81. Основы математического моделирования

воляют узнать что-то новое об исследуемых объектах или явлениях на основе изучения более простых экземпляров, похожих на исходные лишь по некоторым основным свойствам. Построение моделей по аналогии с уже изученными явлениями весьма распространено в биологических, экономических и других областях, связанных с изучением трудноформализуемых явлений.

Модели мысленного эксперимента (главное состоит в опровержении возможности. . . ) могут быть трудно осуществимыми или не слишком реалистичными, но не нарушающими известные законы физики. Обычной целью постановки таких экспериментов является опровержение ложных гипотез, предсказывающих противоречащие здравому смыслу результаты.

1.2. Формальные математические модели

Простейшие способы перехода от содержательных к формальным математическим моделям заключаются в использовании законов сохранения и вариационных принципов с применением методов теории размерностей.

1.2.1. Законы сохранения

Наиболее распространённым подходом к формализации математических моделей является использование фундаментальных законов сохранения: энергии, массы, импульса. Законы сохранения универсальны, общепризнаны и многократно подтверждены опытными данными, а поэтому обоснованность их применения не вызывает сомнений. Наиболее существенным вопросом является конкретная форма записи законов сохранения и методика их применения в рамках конкретной содержательной модели.

Пример 1.1. Найти неизвестную скорость тела массой , совершившего соударение с маятником массой и длиной подвеса .

Считая стержень маятника невесомым и недеформируемым, соударение тела с маятником –– центральным и абсолютно неупругим, а систему «тело–– маятник»–– консервативной, в соответствии с законом сохранения механической энергии допустим, что застревающее в маятнике тело сообщает системе «тело–– маятник» всю свою кинетическую энергию, которая в момент наибольшего отклонения стержня

α

l

v V

mm + M

Рис. 1.1. Неупругое соударение в системе «тело–– маятник»

маятника от положения равновесия полностью переходит в потенциальную энергию системы. Преобразования механической энергии в такой системе выражаются следующей системой равенств:

где –– скорость системы «тело –– маятник» после поглощения энергии тело; –– угол наибольшего отклонения стержня маятника от положения равновесия; –– ускорение свободного падения.

Разрешая систему равенств (1.1) относительно искомой скорости тела получим:

которая выглядит достаточно точной, хотя не учитывает потери энергии тела на преодоление сопротивления воздуха, разогрев тела и маятника при соударении, деформацию и момент инерции стержня и т.д. В результате хотя закон сохранения полной энергии остаётся ве-

рен, но реальные механические системы не являются консервативными, и формула (1.2) даёт лишь нижнюю оценку скорости тела.

1.2.2. Вариационные принципы

Ещё одним подходом к построению математических моделей, сравнимым по своей универсальности с законами сохранения, является применение вариационных принципов. Эти принципы представляют собой весьма общие утверждения об исследуемом объекте и позволяют выбрать из множества вариантов его поведения лишь те, которые отвечают определённому условию. Чаще всего это означает, что некоторая связанная с объектом величина достигает своего экстремального значения.

Пример 1.2. Рассмотрим автомобиль, движущийся с постоянной скоростью из точки в точку и при этом касающийся некоторой прямой линии, не проходящей ни через точку , ни через точку . Требуется найти путь , обеспечивающий минимальные затраты времени в заданных условиях.

A′

Рис. 1.2. Траектория автомобиля из точки в точку , касающаяся прямой линии в точке

Учитывая нефиксированное положение точки на заданной прямой представим искомый путь как ломаную линию, состоящую из двух отрезков и . Эти отрезки соответствуют гипотенузам двух прямоугольных треугольников для которых известны длины катетов и , противолежащих вершине , и сумма длин катетов

, прилежащих к вершине . Тогда время, затраченное на путь , можно выразить как функцию угла , соответствующего внутреннему углу при вершине в одном из прямоугольных треугольников:

Условие экстремума функции ( ) по аргументу означает, что

В таком случае, дифференцируя уравнение (1.3) и приравнивая его нулю получим условие экстремума:

При любых значениях будет справедливо равенство:

дифференцируя которое получим

Совместное решение уравнений (1.5) и (1.7) приводит к ожидаемому выводу о минимизации времени движения при равенстве углов= , которые отрезки и , составляют с заданной прямой в точке .

