Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы математического моделирования. Учебное пособие-2.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«Тамбовский государственный технический университет»
Ю. В. РОДИОНОВ, А. Д. НАХМАН
ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ
Утверждено Учёным советом университета
в качестве учебного пособия для студентов,
обучающихся по направлениям подготовки 07.03.01 «Архитектура»,
08.03.01 «Строительство», 23.03.01 «Технология транспортных процессов»,
23.03.03 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов»
Учебное электронное издание
Тамбов
Издательство ФГБОУ ВО «ТГТУ»
2018
1
УДК 517.9(075.8)
ББК В161.бя73
Р60
Рецензенты:
Кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры «Высшая математика» ФГБОУ ВО «ТГТУ»
В. В. Васильев
Кандидат психологических наук, доцент,
проректор по инновационной деятельности
ТОГОАУ ДПО «Институт повышения квалификации работников образования»
И. В. Аверина
Р60
Родионов, Ю. В.
Основы математического моделирования [Электронный ресурс] : учебное пособие /
Ю. В. Родионов, А. Д. Нахман. – Тамбов : Изд-во ФГБОУ ВО «ТГТУ», 2018. – 1 электрон. опт.
диск (CD-ROM). – Системные требования : ПК не ниже класса Pentium II ; CD-ROM-дисковод ;
34,0 Mb ; RAM ; Windows 95/98/XP ; мы
шь. – Загл. с экрана.
ISBN 978-5-8265-1886-1
Подготовлено в соответствии с требованиями ФГОС к подготовке бакалавров инженерных
направлений и направлено на формирование общепрофессиональной компетенции математического
моделирования. Представлена концепция математического моделирования, вопросы содержания курса
математики, направленные на формирование данной компетенции и соответствующий задачный
материал.
Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 07.03.01 «Архитектура»,
08.03.01 «Строительство», 23.03.01 «Технология транспортных процессов», 23.03.03 «Эксплуатация
транспортно-технологических машин и комплексов».
УДК 517.9(075.8)
ББК В161.бя73
Все права на размножение и распространение в любой форме остаются за разработчиком.
Нелегальное копирование и использование данного продукта запрещено.
ISBN 978-5-8265-1886-1
© Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«Тамбовский государственный технический
университет» (ФГБОУ ВО «ТГТУ»), 2018
2
ВВЕДЕНИЕ
ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
В Федеральных государственных образовательных стандартах (ФГОС) новых поколений как
общего, так и высшего профессионального образования (в частности, в актуализированных ФГОС
инженерных направлений подготовки – ФГОС 3+) и в Концепции развития российского математического образования (далее – Концепция) обозначено смещение акцентов с формального знаниеориентированного подхода на практико-ориентированный. Задачи формирования компетенций
у студентов инженерных направлени
1. Задачи в контексте Концепции и требования ФГОС
№
образования
Высшее
1
образование
(бакалавриат)
Высшее
2
образование
(магистратура)
Уровни
Задачи в контексте
Необходимость обеспечения
необходимого уровня математической подготовки кадров
для нужд науки и техники, экономики, систем безопасности,
медицины и др. Необходимость
разработки современных образовательных программ, связанных с приоритетными направлениями модернизации и технологического развития российской экономики
Обеспечение образовательными
организациями высшего образования и научными центрами
выхода на передовой уровень
фундаментальных и прикладных исследований, в том числе
в области математики и её приложений
Компетенцией, в значительной степени интегрирующей вышеперечисленные способности,
является компетенция математического моделирования. Она формируется средствами общеобразовательных, общетехнических и профессионально-ориентированных учебных дисциплин, и, в первую
очередь, средствами дисциплины «Высшая математика».
В работе представлены концепция математического моделирования, вопросы содержания
курса математики, направленные на формирование данной компетенции, и соответствующий задачный материал.
Пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 07.03.01
«Архитектура», 08.03.01 «Строительство», 23.03.01 «Технология транспортных процессов», 23.03.03
«Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов». При подготовке издания были
использованы литературные источники [1 – 5].
