Основы математической обработки информации. Часть I. Алгебра логики. Практикум по решению задач

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А. И. ГЕРЦЕНА

К. Р. Пиотровская, Н. В. Сазонова

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ

Часть I. АЛГЕБРА ЛОГИКИ Практикум по решению задач

Санкт-Петербург

2016

УДК 378.016:51 ББК 22.12 я73 П32

Печатаетсяпорешениюкафедры методикиобученияматематикеиинформатикеРГПУим. А. И. Герцена,

протокол№3 от20 сентября2016 г.

Рецензенты: доктор педагогических наук, профессор И. В. Симонова (РГПУ им. А. И. Герцена)

доктор педагогических наук, профессор Т. А. Бороненко (ЛГУ им. А. С. Пушкина)

Пиотровская К. Р., Сазонова Н. В.

П32 Основы математической обработки информации. Часть I. Алгебра логики. Практикум по решению задач. — СПб.: ООО «Книжный дом», 2016. — 40 с.

ISBN 978-5-94777-405-4

Учебноепособиеявляетсячастьюучебно-методическогокомплексапо дисциплине«Основыматематическойобработкиинформации», читаемой вакадемическомбакалавриатепопедагогическимспециальностям. Учебноепособиевключаеткраткийтеоретическийкурс, посвященныйалгебре логики, подробные разборы решений типовых задач, а также задачи различного уровня сложности для самостоятельного решения студентами.

3

ВВЕДЕНИЕ

«Основыматематическойобработкиинформации» — этокомплексная дисциплина, содержащая основные положения, теории и методы математики, математические средства представления информации, элементы математической статистики, которые рассматриваются в логической взаимосвязи как между основными разделами, так и в решении профессиональных педагогических задач. Цель дисциплины — максимально развитьинтуитивноеипрактическоепредставлениебудущихучителейоб анализеданных, статистическойобработкепедагогическогоэксперимента, научить работать с выборками различного объема.

Учебное пособие представляет собой учебник-практикум по решению задачв поддержку дисциплины «Основы математическойобработки информации» и состоит из 3 частей: Алгебра логики, Теория множеств и комбинаторика, Теория вероятностей и математическая статистика.

Первая часть данного пособия посвящена вопросам алгебры логики неслучайно. Созданиенепротиворечивойисодержательнойконцепции— это проблема, с которой приходится сталкиваться практически в любом виде деятельности. Для успешного решения этой проблемы будущему педагогунужновладетьформальнымиметодамилогикиииметьпрактику врешениизадачматематическойлогики, атакжеприменятьтакоемощное оружие как аналогия.

Учебноепособиесодержиткраткийтеоретическийматериал, разборы типовых задач, задачи для самостоятельного решения и задачи повышенной сложности, которые снабжены ответами.

4

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА КАК НАУКА

Логика определяется как наука о способах рассуждения или наука оспособахдоказательствиопроверженийиизучаетзаконычеловеческого «правильного» мышления. РодинойлогикисчитаютДревнююГрецию, так как именно здесь логика получила наиболее полное и законченное развитие и связывается с именами Гераклита Эфесского (кон. VI — нач. V в. н.э.), Демокрита (V в. до н. э.), Парменида (кон. VI — V в. до н. э.) Зенона

(490–430 гг. до н. э.), Сократа (470–399 гг. до н. э.) и Платона (427–347 гг.

до н. э.). Первоначально логика развивалась как искусство аргументации

испора при ведении диспута в политической борьбе. Однако в работах Платонаужеречьшланеомастерствеаргументацииилогическоговывода в рассуждениях на естественном языке, а о формальных логических законах и правилах логического вывода как инструментах знания, приводящего к истине. Отцом логики считают — Аристотеля (384–322 гг. до н. э.), так как именно в его трудах логика была оформлена наиболее полно и систематически, что позволило ей предстать самостоятельной целостнойнаукой. Впоследствииэтанаукасталаназыватьсяформальной логикой. Термин формальный означает, что рассуждения проводятся на абстрактном уровне, отвлекаясь от конкретного содержания мыслей.

Считается, что формальная логика просуществовала без серьезных измененийоколоХХстолетий. ОднакофилософскиетрудыПлатонаиАристотеля оказывали огромное влияние на средневековых ученых Европы

иарабского мира, как в признаваемой, так и в отвергаемой ими частях. Основнойформойфилософскоготрудаэтоговременибылаполемика, хотя

иподчиненнаявосновномрелигиознойтематике, новтожевремяиспользовавшаяметодлогическогоанализа, сформулированногоещеАристотелем.

