Основы математической обработки информации. Часть I. Алгебра логики. Практикум по решению задач

Построим таблицу истинности. Поскольку виновный единственный, то нас будут интересовать следующие интерпретации

Дляпоследнейвыделеннойинтерпретацииформулапринимаетзначение«ложь». Поэтомуэтуинтерпретациюмынебудембратьвовнимание.

Выбирая из оставшихся двух интерпретаций, опираемся на тот факт, чтоодинизгероевбылправдиввсвоихпоказаниях, другойвсевремялгал, а третий то говорил правду, то лгал. Поскольку показания героев сюжета задачи описаны конъюнкциями, то только одна из них должна принимать значение «истинно». Этому требованию удовлетворяет последняя выделенная строка.

Теперь мы можем ответить на вопрос о преступнике. Преступление совершил Смит.

21

Ввыбранной строке подформула [¬ B ˄ S] = 1, при [¬ B] = 1 и

[S]= 1. По условию задачи правду говорил сквайр, а данная подформула описываетутверждениемистераОлдриджа. ПоэтомумистерОлдридж— сквайр.

Подформула [B ˄ ¬ O] = 0, при [¬ 0] = 1 и [B] = 0. Поэтому эта конъюнкцияописываетутверждениегероя, которыйтоговорилправду, толгал, а это чиновник. В то же время эта формула описывает утверждение мистера Брауна. Поэтому мистер Браун — чиновник.

Наконец, подформула[¬ S ˄B] = 0, при[¬ S] = 0 и[B] = 0. Поэтомуэта конъюнкция описывает утверждение героя, который все время лгал, а это мошенник. В то же время эта формула описывает утверждение Смита. Поэтому Смит — мошенник.

Ответ: ПреступлениесовершилмошенникпофамилииСмит, чиновник носил фамилию Браун, а сквайр — Олдридж.

Задача 6. Однажды комиссару французской полиции Мегрэ пришлось допрашивать трех свидетелей: месье Клода, месье Жака и месье Дика. Их показания были противоречивы. Каждый обвинял кого-нибудь во лжи:

Месье Клод утверждал, что месье Жак лжет;Месье Жак обвинял во лжи месье Дика;

Месье Дик уговаривал комиссара не верить ни Клоду, ни Жаку. Но комиссар Мегрэ очень быстро выяснил, кто преступник, не задав

ни единого вопроса. Кто из героев сюжета был правдив? Решение. Формализуем условие задачи:

С = «Правдивое показание дал месье Клод». D = «Правдивое показание дал месье Дик». J = «Правдивое показание дал месье Жак».

Для показаний месье Клода имеют место быть две альтернативы: месье Клод дал правдивое показание, а Жак, напротив, обманывал следствие или, наоборот, месье Клод лгал, а месье Жак был правдив. Формализация этого условия имеет вид: (C ˄ ¬ J) ˅ (¬ C ˄ J).

Аналогично формализуем показания месье Жака и Дика:

(J ˄ ¬ D) ˅ (¬ J ˄ D) и (D ˄ ¬ (J ˅ C)) ˅ (¬ D ˄ (J ˅ C)).

Составимконъюнкциюизполученныхдизъюнкцийипроведемравносильные преобразования. Исходная формула примет вид:

¬ (C ↔ J) ˄ ¬ (J ↔ D) ˄ ¬ (D ↔ (C ˅ J))

22

Для этой формулы, которую мы для удобства обозначим Φ, построим таблицу истинности1:

Из таблицы видно, что только для одной интерпретации формула приняла значение «истинно». Поэтому можно сделать вывод, что месье Жак был правдив.

Ответ: Правду говорил Жак.

Задача 7. Для какого из приведенных ниже символьных выражений неверно высказывание:

(вторая буква гласная) → пятая буква согласная? 1) abcde, 2) becde, 3) babas, 4) abcab.

Решение.

Вариант 1. Если высказывание принимает значение «ложь», то его отрицание принимает значение «истина». Записываем отрицание высказывания и преобразуем его, применяя законы двойного отрицания, № 11

иДе Моргана:

( (вторая буква гласная) → пятая буква согласная ))

(вторая буква гласная пятая буква согласная)

( вторая буква гласная) ( пятая буква согласная) (вторая буква согласная) (пятая буква гласная).

