4.3.Полёт тела с учётом сопротивления воздуха

Рассмотрим задачу о свободном полёте тела в вертикальной плоскости ( , ) с известной начальной скоростью вблизи от уровня моря. На тело, вектор скорости которого направлен под углом к горизонту (к оси ), действуют: а) сила тяжести = − , направленная вниз (противоположно к оси ); б) сила сопротивления воздуха = − 2, направленная противоположно к вектору скорости движения тела , где –– коэффициент парусности, определяемый размерами и формой поверхности движущегося тела, м1 .

Рис. 4.3. Система сил, действующая на движущееся в воздухе тело

Если проекции вектора скорости движения на оси координат и обозначить как и , тогда применение второго закона Ньютона к проекциям равнодействующей силы на и приводит к задаче Коши для системы двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка:

где модуль скорости движения тела = √ 2 + 2, а функции угла,

образуемого вектором с осью можно записать как cos = ;

ременных и приводит к следующей формулировке задачи (4.7):

Заметим, что для построения траектории полёта тела в координатах ( , ) потребуется перейти либо к системе двух линейных диф-

ференциальных уравнений второго порядка, либо к системе четырёх линейных дифференциальных уравнений первого порядка. В последнем случае задача Коши (4.8) примет вид:

решение которой показано в листинге 4.3. Для записи системы дифференциальных уравнений из (4.9) в ли-

стинге 4.3 : (%i1)–(%o4) используются обозначения «eq1», «eq2», . . . , «eq4». Для нахождения решения задачи Коши в листинге 4.3 : (%i5)– (%i11) используются функции «rk()», загружаемые из библиотеки «dynamics», в комбинации с «subst()». Аргументами этих функций являются: а) постановки относительного коэффициента сопротивления «k=0.1», «0.2», . . . , «0.4» в список «eqs» правых частей дифференциальных уравнений «[eq1,eq2,eq3,eq4]»; б-г) обозначения списков искомых функций «vxy», начальных условий «fin» и переменной интегрирования «tin».

Листинг 4.3 Полёт тела с учётом сопротивления воздуха

(%i1) eq1:’diff(v,t)=-k*v*sqrt(v**2+w**2);

eq2:’diff(w,t)=-k*w*sqrt(v**2+w**2)-g; eq3:’diff(x,t)=v;

eq4:’diff(y,t)=w;

fin:[1,2,0,1]$ tin:[t,0,1,0.01]$ eqs:fullmapl(rhs,[eq1,eq2,eq3,eq4])$ s1:rk(subst([k=0.1,g=9.81],eqs),vxy,fin,tin)$

s2:rk(subst([k=0.2,g=9.81],eqs),vxy,fin,tin)$

s3:rk(subst([k=0.3,g=9.81],eqs),vxy,fin,tin)$

s4:rk(subst([k=0.4,g=9.81],eqs),vxy,fin,tin)$

Рис. 4.4. Траектории полёта тела ( , ) при различных значениях коэффициента парусности

На рис. 4.4 показано решение задачи Коши (4.9) с начальными

условиями: (0) = 0, 0 = 1 м; (0) = 1, (0) = 2 мс при различных значениях коэффициента парусности = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 1 . Нетрудно

м

заметить, что полученные решения вполне согласуются с эмпирическими данными. Так, возрастание относительного сопротивления тела при прочих равных условиях приводит к сокращению как времени, так и горизонтальной дистанции полёта.

Литература

1.Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры.–– М.: Физматлит, 2005.–– 320 с.

2.Пайерлс Р. Построение физических моделей // Успехи физических наук.–– 1983.–– Т. 140, Вып. 2.–– С. 315–332.–– URL: http://ufn.ru/ ru/articles/1983/6/d/ (дата обращения: 02.01.2014).

3.Зарубин В. С. Математическое моделирование в технике.–– М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2010.–– 496 с.

4.Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. –– М.: Наука, 1981.–– 448 с.

5.Maxima, a Computer Algebra System. –– 2014. –– URL: http:// maxima.sourceforge.net/ (дата обращения: 02.01.2014).

6.Калиткин Н. Н. Численные методы. –– С.–Пб.: БХВ–Петербург, 2011.–– 592 с.

7.Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные мето- ды.–– М.: Бином, 2008.–– 640 с.

8.Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров.–– М.: Высшая школа, 1994.–– 544 с.