Идеи формализации, математизации и автоматизации логического вывода выдвигались еще Раймондом Луллием (1235–1315) и Рене Декартом (1596–1650), но сама концепция создания универсальной логики принадлежит Готфриду Лейбницу (1646–1716), который предложил обозначать основные понятия логики символами и сводить всякое рассуждение к вычислениям. Замысел Лейбница сводился к построению универсального символьного языка науки, который должен был заменить естественный язык. Этот новый язык являлся языком умозаключений, включающий набор исчерпывающих правил, позволяющих провести любойдедуктивныйвыводизначальныхправил, атакженаборначальных понятий, через которые определяются все остальные понятия.

Реализовать эту концепцию Лейбницу не удалось, но его идеи были востребованы в ХIХ в. английскими учеными Джорджем Булем (1815– 1864) и Августусом де Морганом (1806–1871). Обозначив логические

5

высказывания буквами, они создали алгебру, получившую название

алгебра высказываний, как ее еще называют, алгебру логики. Большой вклад в становление и развитие алгебры логики внесли Уильям Стенли Джевонс (1835–1882), П. С. Порецкий (1846–1907), Чарлз Сандерс Пирс

(1839–1914), А. А. Марков(1903–1979), А. Н. Колмогоров(1903–1987) идр.

Долгоевремяалгебравысказыванийбылаизвестнадостаточноузкому классу специалистов. Почти через 100 лет в 1938 г. Клод Шеннон (1916– 2001) показал, чтоалгебралогикиприменимадляописаниясамыхразнообразных процессов, в том числе функционирования релейно-контактных и электронно-ламповых схем.

Введениесимвольныхобозначенийвлогикуположилоосновудлясозданияновойнауки— математическаялогика, котораяявляетсялогикой по предмету, а математикой по методу.

Современнуюматематическуюлогикуопределяюткакразделматематики, посвященныйизучениюматематическихдоказательствиоснований математики с помощью формальных синтаксических систем, которые были названы исчислениями.

Одной из причин бурного развития математической логики в конце XIX началеXX вв. явиласьпотребностьвдоказательственепротиворечивоститехилииныхматематическихтеорий. Логикасталаиспользоваться для правильной постановки и решения логических проблем математики, в особенности проблем, связанных с доказуемостью и недоказуемостью тех или иных положений, математических теорий.

Однимизметодовдоказательстванепротиворечивостиявляетсяметод построения синтаксической теории, в которой

1)определяется алфавит,

2)аксиомы записываются как формулы в алфавите,

3)точно указываются правила вывода одной формулы из другой. Посколькувыборсистемыаксиомиправилвыводаможетбытьсделан

по-разному, то говорят о различных синтаксических логических теориях,

которые называют логическими исчислениями.

Так, в ХIХ в. немецкий ученый Готлоб Фреге (1848–1925) и итальянец Джузеппе Пеано (1858–1932) применили математическую логику для обоснования арифметики и теории множеств. В работах Г. Фреге и Чарльза Пирса (конец 1870-х — начало 1880-х) в логику были введены предметные переменные, аименнокванторысуществованияивсеобщности, итемсамым основанысинтаксическиетеорииновоготипа— исчисленияпредикатов.

В 1910–1913 гг., пытаясь обосновать новое направление в математической науке: логицизм, т. е. то, что что вся математика сводится к логике с помощью набора аксиом и нескольких основных понятий, Альфред Уайтхед (1861–1947) и Бертран Рассел (1872–1970) создали трактат

6

«Принципыматематики/ Principia Mathematica». Этоттрудоказалисключительноевлияниенавсепоследующееразвитиематематическойлогики.

Еще одной важной вехой в развитии логики стало обнаружение свойственных уровню развития логических исчислений и парадоксов теории множестввконцеXIX в., впреодолениикоторыхпоявиласьноваяконцепцияинтуиционизмаиинтуиционистскаялогика(ЛёйтзенЭгбертЯнБрауэр, 1981–1966), которая основывалась на убедительности исключительно мысленных построений, не связанных вопросом существования объектов. Позднее, вкачествеальтернативыэтомуподходу, ужеспозицийформализма Дэвидом Гильбертом (1862–1943) была создана программа обоснования математикипосредствомаксиоматическойформализациисиспользованием строго ограниченных средств, не приводящих к противоречиям.

И, конечно, нельзя не упомянуть об открытии Курта Гёделя (1906– 1978). Этот ученый в 1931 г. доказал серию теорем о полноте системы аксиом, которые перевернули весь мир тогдашней математической логики. Их суть сводилась к утверждению, что логическая полнота (или неполнота) любойсистемыаксиомнеможетбытьдоказанаврамкахэтой системы. Для ее доказательства или опровержения требуется усиление системы, путем введения дополнительных аксиом.

Все сказанное нами выше имело целью донести до читателя то, что математическая логика — это довольно молодая, но многогранная и очень сложная наука, развитие которой связано с различными противоречивыми направлениями в становлении математической науки, а позже науки информатики. Роль математической логики во все усиливающейся компьютеризации многих сфер деятельности человека, с ростом информационного потока неуклонно возрастает. Это связано с изменением современных требований к развитию соответствующего программного, теоретического и логико-лингвистического обеспечения современной компьютеризированной науки и техники.

