Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы математического моделирования. Учебное пособие-2.pdf
откуда
≤
<
рисунке.
Воспользовавшись свойством нормированности, установим, что
1
⎧
⎪
=
)(
xf
⎨
−
ab
⎪
⎩
[]
∈
∉
,,,
bax
[]
.,,0
bax
Действительно,
1
=ν
+∞
=1
∫∫
∞−
.
b
−=ν=
abcdxdxxf ),()(
a
ab −
Функция равномерного распределения имеет вид
,,0
⎧
⎪
ax
−
=
)(
xF ,
⎨
⎪
⎩
,
ab
−
>
ax
bxa
≤<
.,1
bx
Графики плотности и функции равномерного распределения изображены на следующем
a) б)
Рис. 4.1. Равномерное распределение
Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределённой на отрезке
ной величины вычисляются, соответственно, по формулам:
2
abXD−
+
)(baXM
=
и
2
= .
)(
)(
12
Непрерывная случайная величина Х называется распределённой по показательному закону
с параметром λ > 0, если её плотность вероятности имеет вид
x
⎧
xf
)(
=
⎨
λ−
x
⎩
,0,0
xe
.0,
≥λ
Данная функция действительно может служить плотностью распределения, так как она,
очевидно, неотрицательна и обладает свойством нормированности:
+∞
∫∫∫
∞−
+∞
A
λ−
x
A
λ−
x
∞→
00
limlim)(
A
∞→
−λ=λ=λ=
⎜
⎝⎛λ
1
A
λ−
x
⎞
edxedxedxxf
=
⎟
0
A
⎠
[]
ba, случай-
λ−∞→A
e .
110)1()lim( =+=−−
91
Функция показательного распределения )(xF случайной величины Х имеет вид
<
<
−=≤
≤
−=≤
≤
,0,0
⎧
xF
=
)(
⎨
⎩
x
λ−
x
.0,1
xe
≥−
Графики плотности и функции показательного распределения представлены на рис. 4.2.
Рис. 4.2. Показательное распределение
Используя формулу интегрирования по частям, нетрудно проверить, что математическое
ожидание и дисперсия показательно распределённой случайной величины имеют, соответственно,
значения
=1)(XM и
λ
1
)(λ=XD
.
2
Отметим следующее важное свойство: для случайной величины, распределённой по показательному закону, математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению, т.е.
1
=σ=
)()( XXM
.
λ
Показательный закон распределения обладает важным свойством, называемым отсутствием
последействия: если промежуток времени Т (случайная величина), распределённый по показательному закону, уже длился некоторое время τ, то это не влияет на распределение оставшейся части Т – τ
промежутка.
Пример.
Сегмент ],[ ba оси ОХ представляет (моделирует) собою шкалу некоторого прибора,
причём вероятность попадания указателя в некоторый отрезок шкалы пропорциональна длине этого
отрезка и не зависит от его места на шкале. Проверить, что случайная величина Х – отметка указателя
прибора, распределена по равномерному закону и найти вероятность того, что при испытании указатель остановится на отметке в правой половине шк
алы прибора.
Решение. Имеем непрерывную случайную величину Х, распределённую на отрезке ],[ ba .
xxxx
По условию, для любых двух точек )(,
отрезка ],[ ba
2121
)()(
xxkxXxP
,
1221
где k – постоянный коэффициент пропорциональности. В частности,
= ,
)()(1 abkbXaP
откуда находим
1
=
92
,
abk−
и, следовательно,
<
=
=
x
≤
=≤=
<
=
x
=
x
=
σ±=ax
Теперь построим функцию распределения )()( xXPxF
распределена на отрезке ],[ ba , то
и
Далее, согласно
)(xF
Итак, распределение совпало с функцией равномерного распределения, что и достаточно
было установить.
Далее, случайное событие А – расположение указателя в правой половине шкалы прибора
означает выполнение неравенства
вычислена в виде (см. (3.6.5))
1
)(
xXxP −
=≤≤ .
ab
−
)(
xx
1221
. Поскольку случайная величина Х
0)(
xF при a
= bXPxXPxF при bx > .
xXaPxXP ≤<
=≤≤=<
+
bXba≤<
, так что соответствующая вероятность может быть
1)()()(
ax
−
ab
−
2
АP
−
ab
1
)( =
=
+
⎛
−
b
⎜
2
⎝
1
ba
⎞
.
