Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы математического моделирования. Учебное пособие-2.pdf
10. Пусть )(xP и )(xQ – некоторые предикаты, заданные на одной и той же непустой пред-
=∀λ
=∀λ
=
∀
∧∧∧
=
∃
=
метной области. Указать высказывание, которое равносильно следующему:
1) ))()(( xPxQx ∨∃ ;
2)
3)
))()(( xQxPx ∧∀ ;
))()(( xPxQx ∧∀ ;
*4) среди ответов 1) – 3) верного не содержится.
Теория алгоритмов
20
11. Записать результат работы алгоритма
⎧
⎨
⎩
над числом 4004…
→→34
Варианты ответов:
1) 4224;
2) 3003;
+3) 3223;
4) 3224.
Задания с развёрнутым ответом.
12. Существует ли предикат Р(х) (и, если существует, то привести пример этого предиката и
предметной области, на которой он задан), чтобы для него выполнялись пары соотношений
,0))((
⎧
⎨
⎩
хРх
=∃λ
.1))((
хРх
13. Существует ли предикат Р(х) (и , если существует, то привести пример этого предиката и
предметной области, на которой он задан), чтобы для него выполнялись пары соотношений
,1))((
⎧
⎨
⎩
14. Пусть предикат Р(х) задан на конечной предметной области }...,,,{
хРх
=∃λ
.0))((
хРх
aaaG
21 n
что высказывания
)(хРх
и )(...)()(
21 n
15. Пусть предикат Р(х) задан на конечной предметной области }...,,,{
aPaPaP
равносильны.
aaaG
21 n
что высказывания
)(хРх
и )(...)()(
21 n
16. Сконструировать машину Тьюринга с внешним алфавитом }1;0{
aPaPaP ∨∨∨ равносильны.
A , выполняющую при-
))()((( xQxPx ∧∃¬ .
. Доказать,
. Доказать,
бавление единицы к написанному слову, если начальное положение «считывающей головки» – крайнее правое.
31
3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КАК СРЕДСТВО МОДЕЛИРОВАНИЯ
(
Необходимость овладения учащимися элементами математического анализа обусловлена
рядом требований, предъявляемых Федеральными государственными образовательными стандартами, к результатам освоения основных образовательных программ.
В частности, изучение элементов математического анализа способствует овладению системой
функциональных понятий, развитию умения использовать функционально-графические представления для решения различных математических задач, для описания и анализа реальных зависимостей.
Если фу
ного процесса, то выстраиваются следующие связи понятий:
Тенденции процесса, проявляющиеся с течением времени Предел функции на бесконечности,
Бесперебойное течение процесса (перепады, сбои) Непрерывность функции (разрывы)
Скорость течения процесса Производная функции
нкцию одной или нескольких переменных рассматривать как математическую модель реаль-
Характеристики процесса Функциональные понятия
асимптотическое поведение
Изменение состояний в малые промежутки времени Дифференциал функции
Рост, падение Монотонность функции
Пиковые состояния (апогей, перигей) Экстремумы функции (наибольшее,
наименьшее значения)
Воспроизводимость состояний процесса Периодичность функции
Промежуточные состояния Интерполяция
Прогнозируемые состояния Экстраполяция
Восстановление процесса по скорости его течения Неопределённое интегрирование
Изменение процесса на временнóм промежутке,
Определённый интеграл
локально зависящего от времени протекания линейным
образом
Таким образом, построение, анализ и интерпретация математических моделей процессов и
явлений требует освоения учащимися основами дифференциально-интегрального исчисления.