1 Поскольку формула представляет собой конъюнкцию, то значение «истинно» она примет, только если все конъюнкты одновременно истинны. Поэтому, если один из конъюнктов принимает значение «ложь», то заполнение строки таблицы можно не продолжать, так как для данной интерпретации формула примет значение «ложь».

23

Проверяем символьные выражения на соответствие полученному

Вариант 2. Упрощаем исходное высказывание:

« (вторая буква гласная) → пятая буква согласная» «вторая буква согласная → пятая буква согласная».

Вспоминаем определение импликации. Так как в задаче требуется выделить неверные случаи, то ищем выражение с той комбинацией, для которой импликация равна нулю, т. е. выделенную в таблице истинности строку, что означает: «Вторая буква согласная пятая буква гласная».

Задача8. ДлякакогоизуказанныхзначенийчислаX истинновысказывание:

((X < 5)→(X < 3)) ((X < 2)→(X < 1))? 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Решение. Решим задачу в общем виде. [((X < 5) (X < 3)) ˄ ((X < 2) (X < 1)) ] = 1.

Преобразуем, используя закон № 11: А → В ¬ А ˅ В. Очень важно напомнить, что при инверсии высказывания, которое является неравенством, строгость неравенства меняется на противоположную! Получаем:

[((X 5) ˅ (X < 3)) ˄ ((X 2) ˅ (X < 1))] = 1.

Используя дистрибутивный закон, получаем:

[((X 5) ˄ ((X 2) ˅ (X < 1))) ˅ ((X < 3) ˄ ((X 2) ˅ (X < 1)))] = 1 [((X 5) ˄ (X 2)) ˅ ((X 5 ˄ X < 1)) ˅ ((X < 3) ˄ (X 2)) ˅ ((X < 3)

˄ (X < 1))] = 1.

Рассмотрим каждый дизъюнкт по отдельности: ((X 5) ˄ (X 2)) означает, что X 5

((X 5 ˄ X < 1)) является ложным высказыванием

((X < 3) ˄ (X 2)) означает, что 3 > X 2 ((X < 3) ˄ (X < 1)) означает, что X < 1.

Тогда выражение будет истинно на трех интервалах: (– ∞, 1); [2, 3); [5, ∞).

24

Подставляя предложенные значения в систему интервалов, получаем ответ 2.

Ответ: 2

Задача 9. Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание:

(90 < X·X) → (X < (X – 1))?

Решение. Определим простые высказывания: А = «90 < X·X», В = «X < (X – 1)». Исходная формула имеет вид: А → В.

Вариант 1. Преобразуем высказывание по закону № 11, не забывая изменять строгость неравенства при отрицании:

(90 X·X) (X < (X – 1)).

Второенеравенствоневыполнимодляцелыхчисел, т. е. высказывание B Ʌ. Поэтому формула имеет вид: ¬ A ˅ Ʌ. По определению дизъюнкции формула принимает значение «истина», только если ¬А истинно. Поэтому решение задачи сводится к нахождению наибольшего целого числа для неравенства: 90 X·X, для которого наибольшее целое число равно 9.

Вариант 2. Второе неравенство невыполнимо, т. е. второй операнд импликации имеет значение «ложь». В то же время по условию задачи импликация в целом имеет значение «истина». Вспоминаем таблицу истинности для импликации:

выбираем строку, в которой [В] = 0, но [А В] = 1. В ней [А] = 1. Следовательно, ищем наибольшее целое число, для которого 90 < X·X.

Ответ: 9.

Задача 10. Укажите интерпретацию для K, L, M, N, при которых логическое выражение ( K → L) (M → K) N ложно. Ответ запишите в виде строки из 4 символов, содержащих значения переменных K, L, M иN (вуказанномпорядке). Так, например, строка1101 соответствуеттому,

25

Решение.

Вариант 1. С помощью законов Де Моргана, двойного отрицания и идемпотентности упрощаем выражение.

( K → L) (M → K) N K L M K N K L M N

По определению дизъюнкции значение ложь достигается только в том случае, если все дизъюнкты принимают значение ложь. Отсюда получаем: [K L M N] = 0 только при [K] = [L] = [ M] = [N] = 0,

т. е. правильный ответ 1). Ответ: 1.

Задача 11. Сколько различных решений имеет уравнение

(A B) (C D) (E F)] = 0,

гдеA, B, C, D, E, F — простые высказывания?