й подготовки) систематизированы в табл. 1.
Результаты освоения ООП в соответствии
Концепции
Обладание общепрофессиональными компетенциями (актуализированные ФГОС, направления
инженер
– способностью использовать основные законы
естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применение методов математического анализа и математического (компьютерного) моделирования, теоретического и экспериментального исследования;
– способностью выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлечь их для решения
соответствующий физико-математический аппарат
Обладание общепрофессиональными компетенциями (актуализированные ФГОС, направления
инженерной подготовки):
– способностью решать задачи профессиональной
деятельности на основе использования математического аппар
– способностью осознать основные проблемы своей предметной области, при решении которых возникает необходимость использования количественных и качественных методов исследования;
– способностью ориентироваться в постановке
задачи, применять знания о современных методах
исследования, анализировать, синтезировать и критически резюмировать информацию;
– способностью реализовывать аналитические и
численные методы при разработке математических
моделей ма
с требованиями ФГОС
ной подготовки):
ата;
шин, оборудования, систем
3
1. КОНЦЕПЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
1.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ: КОНЦЕПЦИЯ И ЭТАПЫ
На современном этапе развития науки математическое моделирование становится одним
из главных источников информации о процессах, происходящих в природе и обществе, обнаружения
и обоснования имеющихся в этих процессах закономерностей. Умение применять общие принципы,
методологию математического моделирования служит основным инструментом исследователя.
Следовательно, овладение учащимися приёмами математического моделирования является необходимым условием для познания конк
ний и процессов, при разрешении проблемных ситуаций и решении учебных задач.
Всякая математическая модель М объекта, процесса, системы выступает как образ оригинала,
выраженный с помощью математических символов (математическим языком) и позволяющий свойства объекта-прообраза, его параметры, внутренние и внешние связи описать в количественной
форме, с помощью логи
ко-математических конструкций.
Согласно концепции А. А. Ляпунова, «моделирование есть опосредованное практическое или
теоретическое исследование объекта, изучающее не сам объект, а некоторую вспомогательную
искусственную или естественную систему (модель)»:
– находящуюся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом;
– способную замещать его в определённых отношениях;
– дающую при её исследовании, в конечном счё
объекте».
Основными этапами математического моделирования являются:
1. Рассмотрение (построение) содержательной модели (описание ситуации, процесса в терми-
нах исходной предметной области). Формализация модели (формулировка математической задачи).
2. Исследование модели средствами математики (решение математической задачи).
3. Интерпретация модели: выводы в терминах исходной предметной области. Именно на
этапе возвращения к исх
одной предметной области мы получаем требуемую информацию об исход-
ном процессе (явлении), которую мы не могли получить другими средствами.
Полезно ознакомить обучающихся со следующей общей схемой представления модели:
Здесь X – вектор входных переменных; Y – вектор выходных переменных (исходы
модели); W – так называемый оператор модели, обеспечивающий преобразование информации
(X преобразуется в Y) в соответствии с задачей, решаемой на модели. Имеются следующие три варианта упомянутых задач:
1) прямая задача: известны Х и W, необходимо найти Y;
2) обратная задача 1: известны Y и W, необходимо найти X;
3) обратная задача 2: известны X и Y, необходимо найти W.
В последней зада
че случае возможны случаи «чёрного ящика» – оператор модели полностью
не известен, и «серого ящика» – при известной структуре оператора не известны значения параметров.
Так, например, в учебных задачах, относящихся к моделированию физических процессов,
в качестве вектора входных переменных Х обычно выбир
объектов, подверженных, например, механическим колебаниям (струна, стержень), совокупность
теплофизических характеристик материалов, в которых происходит теплообмен; в задачах экономики
вектор Х определяется набором исходных данных, подлежащих анализу (объём выпускаемой продукции, цены, показатели спроса и др.) и т.д. В основе построения оператора модели ле
ретных физических, химических, биологических и других явле-
те, информацию о самом моделируемом
X → W → Y.