⎟
2
⎠
.,)()( bxa
7. Нормальное распределение
Непрерывная случайная величина Х называется распределённой по нормальному закону
с параметрами a и
, если её плотность вероятности имеет вид
0>σ
2
−
ax
)(
−
1
)(
=
2
πσ
2
2
σ
exf .
Соответствующая функция распределения
x
=
)(
1
∫
πσ
2
∞−
2
−
ax
)(
−
2
σ
2
dxexF
выражается через стандартную интегральную функцию Лапласа
2
t
x
−
1
=Φ
)(
2
π
2
dtx
e
∫
0
следующим образом:
−
⎜
⎝⎛σ
⎞
⎟
⎠
Φ+=axxF 5,0)(.
Графики плотности и функции нормального распределения представлены на рис. 4.3.
Кривую, изображённую на рис 4.3, называют нормальной или гауссовой кривой. Отметим,
что нормальная кривая симметрична относительно прямой a
равный
)2/(1 πσ , а также имеет точки перегиба
с ординатой )2/(1 eπσ .
и имеет максимум в точке a
,
93
β
−
β
=
1
πσ 2
1
eπσ 2
а) б)
Рис. 4.3. Нормальное распределение
Выясним, как будет меняться нормальная кривая при изменении параметров а и σ. Если параметр σ остаётся постоянным, но меняется параметр а, то нормальная кривая смещается вдоль оси
абсцисс, не меняя формы. Если параметр а остаётся постоянным, но меняется σ, то меняется ордина-
та максимума кривой
)2/(1 πσ . При уменьшении σ (т.е. при уменьшении рассеяния случайной вели-
чины) ордината точки максимума увеличивается. Но так как площадь под любой кривой распределения должна оставаться равной единице, то кривая вытягивается вверх, одновременно сжимаясь
с боков. При увеличении параметра σ наблюдается обратная картина. Таким образом, параметр а
определяет п
оложение, а параметр σ – форму нормальной кривой.
Вероятность попадания значений случайной величины Х, распределённой по нормальному
закону, в промежуток ),(
α может быть вычислена в виде
a
⎛
XP )(
Φ=β<<α
⎜
⎝
⎞
⎟
σ
⎠
Φ−
⎜
⎝⎛σ
a
−α
⎞
.
⎟
⎠
Имеет место следующее утверждение о вероятности малого отклонения значений нормальной
величины от параметра а: для любого 0>ε справедливо равенство
ε
⎞
Φ=ε<− 2)|(| aXP .
⎟
⎜
⎠
⎝⎛σ
В частности при
получаем так называемое правило «трёх сигм»
σ
ε 3
3
ε
2)3|(| ≈Φ=
⎞
Φ=ε<− aXP
⎟
⎜
⎠
⎝⎛σ
.9973,0)3(2
Смысл его состоит в следующем: практически достоверно, что абсолютная величина отклонения значений нормально распределённой Х от параметра а меньше утроенного значения σ.
Вероятностный смысл параметров а и σ проясняется в следующем утверждении. Нормально
распределённая случайная величина имеет математическое ожидание
aXM=)(
и дисперсию
2
)( σ=XD .
Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике. Объясняется это
тем, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения
при весьма часто встречающихся типичных условиях. Именно, если случайная величина Х представ-
94
ляет собой сумму большого числа взаимно независимых случайных величин
+
+
=
=
=
σ
=
ε
(т.е. значения Х складываются из значений случайных величин nkX
k
...,,2,1,
= ...
1
, распределение
XXX
n
каждой из которых не зависит от значений, принимаемых остальными случайными величинами),
то при весьма общих условиях закон распределения случайной величины Х близок к нормальному.
Условиям, при которых возникает нормальный закон распределения, посвящён ряд теорем, называемых центральной предельной теоремой. Смысл этих условий состоит в том, что «удельный вес»
каждого отдельного слагаемого до
лжен стремиться к нулю при увеличении числа слагаемых.