ВответененужноперечислятьвсеразличныенаборыA, B, C, D, E, F, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Решение. Применив определение дизъюнкции ([А В] = 0 только при [А] = 0, [В] = 0), раскрываем уравнение:

(A B)] = 0; [C D] = 0; [ (E F)] = 0.

Инвертируя отрицания, имеем: [A B] =1; [C D] =0; [E F] = 1.

Применив определение конъюнкции ([А ˄ В] = 1 только при [А] = 1, [В] = 1), определяем логические значения для простых высказываний:

[A] = 1; [B] = 1; [C D] = 0; [E] = 1; [F] = 1;

Следовательно, вариантыинтерпретациймогутвозникнутьтолькодля C и D, причем в соответствии с таблицей истинности для конъюнкции, вариантов 3.

Ответ: 3.

Задача12. Троедрузей, болельщиковавтогонок«Формула-1», Джон, Ник и Питер, спорили о результатах предстоящего этапа гонок.

—Вотувидишь, Шумахернепридетпервым, — сказалДжон. — Первым будет Хилл».

—Данетже, победителембудет, каквсегда, Шумахер, — воскликнул Ник. — А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым».

Питер, к которому обратился Ник, возмутился:

—Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную машину». По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей оказались неверны. Кто выиграл этап гонки?

26

Решение. Введем обозначения для логических высказываний: Ш = «Победит Шумахер»; Х = «Победит Хилл»; А = «Победит Алези».

Реплика Ника «Алези пилотирует самую мощную машину» не содержит никакого утверждения о месте, которое займет этот гонщик, поэтому в дальнейших рассуждениях мы его учитывать не будем.

Зафиксируем высказывания каждого из друзей: Джон: ¬ Ш Х, Ник: Ш ¬ А, Питер: ¬ Х

Учитывая то, что предположения двух из трех друзей подтвердились, апредположениетретьегооказалосьневерным, переберемвсевозможные варианты записи их предположений, объединим их дизъюнкцией и упростим построенное высказывание.

((¬ Ш Х) (Ш ¬ А) ¬ ¬ Х)˅ ((¬Ш Х) ¬(Ш ¬ А) ¬Х) ˅ (¬(¬ Ш Х) (Ш ¬ А) ¬Х) Ш˅¬Х˄Ш˄¬А˄¬Х Ш˄¬А˄¬Х

Самостоятельно разберите, каким образом проведены равносильные преобразования.

Высказывание [Ш ˄ ¬ А ˄ ¬ Х] = 1, если все конъюнкты принимают значение «истинно», а это возможно только при единственной интерпретации простых высказываний: [Ш] = 1, [А] = 0, [Х] = 0.

Ответ. Победителем рассмотренного этапа гонок стал Михаэль Шумахер.

Задача 1 3. ВсимфоническийоркестрМариинского театраприняли на работу трех музыкантов: Иванова, Зворыкина и Смирнова, умеющих играть на скрипке, английском рожке, альте, кларнете, гобое и трубе.

Известно, что:Зворыкин самый высокий;

играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте;играющие на скрипке и английском рожке, а также Иванов любят

пиццу;когдамеждуальтистомитрубачомвозникаетссора, Зворыкинмирит

их;

Иванов не умеет играть ни на трубе, ни на гобое.

На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя инструментами?

Решение. Составим таблицу и отразим в ней условия задачи, заполнивсоответствующиеклеткицифрами0 и1 взависимостиоттого, ложно или истинно соответствующее высказывание.

27

Посколькумузыкантовтрое, аинструментовшестьикаждыйвладеет только двумя инструментами, получается, что каждый музыкант играет на инструментах, которыми остальные не владеют.

Изусловия4 следует, чтоЗворыкиннеиграетнинаальте, нинатрубе, а из условий 3 и 5, что Иванов не умеет играть на скрипке, английском рожке, трубе и гобое. Следовательно, инструменты Иванова — альт

икларнет. Занесем это в таблицу, а оставшиеся клетки столбцов «альт»

и«кларнет» заполним нулями:

Из таблицы видно, что на трубе может играть только Смирнов.

Изусловий1 и2 следует, чтоЗворыкиннескрипач. Таккакнаскрипке не играет ни Иванов, ни Зворыкин, то скрипачом является Смирнов. Оба инструмента, на которых играет Смирнов, теперь определены, поэтому остальные клетки строки «Смирнов» можно заполнить нулями.

Из таблицы видно, что играть на английском рожке и на гобое может только Зворыкин.