3.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1. Предел функции одной переменной. Понятие предела – одно из основных в математиче-
ском анализе. Не приводя строгих определений, объясним смысл указанного понятия. Пусть дана
функция )(
падают с
xfy = становятся сколь угодно близкими к некоторому числу А, то говорят: А есть предел функ-
)(
ции )(
xf в точке ,
xfy = и значения аргумента х неограниченно приближаются к значению ,
x (что будем записывать в виде
0
x и записывают
0
lim .
xx=→
0
)
xx → ). Если при этом оказывается, что значения
0
Axf
x но не сов-
0
32
В случае, когда значения аргумента х неограниченно растут по модулю, оставаясь при этом
+∞→х (−∞→х
∞→х
х
∞
(
∞
=
=
∈
∞→х
х
хxх
положительными (отрицательными), мы записываем
какого знака значения аргумента х, то употребляем символ .
). Если не принципиально,
Запись Axfx=∞→)(lim означает,
что значения )( xfy = становятся сколь угодно близкими к числу А при .∞→
Говорят также,
что число А есть предел функции на бесконечности.
Если в (любом из трёх рассмотренных случаев) А = 0, то функция )(xf называется бес-
конечно малой. Возможен также случай, когда значения функции )(xf неограниченно растут
(к ∞+ или –∞ ) при стремлении аргумента х к некоторому
()
записывают соответственно
большой (при
xx → и ∞→хсоответственно). Следует заметить, что если функция )(xf – беско-
0
lim и
xx
=→xf
0
нечно большая (бесконечно малая), то функция
lim , а функцию )(xf называют бесконечно
x
)
xf
∞→
()
xg1= бесконечно малая (бесконечно большая).
x или к бесконечности. В этих случаях
0
()
xf
Если рассмотреть, в частности, функцию натурального аргумента (последовательность)
= , то к ней применимо определение предела на бесконечности; используют запись
п
lim .
Это означает возможность перехода к пределу под знаком функции )(xf во всякой точке
lim xfxfxx=
→
)(nfу
()
∞→
Axfn=
Всякая элементарная функция )(xff
() ( )
0
.
0
непрерывна на своей области определения )( fD .
)(0fDx
:
Этим свойством пользуются при вычислении пределов. Кроме того, при выполнении арифме-
тических операций над функциями соответствующие операции выполняются и над их пределами.
Неопределённостями (при
предела), которые при формальной подстановке вместо аргумента х предельного значения (
принимают вид:
0
0
∞
,
∞⋅ ,0,
∞
∞−∞ 1, и др.
xx →
или
0
∞
) называются такие выражения (под знаком
x или ∞)
0
Приёмы вычисления пределов. Вычисление пределов рациональных или иррациональных дро-
бей на бесконечности
теля на старшую степень аргумента
может быть произведено путём одновременного деления числителя и знамена-
, чем достигается переход от бесконечно больших к бесконечно
малым. Продемонстрируем приём на следующем примере.
4
−
Пример. Вычислить
lim
x
∞→
xx
.
23
132
−+
xx
Решение. Имеем бесконечно большие в числителе и знаменателе дроби; следовательно,
выполняем одновременное деление на старшую степень аргумента, т.е. на
4
х
х
−
4
4
х
х
2
3
х
4
−+
lim
=
xx
132
44
∞→∞→
lim
x
4
−
xx
= .
∞→
23
xx
lim
132
−+
:4х
1
1
−
3
х
132
−+
42
ххх
Теперь имеем бесконечно малую в знаменателе дробь и функцию, стремящуюся к 1− в чис-
лителе, т.е. дробь оказывается бесконечно большой. Ответ записываем в виде
4
xx
lim
x
33
−
∞→
23
xx
∞=
.
132
−+
x
(
=
Пример. Вычислить
lim
x
0−+→
11
.
x
Решение. Имеем неопределённость вида
0
. Для её раскрытия умножим числитель и знамена-
0
тель на выражение, сопряжённое числителю, т.е. на
,11 ++х и сократим числитель и знаменатель
на общий множитель х, (который при 0→х не равен нулю). В результате имеем
−+
11
x
lim
x
()
=
lim
() ()
xx
++
xx
)
++−+
1111
=
lim
000
→→→
11
xxx
x
xx
1
,
=
2
++
11
так что искомый предел равен 0,5.