ается набор физических характеристик
жит некото-
4
рый физический закон, закономерности рынка и т.п. Формализовав изучаемую закономерность,
+⋅=
мы приходим к соответствующей математической задаче, которая, собственно, и служит оператором
модели (уравнения или их системы, задача минимизации функционала и др.). На следующем, втором
этапе моделирования, решается полученная математическая задача. Получаемый результат (число
или набор чисел, функция или совокупность функций, фу
нкциональный ряд и др.) и порождает ком-
поненты вектора Y выходных переменных.
Здесь следует подчеркнуть, что поиск оператора модели есть составная часть процесса моделирования. Происходящая при решении учебной задачи трансформация математической модели
демонстрируется в нижеприведённой таблице.
Таблица 1.1
Вход Оператор модели Выход
1 Условие задачи
в терминах исходной
предметной области
2 Вектор входных
переменных
Чёрный ящик Перечень требований
к результату в терминах
исходной предметной области
Серый ящик (формализация задачи) Вопрос задачи, сформулиро-
ванный в математических
терминах
3 Вектор входных
переменных
Оператор модели (окончательная
постановка математической задачи
Прогнозирование результата
и выбор алгоритма её решения)
4 Вектор входных
Решение математической задачи Вектор выходных переменных
переменных
Пример. Известно, что масса пластины при напылении драгоценного металла растёт в зависимости от времени напыления по линейному закону. В начальный момент масса была равна 20 г,
а через 40 секунд она поднялась до 24 г. Определить, какая была масса пластины через 25 с с момента
начала процесса.
Данная задача относится к числу так называемых интерполяционных: найти промеж
уточное
состояние процесса.
Содержательная модель уже представлена в условии задачи. Теперь её следует формализовать.
Если считать, что вектор Х входных переменных имеет компонентами заданные моменты
времени Х = {0, 25, 40}, а Y = {20, у, 24} – вектор выходных переменных, т.е. наблюдаемых «на выходе» значений массы, то нахождению подлежит значение у = у(25). При эт
от значений Х – линейная:
bkхy += . Надо найти, прежде всего, значения параметров k и b.
ом зависимость значений Y
Решение математической задачи: используя представленное в формализованной модели соответствие между значениями
Х и Y , имеем:
⎧
⎨
⎩
020
,
+⋅=
bkbk4024
откуда b = 20, k = 0,1.
Итак, .201,0 += хy
Интерпретация модели. Поскольку линейный закон роста массы получен, то теперь
20251,0)25( +⋅=у или .5,22)25( =у
5
1.2. КОМПЕТЕНЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Содержательная линия математических моделей приобретает особую актуальность в связи
с утверждением в математическом образовании компетентностного подхода.
Компетенция математического моделирования введена в педагогическую науку сравнительно
недавно. Применительно к студентам-бакалаврам инженерных направлений подготовки, данную
компетенцию можно определить как способность актуализировать и применять математические
знания и умения при построении, анализе и интерпретации математических моделей в процессе
решения:
– учебных пр
актико-ориентированных задач;
– профессионально-ориентированных задач;
– квазипрофессиональных задач, т.е. задач, решаемых в рамках квазипрофессиональной
деятельности (деятельности студента, учебной по форме и профессиональной по содержанию).
Компетенцию математического моделирования можно рассматривать как общепрофессиональную (ОПК), интегрирующую способность использовать основные законы естественнонаучных,
экономических и других дисциплин в профессиональной деятельности и способность привлечь математический аппарат к решению соответствующих профессиональных проблем.
