Рис. 3.7. Аппроксимация решения задачи Коши ломаными Эйлера–Коши

3.4.3. Методы Рунге–Кутты

Основная идея методов Рунге–Кутты состоит в построении разностной схемы таким образом, чтобы приращение функции на текущем шаге = − −1 совпадало с приращением, определяемым рядом Тейлора (3.17) с учётом как можно большего числа его членов. При этом для определения старших производных используются их конечно-разностные аналоги в некоторых специально подобранных точках, лежащих на отрезке [ −1, ]. Методы Рунге–Кут- ты позволяют строить конечно-разностные схемы различных порядков точности. Одной из наиболее распространённых является явная четырёхстадийная конечно-разностная схема четвёртого порядка точности, определяемая формулами:

Пример 3.10. Решить задачу Коши для обыкновенного дифферен-

Программа, обеспечивающая решение поставленной задачи, в основном аналогична программе из предыдущего примера. Для генерирования списка координат сеточных функций по методу Рунге– Кутты в листинге 3.10 : (%i6)–(%o7) используется функция «rk()», загружаемая из библиотеки «dynamics». Аргументами данной функции являются: а) правая часть интегрируемого дифференциального уравнения «f(x,y)»; б-в) обозначение искомой функции «y» и её начальное значение «ya»; г) обозначение независимой переменной и данные для построения сетки «[x,a,b,h]».

Листинг 3.10 Решение задачи Коши методом Рунге–Кутты

(%i1) a:0$ b:1.6$ ya:0.5$

h:[0.4,0.2,0.1]$

f(x,y):=y-x;

(%o5) ( , ) := −

(%i6) load(dynamics)$

dots1:rk(f(x,y),y,ya,[x,a,b,h[1]]);

dots2:rk(f(x,y),y,ya,[x,a,b,h[2]])$

dots3:rk(f(x,y),y,ya,[x,a,b,h[3]])$

(%o7) [[0.0,0.5],[0.4,0.654133],[0.8,0.687366],[1.2,0.540247],[1.6,0.124090]] (%i10) ode2(’diff(y,x)=f(x,y),y,x);

ic1(%,x=a,y=ya);

(%o10) = (% − (− − 1)% − )%

rat: replaced -0.5 by -1/2 = -0.5

(%o11) = −% −22 − 2

На рис.3.8 показана аппроксимация решения задачи Коши лома-

графику точного частного решения = − + + 1, красные сплош-

2

ные линии –– аппроксимирующим ломаным, а красные символы «∙»