Замечательные пределы.
1. При 0→t отношение
tsin
представляет собою неопределённость вида
t
0
. Можно дока-
0
зать, что
t
sin
1
.
t
t
t1)1( + представляет собою неопреде-
2. При 0→t показательно-степенное выражение вида
лённость вида
lim
0=→
t
∞
1 . Можно доказать, что соответствующий предел существует и равен некоторому
иррациональному числу е = 2,7…:
t
et
=+
t
→10
)1(lim .
Рассмотренные пределы называются, соответственно, первым и вторым замечательными
пределами. Второй замечательный предел может быть также записан в равносильной форме
х
1
⎞
⎛
1lim .
+
⎜
∞→
х
lim
→→
tt
.
⎝
t
==
00
t
tg
Непосредственными следствиями первого замечательного предела являются соотношения:
t
lim
0=→
t
sin
t
Пример. Вычислить
3sin
a)
lim
x
∞→
sin
xx
; б)
2
x
lim
x
,1
∞→
lim
⎜
⎝⎛+
tg
t
t
x
2
x
1
+
⎞
⎟
x
3
⎠
e
=
⎟
х
⎠
t
,1
arcsin
.1
lim
t
lim,1
00
→→
tt
arctg
t
t
==
Решение:
а) имеем неопределённость вида
0
. Заметим, что при
(см. первый замечательный
0→x
0
предел) отношение
sin
х
x
(вместе с
xsin
) стремится к единице. При вычислении предела отношения
x
3sin
можно снова воспользоваться первым замечательным пределом, если положить ,3xt
xx3
и заметить, что 0→t при 0→x . Остаётся выполнить преобразование
2
xx
3sin
= 3
lim
x20
→
sin
lim
x
x
x
⎛
⎞
⎜
→
0
⎟
x
sin
⎝
⎠
x
3sin
⋅
x
3
34
и закончить вычисление
х
Δ
−
Δ
Δ
(
sin
2
x
⎞
lim
⎟
x
x
⎠
xx
3sin
⎛
lim
x20
→
sin
=3
lim
⎜
→
x
0
⎝
x
б) имеем «комбинированную» неопределённость вида
3sin
x
0
→
3
x
∞
⎜
⎝⎛∞
.3113
=⋅⋅=
∞
⎞
. Если выделить в скобках
⎟
⎠
в качестве слагаемого число 1, то станет возможным использование второго замечательного предела:
x
вида
2
Теперь 0
1
, т.е.
t
−
=xt при ∞→х, поэтому в показателе степени удобно выделить выражение
3
+
+x
:
23−
lim
∞→
x
lim
x
→
x
⎜
⎝⎛+
x
+
∞→
1
3
x
⎜
x
⎝⎛+
2
⎞
⎟
⎠
2
1
+
⎞
=
⎟
3
x
=
x
⎠
⎛
+
1lim
⎜
x
∞→
⎝
x
+
⎛
1lim
+
⎜
⎝
+
x
+
−
2
−
⎞
⎟
⎠
+
3
x
1
⎞
−
⎟
3
⎠
223
−
x
2
⋅
⋅
x
3
+
⎛
1lim1
+=
⎜
x
∞→∞→
xx
⎝
⎛
⎜
⎛
+=
1lim
⎜
⎜
x
∞→
⎝
xx
⎝
x
22
2
−
⎞
.
⎟
3
⎠
+
4
−
x
−
2
⎞
⎟
⎠
+
3
x
3
+
3
+
x
⎞
2
−
⎟
.
⎟
⎠
Далее, пользуясь свойством непрерывности показательно-степенной функции, перейдём
по-отдельности к пределу в основании и показателе степени:
+
3x
2
−
⎛
1lim
+
⎜
x
∞→
x
⎝
2-
⎞
⎟
3
⎠
+
е
=
(второй замечательный предел при
−
4
x
lim −=
=
+
3
x
lim
xx
−
4
∞→∞→
+
1
.4
3
x
+=x
t ),
23−
Имеем теперь
x
lim
⎜
x
∞→
3
⎝⎛+
x
2. Задачи для самостоятельного решения.