1.2.3. Элементы теории размерностей

Теория размерностей занимается установлением связей между параметрами, характеризующими поведение изучаемого объекта или явления [3]. Анализ размерностей этих параметров позволяет определить структуру формальной математической модели в виде зависимости между безразмерными комбинациями, составленными из таких параметров.

Размерностью величины или параметра в физике и технических науках называют произведение степеней независимых единиц

измерения некоторой совокупности физических величин, принятых в качестве основных.

Международная система единиц СИ определяет семь основных и множество производных единиц физических величин, а также набор приставок. Установлены стандартные сокращённые обозначения единиц физических величин и правила записи производных единиц. В качестве основных приняты следующие единицы измерения: длины –– метр (м), массы –– килограмм (кг), времени –– секунда (с), силы электрического тока–– ампер (А), термодинамической температуры–– кельвин (К), силы света–– кандела (кд), количества вещества–– моль. Математические выражения для производных единиц вытекают из физических законов, с помощью которых эти единицы измерения определяются. В простейших случаях эти законы выражают в форме определений физических величин.

Например, размерность ускорения записывают в виде:

[ ] = [ ] [ ] = м · с−2 = см2 ,

где = 1 –– показатель размерности массы.

Для величины, определяемой произведением или частным размерных величин, показатели размерности определяются алгебраической суммой показателей соответствующих сомножителей. Так, размерность механической мощности вытекает из определения:

где = 1, + = 2 –– исходный и суммарный показатели размерности длины; = −1, + = −3 –– исходный и суммарный показатели размерности времени.

Нетрудно заметить, что для принятой системы основных единиц измерения размерность любой величины может быть представлена единственным образом в виде произведения:

=1

где [ ] –– размерности основных единиц измерения; –– суммарные показатели степени основных единиц измерения в определении величины .

Наименьшая совокупность размерных и безразмерных величин, однозначно характеризующих состояние изучаемого объекта или явления в формальной математической модели соответствует её определяющим параметрам. Остальные величины, зависящие от определяющих параметров, называют определяемыми параметрами математической модели. Объединение определяющих и определяемых параметров образует совокупность основных параметров данной математической модели.

Пусть рассматриваемую математическую модель характеризует основных неотрицательных параметров > 0, = 1,2, . . . , , для каждого из которых справедливо равенство (1.8). Рассмотрим произведение вида:

где –– некоторые показатели степени. Подставляя (1.8) в (1.9) и приравнивая размерность [Π] к единице получим:

Из выражений (1.10) очевидно, что соблюдение равенства [Π] = 1 возможно лишь при выполнении равенств = 0, или

=1

Известно, что однородная система линейных алгебраических уравнений (1.11), записанная относительно неизвестных с матрицей размерностей ( ) ранга , имеет ( − ) линейно независимых решений, которым соответствует ( − ) независимых произведений (1.9), называемых критериями подобия [4].

Используя критерии подобия можно привести к безразмерному виду любую имеющую физический смысл зависимость между основными параметрами математической модели. Действительно, если такая зависимость содержит слагаемые, то их размерность будет одинакова, а аргументы любых функций (кроме степенных) должны быть безразмерными, то есть путём элементарных преобразований подобные зависимости могут быть приведены к безразмерному виду.

Пример 1.3. Стержень длиной с круглым поперечным сечением диаметром растягивается силой вдоль продольной оси. Перемещение свободного конца стержня относительно закреплённого опре-

гивающее напряжение в стержне; –– модуль упругости материала

стержня при растяжении. Требуется выразить основные уравнения математической модели в безразмерной форме и определить минимальный набор критериев, требуемых для такого описания.

Исходя из описания определяющими параметрами математической модели будут сила растяжения (Н), модуль упругости материала (Па), длина и диаметр (м), а определяемыми параметрами–– растягивающее напряжение (Па) и перемещение (м). Размерности= 6 основных параметров выражаются через = 3 основных единицы измерения: длину (м), массу (кг) и время (с). В таком случае можно записать следующую матрицу размерностей:

Нетрудно заметить, что вторая и третья строки матрицы размерностей пропорциональны, а ранг матрицы меньше числа её строк= 2 < 3 = . В результате основные параметры образуют − = 4 независимые безразмерные комбинации. В качестве примера можно

критерия геометрического подобия Π1 отпадает. Действительно, при

< для представления в безразмерном виде зависимостей между основными параметрами достаточно использовать − = 3 безразмерные комбинации Π2, Π3 и Π′4.