Основными компонентами компетенции математического моделирования являются:
– мотивационно-ценностное отношение к математическим знаниям и умению строить математические модели в процессе учебной и практической деятельности;
– кругозор, процесс расширения которого неизбежно сопровождается анализом явлений и
процессов, сравнительными характеристиками, логическими умозаключениями, что, в свою очередь,
способствует развитию у
мений выделять главное и отбрасывать второстепенное, кратко и ясно
выражать свои мысли, ставить задачи, получать и чётко формулировать выводы, а эти умения успешно «встраиваются» в процессы математического моделирования;
– знания как в области математики, так и в «исходных» предметных областях, являющиеся
наиболее существенными компонентами компетенции математического моделирования; здесь,
в перву
ю очередь, речь идёт о способности актуализировать математические знания применительно
к выстраиваемой математические модели в условиях конкретной ситуации;
– умения решать задачи (постановка вопроса, нахождение нужной информации для решения
задачи, анализ проблемной ситуации, выдвижение гипотезы);
– умение логически мыслить (дедуктивные и индуктивные умозаключения, комбинация логи-
ки и интуиции, аргументация выводов и заключений);
– коммуникативные ум
ения (чтение, письмо, речь на языке математики, использование мате-
матических символов и формул, построение графиков, схем, диаграмм);
– умение применять современные информационные технологии;
– опыт математической деятельности, в том числе, и в области математического моделиро-
вания, что способствует закреплению умений в форме навыков; на основе опыта, приобретённого
в процессе решения уч
ебных задач, возникает и развивается способность к переносу математических
знаний и умений на незнакомые ситуации, в том числе, возникающие в практической деятельности;
– рефлексия как самооценка деятельности в области математического моделирования, способствующая развитию таких качеств учащегося, как самоконтроль, ответственность, рациональность,
самостоятельность.
6
Индекс структурной
составляющей компетенции
3
ОПК
С1
С2
С3
Таблица 1.2
Формулировка компетенции /
Структурные составляющие компетенции (результаты обучения)
Способность актуализировать и применять математические знания и
умения при построении, анализе и интерпретации математических
моделей
Знание основных понятий и методов линейной алгебры и аналитической
геометрии, интегрального и дифференциального исчисления, теории
дифференциальных уравнений, позволяющее представлять адекватную
современному уровню знаний научную картину мира
Умение применять методы линейной алгебры и геометрии, математического анализа и дифференциальных уравнений для объективного научноисследовательского анализа, моделирования и решения поставленных
физико-математических задач в профессиональной деятельности
Умение выявлять математически обоснованные закономерности и причинно-следственные связи на основе информации, представленной в различных формах (в таблицах, диаграммах, графиках)
Умение строить математические модели различных явлений, процессов и
С4
систем при изучении естественнонаучных дисциплин и в профессиональной деятельности, проводить необходимые расчёты в рамках
построенной модели
Владение навыками использования математических методов (аналитиче-
С6
ских и графических) для получения характеристик исследуемой модели и
анализа результатов исследования
С7
Умение осуществлять математическую обработку опытных данных и
оценивать правомерность и точность достигнутых результатов
1.3. ВОПРОСЫ СОДЕРЖАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ,
ФОРМИРУЮЩЕЙ КОМПЕТЕНЦИЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Раздел 1. Введение в линейную алгебру. Применения элементов линейной алгебры
Модуль 1. Матрицы и определители.
Матрицы. Двойная нумерация элементов. Виды матриц. Линейные операции и их свойства.
Умножение матриц. Свойства произведений.
Понятие определителей 2-го и 3-го порядков. Миноры элементов и их алгебраические дополнения. Вычисление определителя методом разложения по столбцу (строке). Свойства определителей.
Способ вычисления определителей высших порядков. Обзор возможных приложений определителей.
Обратная матрица и способ её нахождения. Ранг м
атрицы.
Модуль 2. Система линейных алгебраических уравнений.
Понятие системы линейных уравнений. Запись системы в матричной форме. Решение системы матричным методом. Метод Крамера.
Теорема Кронекера–Капелли. Метод Гаусса. Обзор возможных приложений систем линейных
уравнений.
Модуль 3. Применение матричного исчисления в задачах экономического содержания.
