиту (PMT) на следующих условиях коммерческого банка:

119

-величина кредита 100 000 руб., то есть PV = 100 000 руб.;

-ставка по кредиту 14 % годовых, то есть i = 14 %;

-срок кредита 2 года, то есть n = 2;

-периодичность аннуитетных платежей по кредиту – ежемесячно, то есть

m = 12.

Решение задания:

)] = 4801,29 руб.

Переплата по кредиту составит (4801,29 руб. х 24 мес. – 100 000 руб.) = 15 230,92 руб.

Как видно из приведенных выше расчетных формул все функции можно раз-

делить на прямые и обратные (таблица 6). Фактор конкретной прямой функции =

обратному значению соответствующей ей обратной функции, то есть фактор прямой функции = 1 / фактор обратной функции.

Таблица 6 - Распределение шести функций денежной единицы на прямые и обратные

Правило 72

Использование правила 72 позволяет определить при известной ставке бан-

ковского вклада и ежегодном начислении процентов количество лет, необходимых для удвоения вклада. Правило 72 применяется корректно при ставках процента, ле-

жащих в диапазоне: 3% - 18 %. Выполнение указанного расчета осуществляется по формуле (10).

120