⎞
⎟
⎠
4
−
=
e
.
x
2
1
+
Вычислить пределы:
а)
lim
x
2
143
xх
+
∞→
; б)
2
721
xх
++
lim
x
→
0
−
arcsin
2
x
2cos1
хx
; в)
lim
x
∞→
x
⎜
x
⎝⎛+
−
x
25
−
32
⎞
;
⎟
12
⎠
2
9
−
г)
lim
→
x
3
x
; д) )2(lim хх
21
−+
x
3. Производная функции одной переменной. Если значение аргумента
получило приращение
xΔ (изменилось на величину x
ние) функции )( xf есть )()()( xfxxfxf
x−+∞→
; е)
lim
0
x
Δ+=
. Величину
2sin
х
.
2
11
−−→x
функции )(xf
), то соответствующее приращение (измене-
)(
естественно назвать средней ско-
xxfΔ
ростью изменения функции f , соответствующей изменению аргумента от х до х +xΔ ; «мнговенной»
же скоростью изменения функции в точке х тогда следует считать предел вида
мый
производной функции f и обозначаемый
)
xf′, y′ или
dy
. Операция взятия производной назы-
lim
→Δx
Δ )(
0
, называе-
xxfΔ
dx
вается дифференцированием функции.
35
Таблица производных основных элементарных функций.
−=′
=
′
x
xx+
xx+
=
≠
(
)
=
(
)
ν=ν
′
′±′=′
±
′+′
′
=
′′=
′
=
′
′
1)
2)
′
)(
=
nxx ;
−
nn
;
const,0)( ==′сс
1
9)
10)
xx sin)(cos
xx cos)(sin
;
;
3)
′
)( =
;
11)
x
1
xx2
′
4)
5)
6)
7)
⎞
⎛
⎟
⎜
⎠
⎝
x
11
−=
2
x
xx
ee =′)(;
xx
′
ln)( =
x1)(ln =′;
;
12)
13)
aaa
;
14)
15)
x
8)
′
x
)(log =
a
ln
;
ax
16)
1
Правила дифференцирования. Пусть const
C , ,0
Тогда
′
()
Производная сложной функции ))(( xufy
u
⎞
⎛
uCCu′=
;
=′)(
=
⎟
⎜
⎠
⎝
CC
;
vuvuuv
вычисляется по правилу
)(tg =
x
⎛
⎜
⎝
′
)(ctg −=
u
v
cos
′
)(arcsinxx−=
)(arccosxx−−=
=
)(arctg
)(arcctg
C
′
;1u
⎞
⎟
⎠
)()( xuufy
1
;
2
1
;
2
x
sin
1
′
1
′
1
1
−=
1
′
=
;
2
1
;
2
1
;
2
1
.
2
xuu
,
)(
−
2
v
vuvu
′
vuvu
.
x
.
;
,
где ).(xuu = Так, например,
1
−
′
1
=
uunn
′
′′
=
′
()
ln,)(,)(
uueeunuu
=
u
′
u
.
Если зависимость )( хуу = задана параметрически, т.е. в виде
⎧
⎨
⎩
то производная )(' xy (или, в других обозначениях,
txx
,
)()(tyy
=
dy
) вычисляется по формуле
dx
ty
′
xy
)(
)(
=
.
′
tx
)(
Параметрическое задание зависимости у от х (ординаты от абсциссы) может быть использовано, например, при описании движения точки по координатной плоскости в том случае, если
её координаты х и у являются функциями времени t.
Производную )( xf′ также можно рассматривать как некоторую функцию; в этом случае
можно говорить о её производной как второй пр
оизводной данной функции:
′′
′
=
))(()(
xfxf
. Анало-
гично можно рассматривать третью и другие производные (производные высших порядков).
36
Примеры.
