44 3. Элементы вычислительной математики

стью = 10−6.

Сравнивая полученные результаты отметим, что из приведённых примеров формула парабол даёт наилучший по точности результат. Для достижения заданной погрешности аппроксимации при использовании формулы парабол (3.11) в приведённом примере шаг узлов

сокращается до значения 3 = ( 1 )3 = 1 , которое достигается всего за

2 8

три итерации. Однако, с точки зрения трудоёмкости, аппроксимация

параболами требует вычисления почти вдвое большего числа значений подынтегральной функции.

3.4. Численное решение задачи Коши

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если оно связывает независимую переменную , искомую функцию и её производные ′, ′′, . . . , ( ) до -го порядка включительно:

где порядок старшей производной ( ) соответствует порядку дифференциального уравнения.

Общим решением обыкновенного дифференциального уравнения называется явная функция

связывающая независимую переменную и постоянных интегрирования 1, 2, . . . , и обращающая уравнение (3.12) в тождество. Определение постоянных интегрирования 1, 2, . . . , с помощью

системы начальных условий:

0 = ( 0, 1, 2, . . . , ),

приводит к получению частного решения обыкновенного дифференциального уравнения:

Совокупность обыкновенного дифференциального уравнения (3.12) и начальных условий (3.14) образует задачу Коши.

3.4.1. Метод Эйлера

Запишем задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка в виде:

Для численного решения задачи (3.16) в области определения[ , ] искомой функции 3.15 введём сетку = 0 < 1 < . . . < < = . Для простоты будем считать сетку равномерной, а шаг

сетки = − −1 –– постоянной величиной = − .

В основе рассматриваемых численных методов лежит замена исходного дифференциального уравнения его дискретным конечно-раз- ностным аналогом. Для построения конечно-разностного уравнения разложим искомую функцию в окрестности узла сетки в ряд Тейлора по степеням :

Сохранив в (3.17) первые два слагаемых и подставив вместо производной известную из (3.16) функцию ′ = ( , ) получим основную формулу метода Эйлера (формулу ломаных)

= −1 + · ( −1, −1) или − −1 = ( −1, −1). (3.18)

Последнее выражение формально соответствует заданному дифференциальному уравнению, производная из левой части которого заменена своим конечно-разностным аналогом. Поскольку для вычисления значения сеточной функции в текущей точке в формуле (3.18) используется лишь одно её значение в предшествующей точ-

ке 1, то конечно-разностный метод Эйлера относится к семейству

явных одношаговых методов

− .

Пример 3.8. Решить задачу Коши для обыкновенного дифферен-

Для решения поставленной задачи в листинге 3.8 : (%i1)–(%o5) задаются границы интервала «a:0», «b:1.6» и начальное значение

функции «ya:0.5». Затем определяются вектор значения шага сетки «h:[0.4,0.2,0.1]» и функция, соответствующая значениям первой производной в заданных точках «f(x,y)». Далее в 3.8 : (%i6)– (%o7) задаются формулы для нахождения абсцисс «x[i,j]» и ординат «y[i,j]» сеточной функции в зависимости от номера узла «i» и шага сетки «j». После применения начальных условий в 3.8 : (%i8)–(%o11) генерируются списки координат сеточных функций, соответствующих каждому из значений шага сетки «dots1», «dots2» и «dots3». Для сопоставления качества построенных аппроксимаций в 3.8 : (%i14)–(%o15) находится точное решение исходной задачи Коши в символьном виде.

Листинг 3.8 Решение задачи Коши методом Эйлера

(%o14) = (% − (− − 1)% − )%

rat: replaced -0.5 by -1/2 = -0.5

(%o15) = −% −22 − 2

На рис.3.6 показана аппроксимация решения задачи Коши лома-

линии –– аппроксимирующим ломаным, а красные символы «∙» различного размера –– узлам сеточной функции ( , ) на сетках с различным шагом .