Ответ: Иванов играет на альте и кларнете, Зворыкин — на английском рожке и гобое, Смирнов — на скрипке и трубе.

Задача 14. Студенты Вадим, Сергей и Михаил учатся на филологическомфакультетеМГУ, вкачествевторогоиностранногоязыкаизучают: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: «Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский». Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Решение. В условии задачи имеется три утверждения:А = «Вадим изучает китайский»;

B = «Сергей не изучает китайский»;С = «Михаил не изучает арабский».

Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно. Если верно второе утверждение, то первое и третьедолжны бытьложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Этопротиворечитусловию, поэтомувтороеутверждениетоже ложно.

28

Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными. Следовательно, Вадимнеизучаеткитайский, китайскийизучает Сергей.

Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский.

7.ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.Какие из следующих высказываний являются высказываниями. Какие из приведенных высказываний являются элементарными, а какие составными:

1) Луна — спутник Марса,

2) Студент юридического факультета,

3) Если дождь идет, то крыши мокрые,

4) а в.

2.Пусть А и В — простые высказывания:

А = «Преступник виновен» В = «Его вина доказана»

Прочтите следующие сложные высказывания:

3. Формализуйте следующие высказывания:

1)Если будет дождливое лето, то ни накупаться, ни загореть нам не удастся.

2)То флейта слышится, то будто фортепьяно.

3)Соли, которые не окрашены, есть суть соли, которые не являются органическими соединениями, или суть органические соединения, которые не окрашены.

4)Если мистер Смит счастлив, то миссис Смит несчастлива, и если мистер Смит несчастлив, то миссис Смит счастлива.

4. Пусть [А] = 0, [В] = 1, [С] = 1. Определите логические значения

5.Дана тождественно ложная функция Φ, [Φ] = Ʌ. Доказать, что

А˄ ¬ В ↔ Φ A → B.

6.Найти Φ, если ¬ (Φ ˅A) ˅ ¬ (Φ ˅ ¬ A) B.

7.Для какого из указанных значений числа X высказывание

((X < 5) → (X < 3)) ((X < 2) → (X < 1))

принимает значение «истинно»

1) 1, 2) 2, 3) 3, 4) 4 ?

29

8. Для какого из значений числа Z высказывание

9.Для какого минимального целого X истинно высказывание: X > 1 ((X < 5)→(X < 3))?

10.Для какого наибольшего целого X истинно высказывание: (X > 2) (X > 5)→(X < 3)?

11.Каково наименьшее целое положительное число X, при котором будет ложным высказывание: 4 > – (4 + X)·X)) → (30 > X·X)?

12.Каково наибольшее целое положительное число X, при котором истинно высказывание: ((X – 1) < X) → (40 > X·X)?

13.Каково наибольшее целое положительное число X, при котором высказывание: ((X + 6)·X + 9 > 0) → (X·X > 20) будет ложным?

14.Для какого символьного выражения неверно высказывание:

«Первая буква гласная» → ¬ («Третья буква согласная») 1) abedc, 2) becde, 3) babas, 4) abcab?

15. Для какого символьного выражения верно высказывание: ¬ («Первая буква согласная») ¬ («Вторая буква гласная») 1) abcde, 2) bcade, 3) babas, 4) cabab?

16. Для какого имени истинно высказывание:

¬ («Перваябуквасогласная» →«Последняябуквагласная») «Вторая буква согласная»

1) Ирина, 2) Степан, 3) Марина, 4) Иван?

17. Для какого имени истинно высказывание:

¬ («Перваябуквасогласная» →«Последняябуквасогласная») «Вторая буква согласная»

1) Ирина, 2) Степан, 3) Мария, 4) Ксения?

18. Для какого названия животного следующее высказывание принимает значение ложь:

«Заканчиваетсянасогласную» «Вслове7 букв» →¬ («Третьябуква согласная»)

1) верблюд, 2) страус, 3) кенгуру, 4) леопард?

19. Укажите значения простых высказываний K, L, M, N при которых логическое выражение (K → L) (M → N) принимает значение ложь

1) 0010, 2) 1011, 3) 1010, 4) 1111.

Ответ запишите в виде строки из 4 символов, содержащих значения простыхвысказыванийK, L, M иN (вуказанномпорядке). Так, например,

строка 1101 соответствует тому, что [K]=1, [L]=1, [M]=0, [N]=1.

30