Глава 4
Моделирование в приложениях
При построении математической модели какого-либо явления в форме дифференциального уравнения, как правило, требуется информация лишь о локальных взаимосвязях его характеристик. Но именно дифференциальное уравнение даёт исследователю возможность изучать явление в целом, прогнозировать его развитие с течением времени в зависимости от начальных условий.
4.1.Падение тела с учётом сопротивления воздуха
Рассмотрим задачу о свободном падении тела вниз с различной начальной скоростью 0 вблизи от уровня моря. Первичной силой, действующей на тело в свободном падении, является сила тяжести= , где –– масса тела, кг; = 9,81 мс2 –– ускорение свободного падения вблизи от уровня моря. Вторичной силой, возникающей при движении тела в атмосфере, является сила сопротивления воздуха, которую можно считать пропорциональной квадрату скорости движения = − 2, где –– коэффициент парусности, определяемый размерами и формой поверхности падающего тела, м1 ; –– скорость движения тела в атмосфере, мс . Равнодействующая этих сил с учётом второго закона Ньютона приводит к задаче Коши для дифференциального уравнения первого порядка:
′ = |
− |
2 |
, |
(0) = . |
(4.1) |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что искомая скорость будет монотонной функцией времени ( ), совместно с (4.1) можно рассмотреть задачу о предельной
скорости свободного падения ∞, достигаемой телом в пределе при |
||||
→ ∞ или при ′ → 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 = 0, |
или |
∞ |
= √√ . |
(4.2) |
∞ |
|
|
|
|
Для решения запишем задачу Коши (4.1) с учётом (4.2):
4.1. Падение тела с учётом сопротивления воздуха |
55 |
|
|||
′ + 2 |
− |
= 0, |
(0) = , |
(4.3) |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
исследование которой показано в листинге 4.1.
Для нахождения решения задачи Коши при > 0 и > 0 в листинге 4.1 : (%i1)–(%o5) используются функции «ode2()» и «ic1()», в комбинации с «solve()» и «expand()». Аргументами этих функций являются: а) левая часть «de» дифференциального уравнения (4.3); б-в) обозначение искомой функции «v» и переменной интегрирования «t»; г-д) начальные значения переменной «t=0» и функции «v=v0»; е-ж) общее «gs» и частное «ps» решения уравнения (4.3).
Для нахождения предельной скорости свободного падения в листинге 4.1 : (%i6)–(%o6) находится предел правой части общего решения «rhs(gs)» при → ∞.
С учётом найденного предела в 4.1 : (%i7)–(%o7) выполняется перевод правой части частного решения «rhs(ps)» в безразмерную
форму путём деления на предел √√ |
и замены |
переменных = |
|
√ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
√0√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
и 0 = |
|
с последующим упрощением дробно-иррационального |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
выражения с помощью функции «radcan()». |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Листинг 4.1 Падение тела с учётом сопротивления воздуха |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(%i1) |
assume(k>0)$ assume(g>0)$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
de:’diff(v,t)+k*v**2-g$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
gs:radcan(solve(ode2(de,v,t),v)[1]); |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ps:radcan(ic1(gs,t=0,v=v0)); |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
% √ |
|
|
|
(2 +2% ) + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
(%o4) |
= |
√ ( |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(% (2 |
+2% ) − 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ % 2√ + 1 |
0 + % 2√ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
(%o5) |
= |
|
|
(√ |
|
|
|
|
) |
√ |
√ |
|
|
− |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% 2 − |
0 + |
|
|
% 2 + 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
(%i6) |
vs:limit(rhs(gs),t,inf);( ) |
( |
) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(%o6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(%i7) |
ws:radcan(subst([t=u*vs/(g*2),v0=w0*vs],rhs(ps)/vs)); |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(%o7) |
(% + 1) 0 + % |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
(% − 1) 0 + % |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
56 |
4. Моделирование в приложениях |
На рис. 4.1 показаны примеры визуализации зависимости безразмерной скорости падения = √√ от безразмерного времени =
= 2 √ при различных значениях начальной скорости 0 = 0, 1 , 1,
2
3 . Хорошо видно, что если начальная скорость движения будет выше
2
предельной 0 > ∞ ( 0 > 1), то эволюция скорости во времени будет описываться монотонной функцией, асимптотически убывающей к уровню ∞ ( 0 = 1). В противном случае, если начальная скорость движения будет ниже предельной 0 < ∞ ( 0 < 1), то эволюция скорости во времени будет описываться монотонной функцией, асимптотически возрастающей к уровню ∞ ( 0 = 1).