−
′
−
=
−
−
=
(
=
−′+
=
=
≠
′
1. Вычислить у′, если )51(ln2 xxy
−= .
Решение. В силу правил дифференцирования
′
′
=
()
−−
)51(ln2 xxy . Здесь мы имеем сложную
функцию, а именно логарифмическую функцию аргумента хu 51
. По формуле дифференцирова-
ния натурального логарифма «сложного аргумента» получаем тогда
x
′
−
=
xy 51
2
()
−
х
51
1
′
′
−⋅
2
x
=
5
−
−
x 51
51
107
=
.
x
−
2. Материальная точка движется прямолинейно, при этом зависимость пройденного расстоя-
2
54)(
ния )(tss = от времени t (закон движения) имеет вид
в момент 2=
t .
+= ttts . Найти скорость v точки
Решение. Согласно п. 1.2.1 достаточно вычислить производную в точке 2=t . По формуле
дифференцирования произведения и с учётом правила дифференцирования сложной функции
мы имеем
2
⎛
2
′
== 5
⎜
⎜
⎝
++⋅=
514)()(
1
tttstvv
2
+
52
t
⎛
94)2( =
+== vv
⎜
⎝
′
⎞
2
()
t
⎟
+
⎟
⎠
52
4
⎞
.
⎟
3
⎠
9
3. Найти производную функции, заданной параметрически:
Решение. Имеем:
′
() ()
=
′
tyttx
,3cos3
3
=
, а тогда по формуле дифференцирования функ-
2
t
3cos
⎛
2
⎜
t ,
++=
⎜
⎝
54
tx
⎧
⎨
⎩
3sin
.
=
ty
3tg
⎞
t
⎟
⎟
2
⎠
t
+
5
ции, заданной параметрически, получаем
′
() ()
ty
3
3cos
t
3cos3:
t
1
==
.
32
t
3cos
4. Задачи для самостоятельного решения.
Найти производную функции ),(xy
sin
y
= ;
а)
г)
⎧
⎪
ж)
⎨
⎪
⎩
x
21
+
xtg
x
3
arcsin
+= ; д)
23
+=
−=
хey
2
ttх
; з)
23
54
tty
′
(в п. в) функция у(х) задана параметрически:
б)
4
xy
ln=
;
2
ctg1 ;
в)
x
)
exy−+=
е)
ln
y ;
x
3
=
y ;
x
t
3
⎧
=
ех
⎪
⎨
⎪
⎩
;
− t
3
=
ey
и)
()
⎧
⎨
()
⎩
x
2
1
+=x
+
234−
ttх
sin2
−
.
ty
cos12
−=
5. Касательная и нормаль. Правило Лопиталя. Касательная к графику функции (кривой)
)(xfy = , проведённая в точке
x
, имеет уравнение
0
Нормаль к графику функции (кривой) )(xfy
, проведённая в точке 0x (т.е. перпендикуляр
).)(()(
xxxfxfy
000
к касательной в точке касания) в том случае, если 0)(
)(
xfy −
0
37
xf , имеет уравнение
0
1
−=
′
)(
xf
0
).(
xx
0
Примеp 1. Составить уравнения касательной и нормали к кривой, заданной уравнением
−
=
=−′=′
+
−
x
−=−
=
∞
′
х
∞
2
45
+−= xxy , в точке )10;1(0−M .
Решение. В нашем случае точка касания имеет (по условию задачи) координаты
==−= xfух . Вычислим ,52)(
10)(,1
000
1
10 ++= ху или 037 =−+yx является уравнением касательной, а уравнение )1(710
)1(
′
xxf тогда 75)1(2)1()(
fxf . Уравнение
0
−=−−
= ху
7
или 0717 =+− yx есть уравнение нормали к заданной кривой в указанной точке.
Примеp 2. Прямая xy 31−= параллельна касательной к графику функции
2
563
−−= xxy
Найти абсциссу точки касания.
