52 |
3. Элементы вычислительной математики |
различного размера –– узлам сеточной функции ( , ) на сетках с различным шагом .
Рис. 3.8. Аппроксимация решения задачи Коши ломаными Рунге–Кутты
на отрезке [0, |
8 ] |
с шагами сеток |
1 = 2 |
, |
2 = 1 |
и |
3 = 1 |
|
5 |
5 |
5 |
|
10 |
||||
Сопоставление решений поставленной задачи Коши методами Эйлера, Эйлера–Коши и Рунге–Кутты на рис. 3.8 наглядно демонстрирует, что использование методов четвёртого порядке точности ( 4) обеспечивает визуально неразличимую ошибку аппроксимации даже при сравнительно больших значениях шага сетки.
3.5. Контрольные вопросы
1.В каком случае корень уравнения ( ) = 0 называется простым, а в каком случае–– -кратным?
2.Какое условие можно использовать для локализации простого корня уравнения ( ) = 0 на отрезке [ , ]?
3.Запишите итерационные формулы для методов: а) бисекции; б) простой итерации; в) касательных.
4.Запишите формулы апостериорных оценок погрешностей для методов: а) бисекции; б) простой итерации; в) касательных.
3.5. Контрольные вопросы |
53 |
5. Если максимальное значение первой производной на отрезке ло-
кализации = 2 , то какой из методов даст большую скорость
3
сходимости: метод бисекции или метод простой итерации?
6. Если максимальное значение первой производной на отрезке ло-
кализации = 1 , то какой из методов даст большую скорость
2
сходимости: метод бисекции или метод простой итерации?
7. Вычисление интеграла ∫ ( ) d геометрически эквивалентно нахождению: а) площади прямоугольника, ограниченного лини-
ями: = , = , = 0, = ( + ); б) площади криволинейной
2
трапеции, ограниченной линиями: = , = , = 0, = ( ); в) объёма тела, полученного вращением криволинейной трапеции, которая ограничена линиями: = , = , = 0, = ( ).
8.Квадратурной называется формула: а) приближенного интегрирования; б) нахождения корней квадратного уравнения; в) разложения квадрата суммы двух переменных.
9.Известно, что интегрируемая функция–– линейная, область интегрирования [−1, 1], а интегрирование производится методом трапеций. Сколько интервалов разбиения потребуется для достижения точности не менее 0,01?
10.При численном интегрировании по методу трапеций через последовательные точки разбиения проводятся серии: а) синусоид; б) прямых; в) парабола.
11.При численном интегрировании по методу Симпсона через последовательные точки разбиения проводятся серии: а) синусоид; б) прямых; в) парабол.
12.Для применения формулы парабол необходимо, чтобы число вычисляемых значений функции было: а) нечётным; б) чётным; в) простым числом.