Рис. 4.1. Зависимость безразмерной скорости падения от безразмерного времени при различных значениях начальной скорости 0
4.2.Колебания маятника с учётом силы трения
Рассмотрим задачу о колебаниях пружинного маятника массой с учётом силы трения. В первом приближении силу упругости можно считать пропорциональной отклонению от положения равновесия= , а силу трения –– пропорциональной скорости перемещения тела = ′ . Равнодействующая этих сил с учётом второго закона
4.2. Колебания маятника с учётом силы трения |
57 |
|
|||||
Ньютона ′′ = − ′ − приводит к задаче Коши для линейного |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
дифференциального уравнения второго порядка: |
|
|
|
||||
′′ + ′ |
+ = 0, |
(0) = 1, |
′ |
(0) = 0, |
(4.4) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
где –– масса тела, кг; –– коэффициент трения, определяемый раз-
мерами, формой и материалом поверхности тела, кг ; –– жёсткость |
||||||
|
|
|
|
|
с |
|
пружины, определяемая её формой и упругостью материала, кгс2 . |
||||||
Учитывая, что период собственных колебаний пружинного маят- |
||||||
ника равен |
= 2 ( )1/2, то собственную угловую частоту можно |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
выразить как 2 = |
|
, с−2. В таком случае, нормировав уравнение |
||||
|
||||||
|
|
|
|
|
||
(4.4) на массу тела , получим задачу Коши в виде: |
|
|||||
′′ |
+ 2 ′ + 2 = 0, |
(0) = 1, |
′ (0) = 0, |
(4.5) |
||
|
|
|
|
|
||
где = –– коэффициент, определяющий вторую характерную ча- |
|
2 |
|
стоту пружинного маятника, с−1. |
|
Теперь, используя безразмерное время |
= и безразмерную |
частоту пружинного маятника = , запишем задачу Коши (4.5) в |
||||||
форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
+ 2 ′ |
+ = 0, |
(0) = 1, |
′ |
(0) = 0, |
(4.6) |
|
|
|
|
|
|
|
исследование которой показано в листинге 4.2.
Для нахождения решения задачи Коши в листинге 4.2 : (%i1)– (%i5) используются функции «ode2()» и «ic2()», в комбинации с «subst()». Аргументами этих функций являются: а-б) подстановки безразмерной частоты «a=i/3» в цикле по переменной «i=1, 2, 3, 4» в левую часть «de» дифференциального уравнения (4.6); в-г) обозначения искомой функции «x» и переменной интегрирования «u»; д-е) начальные значения переменной «u=0», функции «x=1» и её производной «v=0»; ж) обозначения массива частных решений «ps[]» уравнения (4.6).
Листинг 4.2 Колебания маятника с учётом силы трения
(%i1) de:’diff(x,u,2)+2*a*’diff(x,u)+x;
v:’diff(x,u)$
(%o1) |
|
d2 |
+ 2 ( |
d |
|
) + |
|
d 2 |
d |
||||
(%i3) |
array(ps,4)$ |
|
|
|||
|
for i thru 4 |
do |
||||
58 |
4. Моделирование в приложениях |
ps[i]: ic2(ode2(subst(a=i/3,de),x,u),u=0,x=1,v=0)$
logcontract(ps[2]); ps[3]; logcontract(ps[4]);
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√5 |
+ √5 cos |
√5 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
% − 3 |
2 sin |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(%o5) |
= |
|
|
|
|
|
( |
( 3 √) |
|
|
|
|
|
( |
3 ) ) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(%o6) |
= ( + 1)% − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(√ |
|
−4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(√ |
|
7+4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
4√7 + 7 % |
|
4√7 7 % − |
|||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
3 |
||||||||||||||||||
(%o7) |
= |
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
− |
( − ) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
||
Свойства полученных решений хорошо заметны в листинге 4.2 : (%i5)–(%o7) и на рис. 4.2. При докритических значениях безразмерной частоты < 1 ( < ) зависимость ( ) описывает колебания, интенсивность затухания которых тем меньше, чем больше отклонение их частоты от частоты собственных колебаний маятника. При сверхкритических значениях > 1 ( > ) зависимость ( ) описывает процесс перемещения груза, асимптотически стремящегося к положению равновесия, быстрее всего сходящийся при = 1 ( = ).
Рис. 4.2. Зависимость отклонения пружинного маятника из положения равновесия от безразмерного времени при различных значениях безразмерной частоты