Рис. 3.6. Аппроксимация решения задачи Коши ломаными Эйлера на

Нетрудно заметить, что решение поставленной задачи Коши по методу Эйлера даёт лишь одностороннее приближение и порождает систематическую ошибку при аппроксимации решения сеточной функцией. Из рис.3.6 видно, что уменьшение шага сетки в два и в четыре раза приводит к аналогичному сокращению погрешности, что говорит о первом порядке точности ( ) метода Эйлера.

Для улучшения аппроксимации решения задачи Коши можно использовать конечно-разностные методы второго порядка точности, например, методы типа предиктор-корректор.

3.4.2. Метод Эйлера–Коши

Разностная схема типа предиктор-корректор, построенная на основе явного метода Эйлера, получила название метода Эйлера–Коши и основана на формуле:

48 3. Элементы вычислительной математики

где второе слагаемое в правой части содержит полусумму значений функции ( , ) в предшествующей ( − 1) и искомой точках. Поскольку искомое значение в точке ( − 1) не известно, то в общем случае это приводит к появлению на каждом шаге нелинейного уравнения вида = ( −1, , −1, ), для решения которого в разностной схеме Эйлера–Коши используется описанный в разделе 3.2.3 метод простой итерации.

В результате схема Эйлера–Коши разбивается на две стадии. На стадии предиктора оценка искомого значения вычисляется по явно-

Пример 3.9. Решить задачу Коши для обыкновенного дифферен-

Для решения поставленной задачи в листинге 3.9 : (%i1)–(%o5) задаются границы интервала «a:0», «b:1.6» и начальное значение функции «ya:0.5». Затем определяются вектор значения шага сетки «h:[0.4,0.2,0.1]» и функция, соответствующая значениям первой производной в заданных точках «f(x,y)». Далее в 3.9 : (%i6)– (%o8) задаются формулы для нахождения абсцисс «x[i,j]» и ординат «y[i,j]», «z[i,j]» сеточных функций в зависимости от номера узла «i» и шага сетки «j». После применения начальных условий в 3.9 : (%i9)–(%o15) генерируются списки координат сеточных функций, соответствующих значениям шага сетки «dots1», «dots2» и «dots3». Для контроля качества построенных аппроксимаций в 3.9 : (%i18)–(%o19) находится точное решение исходной задачи Коши в символьном виде.

Листинг 3.9 Решение задачи Коши методом Эйлера–Коши

(%i1) a:0$ b:1.6$ ya:0.5$

h:[0.4,0.2,0.1]$

f(x,y):=y-x;

z[0,1]:ya$ z[0,2]:ya$ z[0,3]:ya$

dots1:makelist([x[i,1],z[i,1]],i,0,(b-a)/h[1]);

dots2:makelist([x[i,2],z[i,2]],i,0,(b-a)/h[2])$

dots3:makelist([x[i,3],z[i,3]],i,0,(b-a)/h[3])$

(%o15) [[0,0.5],[0.4,0.66],[0.8,0.716],[1.2,0.6248],[1.6,0.3256]] (%i18) ode2(’diff(y,x)=f(x,y),y,x);

ic1(%,x=a,y=ya);

(%o18) = (% − (− − 1)% − )%

rat: replaced -0.5 by -1/2 = -0.5

(%o19) = −% −22 − 2

На рис.3.7 показана аппроксимация решения задачи Коши лома-

графику точного частного решения = − + + 1, красные сплош-

2

ные линии –– аппроксимирующим ломаным, а красные символы «∙»

различного размера –– узлам сеточной функции ( , ) на сетках с различным шагом .

Сопоставление решений поставленной задачи Коши методами Эйлера и Эйлера–Коши на рис. 3.6 и 3.7 наглядно демонстрирует, что переход к методам второго порядке точности ( 2) обеспечивает существенно меньшую ошибку аппроксимации при одних и тех же значениях шага сетки.

Для дальнейшего улучшения аппроксимации решения задачи Коши можно использовать конечно-разностные методы более высоких порядков точности, например, методы Рунге–Кутты.