Например, если Х – производственная погрешность, то на неё влияют множество факторов (погрешность материала, погрешность станка, инструмента и т.д.), причём если ни одна из этих погрешностей не является определяющей, то случайная величина Х имеет закон распределения, близкий
к нормальному.
Пример 1.
Найти математическое ожидание нормально распределённой случайной величины
с плотностью
1
2
2
−−−
1
)(
=
exf .
22
π
xx
8
Решение. Выделяя полный квадрат в показателе степени, имеем
1
8
1
2
22
8
хххх .)4(
1
=++−=−−− )168(
8
2
+− x
Теперь
1
)(
=
22
⋅
exf
π
1
−
2
)4(
+
x
2
22
и сравнивая эту запись с видом плотности нормального распределения
2
)(
−
ax
−
1
)(
=
2
πσ
2
2
σ
exf ,
имеем параметр 4−=а , и, следовательно, искомое математическое ожидание 4)( −=XM .
Пример 2.
Производится измерение длины деталей без систематических ошибок. Случайные
ошибки измерения X подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением, равным 0,4 см. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей
по абсолютной величине 0,3 см.
Решение. Ошибок систематических, т.е. ошибок одного знака нет, следовательно, математи-
ческое ожидание случайных ошибок равно нулю. Здесь применима формула
ε
⎞
Φ=δ<− 2)|(| aXP
⎟
⎜
⎠
⎝⎛σ
a , 4,0
при 0
и 3,0
.
Получим
3,0
⎞
⎛
2)3,0|(| =⋅≈Φ=
Φ=<XP .
⎜
4,0
⎝
⎟
⎠
()
5468,02734,0275,02
95
8. Задачи для самостоятельного решения.
(
)
(
)
σ
(
)
(
)
1. Устройство состоит из трёх независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента при включении равна 0,2. Составить ряд распределения числа элементов, отказавших при
включении. Найти вероятность того, что откажет не более одного элемента.
2. Три стрелка стреляют по одной мишени. Вероятность попадания в мишень при одном
выстреле для первого стрелка равна 0,5, для второго и для тр
етьего – по 0,7. Пусть Х – число попаданий в мишень при одном залпе. Составить ряд распределения Х, найти функцию распределения F(x) и
построить её график.
3. В пачке из 10 театральных билетов три билета – на премьеру. Наудачу взяты 3 билета.
Составить ряд распределения случайной величины Х – числа билетов на премьеру среди отобранных.
Найти вероятность того, что хотя бы один из вз
ятых билетов окажется на премьеру.
4. Вероятность того, что стрелок попадёт в мишень при одном выстреле, равна 0,6. Стрелку
выдаются патроны до тех пор, пока он не попадёт в первый раз в мишень. Составить ряд распределения случайной величины Х – числа патронов, выданных стрелк
у.
5. Испытывается 3 блока компьютера, причём вероятность отказа каждого не зависит от отказов остальных и составляет 0,1. Пусть Х – число отказавших за время испытаний блоков. Составить
ряд распределения величины Х, найти её математическое ожидание и дисперсию и вычислить вероятности событий:
a) X = 0;
б) X < 3.
6. Дискретная случайная величина Х имеет тольк
о два возможных значения 1x и 2x , причём
xx <
. Вероятность того, что Х примет значение
21
математическое ожидание
7. Случайная величина Х задана на всей числовой оси функцией распределения
2
)( xxFπ= Найти:
.arctg
a) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключённое в проме-
жутке [–1; 0];
б) плотность распределения )( xf .
8. Случайная величина X задана интегральной функцией (функцией распределения)
Найти:
а) дифференциальную функцию
б) математическое ожидание;
в) среднее квадратическое отклонение случайной величины X;
г) вероятность попадания значений X в интервал
x
, равна 0,5. Найти закон распределения Х, зная
1
=XM 4 и среднее квадратическое отклонение
≤
0,0
⎧
⎪
2
⎪
()
=
xF .
⎨
⎪
⎪
⎩
x
xx
618
≤<+
30,
x
>
3,1
x
xf (плотность распределения);
1;1−.
=
X 2.
96
9. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х имеет вид
≤
,0,0
⎧
⎪
()
=
xf
⎨
⎪
⎩
x
≤<ν
,40,
xх
>
.4,0
x
Найти значение параметра ν, функцию распределения, математическое ожидание и диспер-
сию случайной величины Х.