7
Раздел 2. Геометрические векторы и их применения. Задачи аналитической геометрии
Модуль 1. Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Полярные
координаты на плоскости и их связь с прямоугольными координатами.
Основные понятия векторной алгебры. Линейные операции над векторами. Линейные комбинации. Линейная зависимость и независимость. Базисы. Разложение вектора по ортонормированному
базису. Разложение по произвольному базису.
Модуль 2. Скалярное произведение векторов и его свойства. Признак ортогональности.
Вычисление скалярного произведения в координатах. Вычисление угла между векторами, заданными
в координатах. Приложения скалярного произведения в задачах геометрии и механики.
Определение и свойства векторного произведения. Векторное произведение в координатной
форме. Приложения векторного произведения в задачах геометрии и механики.
Определение и свойства смешанного произведения трёх векторов. Геометрический смыс
л.
Смешанное произведение в координатах. Геометрические приложения.
Использование векторной алгебры в смежных дисциплинах.
Модуль 4. Прямая и плоскость.
Понятие уравнения линии на плоскости. Прямая на плоскости как геометрический образ
линейного уравнения. Уравнения прямой: каноническое, с угловым коэффициентом; уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, уравнение в отрезках. Взаимное расположение прямых
на плоскости.
Понятие уравнения поверхности. Плоскость в пространстве как геометрический образ
линейного уравнения. Уравнение плоскости, заданной нормальным вектором и точкой. Уравнени
е
в отрезках.
Прямая в пространстве: канонические уравнения, параметрические уравнения, общие уравнения. Анализ взаимного расположения прямых и плоскостей.
Применение уравнений прямых и плоскостей в смежных дисциплинах.
Модуль 5. Линии и поверхности второго порядка.
Общее уравнение линии второго порядка на плоскости. Каноническое уравнение окружности.
Геометрические свойства и канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы.
Преобразования параллельного переноса и поворота системы координат. Приведение общего
уравнения линии второго порядка к каноническому виду.
Применения линий второго порядка в смежных дисциплинах.
Понятие поверхности второго порядка. Уравнения цилиндрических поверхностей.
Метод сечений. Эллипсоид. Гиперболоиды. Пара
балоиды. Коническая поверхность
Модуль 6. Применение методов аналитической геометрии к решению прикладных и прак-
тико-ориентированных задач.
Раздел 3. Дифференциальное исчисление как средство моделирования
Модуль 1. Предел и непрерывность. Непрерывные процессы.
Понятие последовательности и её предела. Достаточное условие существования предела.
Понятие функции действительного переменного и способы задания функций. Элементарные
функции. Параметрически и неявно заданные функции. Сложная и обратная функция.
Пределы функций в точке и на бесконечности. Бесконечные пределы. Теоремы о пределах.
Непрерывность функции в точке. Критерий непрерывности. Точки разрыва и их классификация.
Модуль 2. Производная функции одной переменной.
Понятие производной функции в точке. Механический и геометрический смысл производной.
Касательная и нормаль к графику функции в данной точке и их уравнения.
8
Основные правила дифференцирования. Логарифмическое дифференцирование. Производная
функций, заданных параметрически и неявно.
Дифференциал функции в точке и его геометрический смысл.
Модуль 3. Теоремы о дифференцируемых функциях. Исследование свойств функции.
Теоремы Ферма, Роля, Лагранжа и Коши. Условия постоянства и монотонности функции на
интервале. Правило Лопиталя и его применение при раскрытии неопределённостей.
Характер монотонности и экстремумы функции. Необходимые и достаточные условия существования экстремума. Выпуклость (вогнутость) функции на интервале. Необходимые и достаточные
условия выпуклости (вогнутости) функции.
Асимптоты графика функции. Общая схема исследования фу
нкции и построения её графика.
Наибольшее и наименьшее значения функции и их нахождение.
Исследование процессов средствами дифференциального исчисления.
Раздел 4. Интегральное исчисление функций одной переменной
Модуль 1. Первообразные. Неопределённый интеграл.
