Пусть даны два приближённых числа * и *, предельные абсолютные и относительные погрешности которых известны: и ;и . Тогда предельные абсолютные и относительные погрешности для их суммы, разности, произведения и частного будут определяться по формулам:

Ещё одним источником вычислительной погрешности при решении прикладных задач является вычисление функций = ( ) от приближённых значений аргумента *.

Если предположить, что погрешность приближённого значения невелика * ≈ , а предельные абсолютная и относительная погрешности известны, то предельные абсолютная и относительная погрешности его функции * = ( *) будут определяться формулами:

3.2.Численное решение нелинейных уравнений

Численное решение нелинейных уравнений вида

относится к тому редкому типу прикладных задач, которые допускают достаточно полное исследование элементарными средствами и простую геометрическую интерпретацию. Задача отыскания корней нелинейного уравнения (3.1) часто возникает как элементарный шаг при решении более сложных практических задач.

Корнем уравнения называется такое значение неизвестной ¯, при котором верно равенство (¯) = 0. Корень ¯ уравнения (3.1) называется простым, если верно неравенство ′(¯) ̸= 0; в противном случае корень ¯ называется однократным. В более общем случае, корень ¯

уравнения (3.1) будет -кратным, если ( )(¯) = 0 для всех производных ( ) до -ого порядка включительно = 1,2, . . . , .

Отыскание простых корней нелинейного уравнения (3.1) происходит в два этапа. На первом этапе происходит локализация корней, а на втором –– запускается процедура итерационного уточнения приближённых значений корней уравнения.

Структура всех итерационных методов решения нелинейного уравнения (3.1) включает в себя выбор некоторого начального приближения 0 к точному значению корня ¯ и построение так называемой итерационной процедуры, которая обеспечивает последовательное уточнение начального приближения: 0 → 1 → 2 → . . . При корректном выборе начального приближения 0 и итерационной процедуры полученная последовательность приближений будет сходится к точному значению корня → ¯ при → ∞.

3.2.1. Локализация корней уравнения

Отрезок [ , ], содержащий только один из корней ¯ нелинейного уравнения (3.1), называют отрезком локализации данного корня. И хотя не существует достаточно надёжного и универсального метода локализации всех корней нелинейного уравнения, но во многих случаях достаточно хороший результат даёт простейший графический метод. Отметим, что для успешного отыскания корня нелинейного уравнения далеко не всегда требуется полное решение задачи локализации. Во многих случаях достаточно найти хорошее начальное приближение ¯0 к искомому значению ¯.

Пример 3.1. Провести локализацию корней нелинейного уравнения

графиков функций «[r(x),l(x),y(x)]», на интервалах по осям абсцисс «[x,-1/2,3/2]» и ординат «[y,-1/2,3/2]».

Листинг 3.1. Локализация корней уравнения

(%i1) l(x):=1/2-(x-1/2)^3$ r(x):=exp(-3*x^2)$

(%i2) y(x):=l(x)-r(x)$

разных знаков ( ) ( ) < 0, то найдётся по крайней мере одна точка¯ [ , ] такая, что (¯) = 0.

Если допустить, что на отрезке [ , ] лежит лишь один корень ¯ уравнения (3.1), то с помощью указанного критерия нетрудно построить итерационную процедуру, обеспечивающую последователь-

ное уточнение начального приближения 0 = + .

2

Так как истинное положение корня ¯ на отрезке [ , ] = [ 0, 0] не

известно, то перед началом итераций можно утверждать, что погрешность нулевого приближения не превышает текущего радиуса отрезка локализации: |¯ − 0| 6 0− 0 . Уменьшить погрешность приближения можно путём уменьшения2длины отрезка локализации.

Согласно методу бисекции (половинного деления) в качестве нового отрезка локализации берётся тот из полуотрезков [ 0, 0] или [ 0, 0], для которого выполняется условие ( 1) ( 1) 6 0. В соответствии с теоремой Больцано–Коши этот полуотрезок и будет содержать искомый корень ¯ уравнения (3.1). Тогда центр полученного

отрезка [ 1, 1] даёт новое приближение к корню 1 = 1+ 1 с погреш-

ностью |¯ − 1| 6 1− 1 .

2

2

Анализ метода показывает, что -ое приближение к корню бу-

дет иметь погрешность |¯− | 6 − , то есть метод бисекции сходит-

2 +1

ся со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем = 1 .

2

С практической точки зрения это достаточно высокий показатель.

Например, для сокращения интервала локализации в 109 раз потребуется не более 29 итераций методом бисекции.

Критерий окончания итераций в методе бисекции состоит в сокращении радиуса текущего интервала локализации до уровня допустимой погрешности .

Пример 3.2. Используя результаты локализации из предыдущего примера найти с помощью метода бисекции отрицательный корень

Листинг 3.2. Поиск корня методом бисекции

(%i1) f(x):=1/2-(x-1/2)^3-exp(-3*x^2)$

(%i2) a:-1/4$ b:0$ n:0$ en:1.E-4$

(%i3) for i:1 while abs(b-a)/2 > en do (

c:(a+b)/2, n:i,

if f(a)*f(c) < 0 then b:c else a:c)$