10. Случайная величина Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением
.4,0=σ Найти вероятность того, что дважды в трёх испытаниях отклонение Х от её математического
ожидания будет меньше 0,3.
4.3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
1. Генеральная совокупность и выборка. Пусть имеется множество, состоящее из конеч-
ного (но достаточно большого) числа некоторых объектов, причём каждый объект характеризуется
единственным значением x
генеральной совокупностью; в свою очередь, совокупность из n случайно отобранных объектов называется выборкой объёма n. Извлечённые выборки позволяют получить представление о распределении количественного признака Х как некоторой случайной величины.
Пусть n
, ..., nk объектов – значением xk. Числа х1, х2, ..., xk называются вариантами, а числа n1, n2 ,…, nk –
х
2
объектов из выборки характеризуются значением х1, n2 объектов – значением
1
частотами соответствующих вариант. Соответствие между вариантами и соответствующими им
частотами называется статистическим распределением выборки, а таблица вида
некоторого количественного признака Х. Такое множество называется
i
x
xi
ni
x2 ...
1
n
n2 ...
1
x
k
n
k
называется вариационным рядом; очевидно, что
n1 + n2 + ... + nk = n.
n
i
w
Относительными частотами значений xi называются соответствующие числа вида
=
i
n
справедливо соотношение
w
+ w2 + ... + wk = 1.
1
Модой Мо называют варианту, имеющую наибольшую частоту.
Медианой Me называют варианту, которая делит находится в середине вариационного ряда,
если число вариант нечётно; медиана Me равна среднему арифметическому двух ближайших к «середине» вариант, если их число чётно.
Размахом варьирования R называют разность между наибольшей и наименьшей вариантой.
;
97
2. Выборочной средней
=
=
x называется среднее арифметическое всех наблюдаемых
В
(в выборке) значений:
K
=
x
в
причём в первой скобке имеется 1n слагаемых, во второй ,
2211
n
n …, в последней – kn слагаемых.
+++++++++
)...()...()...(
xxxxxx
kk
,
2
Установим, что
x
n
x
1
В
n
n
1
2
x
2
n
n
k
+++= ...
x
k
или Вx
n
k
=
.
∑
=
i
wx
ii
1
Действительно,
...
nxпxпx
+++
x +++=+++=
= K
в kk
2211
n
nx
n
nx
2211
n
nx
kkkk
n
2211
....
wxwxwx
Возникает вопрос о количественной характеристике степени рассеивания наблюдаемых зна-
чений относительно их среднего. Первое, что естественно сделать – это рассмотреть среднее арифме-
тическое самих уклонений
xх − , т.е.
в
xxxxxxxx
))(...)(())(...)((
−++−++−++− K
kk
ввв1в1
n
,
или, что то же самое,
k
1
∑
n
=−1
i
wxx
)(
,
i
в
i
однако такая сумма равна нулю для всякого статистического распределения выборки (и, следовательно, не может служить характеристикой рассеяния):
k
в
i
k
ii
11
i
k
0)(
=−=−=−
xxwxwxwxx
.
в
ii
i
∑∑∑
1
===
i
вв
Очевидно, что нулевое значение вычисленной суммы получается за счёт взаимного погашения отрицательных и положительных уклонений. В этом случае естественно перейти к рассмотрению средне-
го арифметического квадратов уклонений значений х
выборочной дисперсией
D . Итак, выборочная дисперсия определяется в виде
В
k
∑
=
1
i
относительно их средней Вx , называемого
i
2
−=
wxxD
) (,
ВВ
ii
которую удобнее вычислять по формуле
n
2
1
xD
1В
n
n
2
2
x
2
n
n
2
k
x
k
n
2
)()(...)()( x
−+++=
.
В
Выборочным средним квадратическим отклонением называется величина
X
=σ )(.
D
В
Поскольку с ростом п относительные частоты
)(
хХww
ii
98
становятся близкими к соответствующим вероятностям
=
=
=
μ
θ
)(
хХРр
,
ii
то значения выборочных средних Вx становятся близкими к математическому ожиданию
)(ХММ = количественного признака
вятся (с ростом п) близкими к дисперсии количественного признака ).(
Точно так же, значения выборочных дисперсий BD стано-
.Х
2
XD=σ Точные формы
этих утверждений используют понятие сходимости по вероятности и выходят за рамки настоящего
материала.