Здесь же мы знакомимся с малой толикой математической логики: алгеброй высказываний, которая входит не только в основания математики, ноиинформатики. Алгебравысказыванийилиалгебралогики— это только один из разделов математической логики, в котором проводятся логические операции над простыми и сложными высказываниями, которые могут быть только истинными или ложными. Поэтому ее называют бинарной или двоичной логикой, в отличие, например, от троичной логики. Внутреннююструктурупростыхвысказыванийэтотразделлогики не рассматривает, а учитывает лишь союзы, с помощью которых простые высказывания соединяются в сложные, а также порядок, в котором это происходит. Эта простейшая логика имеет очень ограниченные средства дляисследованиясуждений, но, несмотрянаэто, онаважнаиимеетширокую сферу применения.

7

2. ВЫСКАЗЫВАНИЯ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Базовым понятием алгебры высказываний, а следовательно, и математической логики является понятие высказывания.

Высказывание — это повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать истинно оно или ложно.

Например, высказываниями являются следующие предложения:Луна — спутник Земли.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.Белые медведи живут в Африке.

Следующие предложения высказываниями не являются:Маслины вкуснее ананасов.

Х — четное число.

Будем обозначать высказывания большими латинскими буквами, с индексами или без них: A, B, C, …, A1, A2, …

Запись [A] = 1 означает, что высказывание A принимает значение

«истина».

Запись [A] = 0 означает, что высказывание A принимает значение

«ложь».

Например, если А — это высказывание «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны», а В — «белые медведи живут в Африке», то [A] = 1,

а [В] = 0.

Средивысказыванийвыделяютпростыеисложныевысказывания.

Сложные высказывания строятся из простых при помощи логических операций, которые называются отрицанием, конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией и эквиваленцией.

Определениялогическихоперацийдемонстрируютсяспомощьюспециальныхтаблиц, которыеназываюттаблицамиистинности.

Отрицанием высказывания А называется новое высказывание, обозначаемое¬ А, читаемое«неверно, чтоА» или«неА», котороепринимает значение истинно, если А — ложно, и ложно, если А истинно.

Таблица истинности для операции отрицание следующая:

Конъюнкцией высказываний А и В называется новое высказывание, обозначаемоеА В, вобщемслучаечитаемое«АиВ», котороепринимает значение «истинно» только в случае, когда оба высказывания А и В одновременнопринимаютзначение«истинно», востальныхслучаяхрезультат конъюнкции принимает значение «ложь».

8

Таблица истинности для операции конъюнкция следующая:

Участники конъюнкции, в нашем случае высказывания А и В, называются конъюнктами.

Дизъюнкцией высказываний А и В называется новое высказывание, обозначаемое А В, читаемое «А или В», которое принимает значение «ложно» только в случае, если оба высказывания А и В одновременно принимаютзначение«ложь», востальныхслучаяхдизъюнкцияпринимает значение «истинно».

Таблица истинности для операции дизъюнкция:

Участники дизъюнкции, в нашем случае А и В, называются дизъюнктами.

Импликацией высказываний А и В называется новое высказывание, обозначаемое А В, читаемое «если А, то В» или «из А следует В», которое принимает значение «ложь» только в случае, если высказывание А истинно, а В ложно, в остальных случаях импликация принимает значение «истинно».

Таблица истинности для операции импликация:

В импликации А В высказывание А называется посылкой или

условием, а В — заключением или следствием.

Эквиваленцией высказываний А и В называется новое высказывание, обозначаемое А В, читаемое «А эквивалентно В» или «А тогда итолькотогда, когдаВ», котороепринимаетзначение«истинно» вслучае, есливысказыванияАиВпринимаютодинаковыеистинностныезначения,

9

и которое принимает значение «ложно», если истинностные значения высказываний А и В различны.

Таблица истинности для операции эквиваленция:

Итак, в алгебре логики с помощью 5 логических операций определяется значение истинности сложного высказывания, если известны значения истинности простых высказываний, из которых они получены.

3. ПОНЯТИЕ ФОРМУЛЫ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ, ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ

В математической логике можно рассматривать выражения, которые представляют собой записи сложных высказываний, составленных из простых с помощью логических операций.

Записьсложноговысказыванияввидепростыхвысказываний, соединенных логическими операциями, называется логической формулой (простые высказывания в этом случае обозначаются, как и ранее, большими латинскими буквами).

Например, логической формулой высказывания «Если мы поедем в Варшаву, то посетим Народный музей» является А В.

Формулы будем обозначать большими буквами греческого алфавита, иногда с использованием индексов: Ф1, Ф2..., 1, 2...

Символы греческого алфавита

10