Решение. Значение производной )563(
2
′
−−= xxy в точке касания
равно угловому коэф-
фициенту касательной. Поскольку касательная в этой точке параллельна прямой xy 31 −= , их угло-
вые коэффициенты равны. Поэтому абсцисса точки касания находится из уравнения
2
′
3)563(
−− xx или ,366
−=
х откуда 5,0
х .
Ответ: 0,5.
0
∞
Правило Лопиталя раскрытия неопределённостей вида
состоит в следующем: если
и
0
′
)(
существует предел вида
lim
xf
ax
→
, то
′
)(
xg
.
)(
lim
xf
lim
ax→
=
→
)(
xg
)(
xf
ax
.
′
)(
xg
Здесь а – некоторая точка или бесконечность любого знака.
Если отношение производных при
ах→ снова есть неопределённость указанного выше вида,
то и правило можно применить снова, переходя ко вторым производным, и т.д.
x
)1ln(
Пример. Вычислить
Решение. Функции
делённость вида
Снова при ∞→х имеем неопределённое выражение
lim
x
∞
. Применяем правило Лопиталя:
∞
lim
x
∞→
+
∞→
()
+
x
.
x
1ln += xy и xy = бесконечно бóльшие при ∞→
)1ln(
x
=
lim .
1
⎛
⎜
⎝
+
1
()
x
+
x
1
′
⎞
⎟
⎠
=
:1
2
lim
xx
x
∞
x
2
∞→∞→
x
+
1
. Повторное применение правило
Лопиталя приводит к следующему результату:
′
)2(
lim
x
x
)1ln(
+
∞→
x
lim ==
=
x
xx
′
)1(
+
x
1
2lim
∞→∞→
2
.0
x
, т.е. имеем неопре-
38
6. Задачи для самостоятельного решения.
=
(
)
(
=
≤
′
′
=
+
=
+∞→x
Составить уравнение касательной и нормали к кривой, заданной уравнением )( xfy
,
в точке );(
1.
3.
5.
yxМ :
000
π
М
,6sin4
0
⎛
⎜
0
⎝
18
).2;1( ,
Мxy +=
0
= Мxy
4
=
1
xy+
2
−
x
⎞
.32;
⎟
⎠
2. ).1;1( ,
4.
).0;0( ,12ln
6.
1
2
4
x
y +−=
4
−=
Мey
0
Мxy +=
0
).3;2( ,5
Мx
).10;2( ,6027
0
Вычислить пределы:
1.
4.
lim
x
→
lim
→xx
x
e
1
−
.
2
0
x
sin
x
4arctg
.
5
0
−
e
1
2.
5.
lim
x
lim
x
→
3
x
++
121
−→
1
2
1ln
0
.
xx
++
2
)
x
.
x
−
ex
−+3cos
3.
lim
x
0−→
x
8cos1
.
x
2tg
7. Применение производной к исследованию функций.
Исследование по первой производной: монотонность, экстремумы. В основе исследования
функции на монотонность (возрастание, убывание) и экстремумы (максимумы, минимумы) лежат
следующие положения:
а) интервалы, где 0)( ≥′xf служат интервалами возрастания функции )(xfy = ; на интерва-
лах, где 0)( ≤′xf , функция убывает;
′
)(xf
б) точки перемены знака
с «+» на «–» служат точками максимума (точка наибольшего
значения функции среди всех её значений из некоторой окрестности этой точки), а с «–» на «+» –
точками минимума (точка наименьшего значения функции в некоторой окрестности).
Исследование по второй производной: характер выпуклости. Говорят, что дуга линии имеет
определённый характер выпуклости, если она пересекается с любой своей секущей не более, чем
х точках. Такая дуга лежит по одну сторону от касательной, проведённой в любой точке дуги:
в дву
если целиком ниже касательной, то дуга называется выпуклой (выпуклой вверх), а если выше –
то вогнутой (выпуклой вниз).