3.
Статистические оценки параметров распределения.
Предположим, что нас интересует неизвестное значение θ некоторого параметра, характери-
зующего количественный признак Х генеральной совокупности. Оценкой параметра θ называют зна-
∗
чения θ
некоторой функции от наблюдаемых (в выборках) значений, дающие первоначальное пред-
ставление о величине θ.
Точечной оценкой параметра θ называют оценку, которая определяется одним числом; так,
например, точечной оценкой математического ожидания )( ХМ
количественного признака Х
генеральной совокупности есть значение выборочной средней.
Пусть известен вид функции распределения
совокупности, но единственный параметр распределения
),(θxF
количественного признака Х генеральной
остаётся неизвестным. Для его оценки
достаточно иметь одно уравнение относительно этого параметра. Поскольку математическое
ожидание μ случайной величины Х также зависит от этого параметра, т.е. ),( θ=μ ХМ , то имеем
(см. п. 8.1) следующее приближённое равенство для нахождения θ:
),(Вθ≈ ХМx .
Если функция распределения определяется двумя неизвестными параметрами, т.е. имеет вид
θθxF , то для их оценки необходимы два уравнения. В этом случае следует пользоваться систе-
),,(
21
мой двух приближённых равенств
⎧
В
⎨
⎩
θθ≈
XMx
XDD
),,(
21
.
θθ≈
),,(
21В
Указанный способ нахождения неизвестных параметров распределения называется методом
моментов.
Найдём, например, методом моментов оценку параметров a и b равномерного распределения
равномерно распределённого количественного признака генеральной совокупности. Имеем систему
⎧
≈
В
⎨
≈
⎩
В
baXMx
),,(
,
baXDD
),,(
или, учитывая, что для равномерного распределения
2
abXD−
+
)(baXM
=
и
2
= ,
)(
)(
12
99
имеем
(
γ
1
⎧
⎪
2
⎨
1
⎪
⎩
12
≈+
)(
2
)(
Решив эту систему, получим искомые оценки
*
3
σ−=xa , 3
ВВ
xba
В
.
≈−
Dab
В
*
σ+=xb ,
ВВ
где
D=σ .
ВВ
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала.
∗
Надёжностью (доверительной вероятностью) оценки θ
*
ние ||
θ−θ оказывается заданно малым.
Наиболее часто задают надёжность, равную 0,95; 0,99; 0,995. Интервал (θ
называют вероятность γ, с которой отклоне-
∗
– δ, θ∗ + δ) называ-
ют доверительным интервалом для оценки параметра θ.
Рассмотрим так называемые доверительные интервалы для оценки математического ожида-
ния нормального распределения при известном среднем квадратическом отклонении σ. Пусть коли-
чественный признак Х генеральной совокупности распределен с плотностью
1
)(
=
exf
2
πσ
2
−
)(
ax
−
2
2
σ
(нормальное распределение); здесь параметр а есть значение математического ожидания, а σ – среднее квадратическое отклонение случайной величины Х. Предположим, что среднее квадратическое
отклонение σ этого распределения известно и извлечена выборка объёма n. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание а по выборочной средней с заданной надёжностью γ. Если
)
γ=δ<− axP
В
то значение δ (радиус доверительного интервала) определяется в виде
,
σ
t
=δ
, где число t может
n
быть найдено из соотношения
=Φ t . Следовательно, с надёжностью γ доверительный интервал
)(
2
⎛
−
⎜
⎝
σ
tx
n
+
,,
ВВ
покрывает неизвестный параметр а; точность оценки есть
4. Математическая статистика: типовые задачи
Задача 1. Из генеральной совокупности извлечена выборка. Известен вариационный ряд
1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
хi
ni
10 25 40 15 10
Указать размах варьирования, моду, медиану вариационного ряда. Найти:
а) выборочную среднюю;
б) выборочную дисперсию.
100
σ
⎞
tx
⎟
⎠
n
tσ=δ .
n