36 3. Элементы вычислительной математики

Далее выполняется инициализация переменных, а затем в цикле «for...while» запускается итерационный процесс, где «x0», «x1» –– предшествующее и текущее приближения 1, корней уравнения; «n»–– счётчик выполненных итераций. −

Условие остановки итераций состоит в достижении апостериорной оценкой погрешности текущего приближения заданного допустимого уровня | − −1| > .

По завершении вычислений на экран выводится искомое приближение корня нелинейного уравнения 3 = −0.2169 с предельной абсолютной погрешностью = 0,0001.

Сравнение с предыдущими примерами показывает, что метод касательных демонстрирует в 10 раза большую скорость сходимости по сравнению с методом простой итерации и в 3,7 раза большую скорость сходимости по сравнению с методом бисекции.

3.3. Методы численного интегрирования

В прикладных исследованиях часто возникает задача вычисления значений определённого интеграла функции одного аргумента

который может выражать площадь, объём, работу переменной силы и тому подобное. Если подынтегральная функция ( ) непрерывна на отрезке [ , ] и её первообразная ( ) выражается через элементарные функции, то для вычисления интеграла можно использовать формулу Ньютона–Лейбница

( ) d = ( ) = ( ) − ( ).

Однако, во многих практически важных случаях первообразная ( ) подынтегральной функции не может быть записана в виде конечной комбинации элементарных функций, что вынуждает исследователей использовать численные методы. Ещё одним случаем, приводящим к использованию численных методов, является запись подынтегральной функции ( ) в виде таблицы значений.

Наиболее простым способом вычисления определённого интеграла (3.7) является использование квадратурных формул вида

где –– числовые коэффициенты, называемые весами квадратурной формулы; [ , ] –– точки из промежутка интегрирования, называемые узлами квадратурной формулы.

Вывод основных квадратурных формул основан на простейших геометрических соображениях. Хорошо известно, что определённый интеграл функции одного аргумента (3.7) геометрически эквивалентен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком подынтегральной функции = ( ), снизу–– осью абсцисс = 0, а справа и слева –– прямыми = и = . Тогда, разбиение промежутка интегрирования точками = 0 < 1 < . . . < = породит разбиение искомой площади на элементарные криволинейные трапеции

которые могут быть аппроксимированы различными способами. Далее для простоты ограничимся рассмотрением разбиения с постоян-

где показатель = 1 для метода прямоугольников, = 2 для метода трапеций, = 3 для метода парабол.

3.3.1. Метод прямоугольников

При аппроксимации площади элементарной криволинейной трапеции площадью элементарного прямоугольника, основанного на отрезке [ −1, ] с высотой ( − 12 ), легко получить квадратурную формулу прямоугольников:

ного интервала.

Важным вопросом, возникающим при вычислении определённого интеграла по формуле (3.9), является выбор шага разбиения, поскольку текущая погрешность аппроксимации зависит от величины шага и не должна превышать допустимого уровня ( ) = − ( ) 6 . Тогда при заданной допустимой погрешности формируется ряд

возможных значений шага 1, 2 = 1 , . . . , для каждого из которых

2

находят апостериорную оценку погрешности ( ) по формуле (3.8) при = 1.

Пример 3.5. Вычислить значение определённого интеграла функ-

2

ции Гаусса ( ) = √1 − 2 на отрезке [−1, 3] с погрешностью, не

2

превышающей = 10−6, используя квадратурную формулу прямоугольников (3.9).

Для решения поставленной задачи определяется функция «f(x)»,

2

вычисляющая значения подынтегральной функции ( ) = √1 − 2

2

в заданных узлах . Далее задаются границы промежутка интегрирования «a» и «b», требуемая погрешность аппроксимации «en» и функция «Jc(h)», вычисляющая приближённое значение искомого интеграла по формуле центральных прямоугольников (3.9). Затем определяются начальное значение шага «h» и оценки значений иско-

мого интеграла «J0» и «J1» для 0 = 1 и 1 = 1 .

2

Листинг 3.5. Численное интегрирование методом прямоугольников

(%i1) f(x):=exp(-x^2/2)/sqrt(2*%pi)$

(%i2) a:-1$ b:3$ en:1.E-6$

Jc(h):=float(h*sum(f(a+h*(i-1/2)),

i,1,(b-a)/h))$

(%i6) h:1/2$ J0:Jc(2*h)$ J1:Jc(h)$

(%i9) while abs(J1-J0) > en do (

h:h/2, J0:J1, J1:Jc(h))$

print("J[", h, "]=", round(J1/en)*en)$

[ 2561 ] = 0.839995

На рис.3.3 показана аппроксимация центральными прямоугольниками интеграла функции Гаусса на отрезке [−1, 3] с начальным

значением шага 1 = 1 . Чёрная утолщённая линия соответствует графику функции = 2 ( ), красная основная линия –– огибающей аппроксимирующих прямоугольников, а точки красного цвета–– значениям функции ( ), использованным для построения аппроксимации.

Рис. 3.3. Аппроксимация центральными прямоугольниками определённого интеграла для функции Гаусса ( ) на отрезке [−1, 3] с шагом

узлов 1 = 1

2

После инициализации переменных запускается цикл «while» в рамках которого происходит вычисление приближений искомого интеграла «J0» и «J1» и оценки их апостериорной погрешности ( ) по формуле (3.8) при последовательном уменьшении шага . Условием входа в цикл является превышение требуемой погрешности аппроксимации | ( )| > .

По завершении вычислений на экран выводится искомое приближение интеграла 1 = 0,839995 с предельной абсолютной погреш-

ностью = 10−6. 256 Из полученного результата видно, что для достижения заданной

погрешности аппроксимации при использовании формулы центральных прямоугольников (3.9) в приведённом примере потребовалось со-