В основе исследования функции на характер выпуклости лежат следующие положения:
а) интервалы, где 0)( ≥′′xf , сл
на интервалах, где 0)(
б) точки перемены знака второй производной )( xf
ужат интервалами вогнутости графика функции )(xfy
′′
xf , график функции выпукл;
служат точками перегиба графика,
;
т.е. точками перемены характера выпуклости.
хх
Асимптоты графика. Вертикальная асимптота
во всякой точке
в точке
х
равен бесконечности.
0
График функции обладает асимптотой bkxy
х , где эта функция не определена, и хотя бы один из односторонних её пределов
0
графика функции )(xfy = возникает
0
на бесконечности (наклонной асимптотой),
если существуют оба числа (оба предела)
)(
lim kxxfb
k
xf
xx
x
∞→∞→
при этом, вообще говоря, следует рассмотреть отдельно оба случая
))((lim,
−==
,
и −∞→x.
Если первый из указанных пределов не существует, или существует первый, но не существует
второй, то график не обладает асимптотой (на бесконечности соответствующего знака).
39
Алгоритм полного исследования функции.
≠
=
∈
<
′
∞
=
=
′
′
′
=
Исследование элементарными методами: область определения, характер чётности, перио-
1.
дичность.
Точки разрыва, вертикальные асимптоты.
2.
3.
Исследование на монотонность и экстремумы.
4. Характер выпуклости, точки перегиба.
5. Асимптоты на бесконечности.
3
Пример.
Исследовать процесс, описываемый функцией
y−=
x
. Построить график за-
2
)2(4 х
висимости состояния процесса от значений переменной х. Можно ли пользоваться адекватной линейной моделью (какой именно?) при неограниченном увеличении значений х?
Решение.
1. Функция определена при всех 2
х . Поскольку её область определения не обладает симметрией относительно начала координат, то вопрос о характере чётности не стоит: функция ни чётна,
ни нечётна.
Очевидно, что функция непериодична.
2. Функция претерпевает разрыв при .2
к 2 слева (т.е. при
, что обозначается в виде )02−→x и справа (т.е. при 2>x , что обознача-
2<х
х Исследуем её поведение при стремлении х
ется в виде )02 +→x . В обоих случаях функция остаётся положителен, и знаменатель дроби стре-
мится к нулю, так что
3
lim
x
01
−
∞=
2
)2(4
х
lim,
+→−→
xx
3
x
01
−
∞=
.
2
)2(4
х
Следовательно, прямая х = 2 служит вертикальной асимптотой графика.
3. Имеем
322
−⋅−−
′
=
у
−
x
хxxx
4
)2(4
2
)2(2)2(3
=
)6(
−
xx
.
3
)2(4
−
x
Критическими точками (т.е. точками, где производная не определена или обращается в ноль),
служат точки x = 2, x = 0, x = 2, x = 6. Этими точками числовая ось разбивается на интервалы знакопостоянства производной
из этих интервалов функция возрастает; при )6,2(
ция убывает; наконец, 0>′у при ),6(
′
.у
При )0,(−∞∈х , а также при )2,0(∈х имеем 0>
х имеем
∈х , так что в этом интервале функция возрастает.
0
y
, так что в этом интервале функ-
′
у , а значит в каждом
В точке х = 6 производная у′ изменила свой знак с «–» на «+», следовательно, в этой точке
данная функция достигла своего минимального значения: 375,3)6(
yy .
min
4. Найдём вторую производную:
2
⎛
′′
⎜
=
y
⎜
x
⎝
Имеем 0<′′y при )0,(−∞∈x , так что в указанном интервале график функции выпукл; 0>
⎞
−
)6(
xx
⎟
⎟
−
)2(4
⎠
6
х
=
x
.
43
−
)2(
y
при ),2(),2,0( ∞+∈∈ хx , следовательно, при указанных значениях переменной вогнут.
Значит, 0=х – точка перегиба графика; при этом .0)0(
у В точке х = 2 (критическая точка второй
производной) функция не определена.
40