- •Основы математического моделирования
- •Содержательные математические модели
- •Классификация содержательных моделей
- •Формальные математические модели
- •Законы сохранения
- •Вариационные принципы
- •Элементы теории размерностей
- •Контрольные вопросы
- •Основы работы с системой Maxima
- •Установка и запуск системы Maxima
- •Графический интерфейс wxMaxima
- •Справочная информация в wxMaxima
- •Сохранение данных и управление wxMaxima
- •Система компьютерной математики Maxima
- •Основные возможности системы Maxima
- •Скалярные выражения
- •Векторные и матричные выражения
- •Функции и управляющие структуры
- •Контрольные вопросы
- •Элементы вычислительной математики
- •Основы теории погрешностей
- •Абсолютная и относительная погрешности
- •Погрешности основных операций
- •Численное решение нелинейных уравнений
- •Локализация корней уравнения
- •Метод бисекции
- •Метод простой итерации
- •Метод касательных
- •Методы численного интегрирования
- •Метод прямоугольников
- •Метод трапеций
- •Метод парабол
- •Численное решение задачи Коши
- •Метод Эйлера
- •Метод Эйлера–Коши
- •Методы Рунге–Кутты
- •Контрольные вопросы
- •Моделирование в приложениях
- •Падение тела с учётом сопротивления воздуха
- •Колебания маятника с учётом силы трения
- •Полёт тела с учётом сопротивления воздуха
- •Листинги программ
Глава 3
Элементы вычислительной математики
В современном понимании вычислительная математика–– это раздел математики, изучающий методы приближённого решения задач, возникающих при математическом моделировании технических, физических, химических, биологических и прочих прикладных задач с применением вычислительной техники. Среди множества задач вычислительной математики в первую очередь выделяются задачи нахождения корней нелинейных уравнений, численного интегрирования и решения дифференциальных уравнений.
3.1. Основы теории погрешностей
Для правильного понимания методов вычислительной математики прежде всего следует осознать, что решения прикладных задач с применением вычислительной техники почти всегда является приближённым, то есть содержит погрешности. Одна лишь только ограниченная разрядность процессоров уже создаёт существенные трудности в получении точных решений.
Перечислим основные источники возникновения погрешности при решении прикладных задач с помощью вычислительной техники [8].
Погрешности модели связаны с приближённым характером описания изучаемого объекта или процесса и зависят от степени адекватности используемой формальной математической модели.
Погрешности методов возникают в результате замены исходной системы уравнений формальной математической модели более простой системой, решение которой сходится к исходной лишь в некотором пределе.
Погрешности данных обусловлены ограниченной точностью регистрации результатов экспериментов и наблюдений.
3.1. Основы теории погрешностей |
27 |
Погрешности округления возникают при выполнении арифметических операций над действительными числами, а также при сохранении и считывании результатов промежуточных вычислений с ограниченной разрядностью.
3.1.1. Абсолютная и относительная погрешности
Пусть –– точное, а * –– приближённое значения одной той же
величины. Тогда предельной абсолютной погрешностью |
назы- |
|||
вается величина, удовлетворяющая неравенству: | − *| 6 |
или |
|||
− |
6 * 6 + |
. Указанные неравенства в технических прило- |
||
жениях часто записывают в виде * = ± |
. |
|
||
Предельной относительной погрешностью называется ве-
личина, удовлетворяющая неравенству: |
| |
− *| |
6 |
|
или |
= | | |
. |
| | |
|
|
Если приближённое число задано в виде конечной десятичной
дроби: * = −1 . . . 0, −1 −2 . . . . Тогда значащими цифрами числа * называют все цифры в его записи, начиная с первой
ненулевой слева.
В вычислительной практике часто возникает потребность в округлении числа , то есть в его замене другим числом * с меньшим количеством значащих цифр.
Наиболее простым способом округления до значащих цифр является усечение или округление к нулю, состоящее в отбрасывании всех цифр, расположенных справа от -ой. На языке Maxima усечение до целых реализовано в функции «fix()».
Более сложным способом является округление по дополнению, оставляющее -ую цифру без изменения, если ( +1)-ая цифра меньше 5, и увеличивающее -ую цифру на единицу в противном случае. На языке Maxima округление до целых по дополнению реализовано в функции «round()».
Также применяются методы округления к плюс или к минус бесконечности. На языке Maxima округление до целых к плюс бесконечности реализовано в функции «ceiling()», а округление до целых к минус бесконечности–– в функции «floor()».
3.1.2. Погрешности основных операций
Выполнение основных арифметических операций над приближёнными числами порождает изменение их абсолютной и относительной погрешностей.