Понятие первообразной. Общий вид первообразных. Неопределённый интеграл. Свойства.
Таблица интегралов.
Непосредственное интегрирование. Замена переменной в неопределённом интеграле. Интег-
рирование по частям.
Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых типов иррациональных
и тригонометрических функций. Понятие об интегралах, не выражающихся через элементарные
функции.
Модуль 2. Определённый интеграл и его приложения. Несобственные интегралы
Задача о вычислении площади. Понятие определённого интеграла. Геометрический смысл.
Свойства определённого интеграла. Теорема существования. Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Формула Ньютона–Лейбница. Интегрирование методом замены переменной и
интегрирование по частям в определённом интеграле.
Приложения определённого интеграла: нахождение площадей плоских фигур, объёмов тел,
длин кривых. Механические приложения определённых интегралов.
Несобс
твенные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций.
Раздел 5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных и его приложения
Модуль 1. Функции нескольких переменных.
Производные в направлении осей абсцисс и ординат. Общий случай: частные производные
функции нескольких переменных. Полный дифференциал. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала.
Модуль 2. Градиент и производная по направлению.
Производная по направлению. Градиент. Скалярное и векторное поля.
Моделирование средствами векторного исчисления.
Частные производные и дифференциалы высших порядков. Экстремумы функций нескольких
переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Наибольшее и
наименьшее значения функции нескольких переменных.
Раздел 6. Интегральное исчисление функций нескольких переменных
Модуль 1. Кратные интегралы и их применения.
Задачи, приводящие к понятию двойного и тройного интеграла. Определение и свойства
двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла в прямоугольных и полярных координатах.
Тройной интеграл: определение и свойства. Сведение кратного интеграла к повторному. Тройной
интеграл в цилиндрических и сферических координатах.
9
Модуль 2. Криволинейные интегралы.
Задача о массе кривой. Криволинейный интеграл по длине дуги. Свойства и вычисление.
Задача о работе переменной силы. Понятие криволинейного интеграла по координатам. Свой-
ства и вычисление. Формула Грина.
Приложения кратных и криволинейных интегралов в смежных дисциплинах.
Раздел 7. Комплексные числа и функции комплексного переменного
Модуль 1. Комплексные числа.
Мнимая единица. Комплексные числа как точки координатной плоскости. Модуль и аргумент
комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Действия
в алгебраической и тригонометрической форме.
Модуль 2. Функции комплексного переменного.
Действительная и мнимая часть функции комплексного переменного. Предел функции.
Дифференцируемость функции комплексного переменного. Аналитические функции.
Раздел 8. Моделирование средствами дифференциальных уравнений
Модуль 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Методы решения
обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка.
Прикладные задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Основные понятия.
Задача Коши. Алгоритмы решения некоторых типов дифференциальных уравнений 1-го порядка:
с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли.
Модуль 2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.
Элементы общей теории линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка. Простейшие
свойства решений однородного уравнения. Линейная зависимость и линейная независимость решений. Фундаментальная система решений. Структура общего решения линейного однородного и неоднородного уравнений.
Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффици-
ентами.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка: решение по методу
вариации пр
оизвольных постоянных.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффи-
циентами и правой частью специального вида.
Линейные дифференциальные уравнения как модели механических процессов.
Модуль 3. Системы дифференциальных уравнений и их приложения.
Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши для системы
дифференциальных уравнений. Решение систем методом исключения.
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Приложения систем в смежных дисциплинах.
Раздел 9. Введение в стохастическое моделирование
Модуль 1. Случайные события. Основные понятия теории вероятностей.
Событие, действия над событиями. Основные модели вероятности: классическое определение
вероятности, относительная частота, статистическое определение вероятности, геометрическая вероятность.
Аксиомы вероятности и их следствия.
Элементы комбинаторики в теории вероятностей. Задача о выборке.
Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Вероятность произведения и сум-
мы событий. Схема гипотез: формула полной вероятности и формулы Бейеса.
10