Основы математического моделирования социально-экономических процессов. Учебное пособие

Министерство образования и науки Российской Федерации

Рязанский государственный радиотехнический университет

Н.И. ФЕДОТОВ, Ю.А. МЕРКУЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Учебное пособие

Рязань 2018

4

1.Определение цели моделирования: цели исследования и цели прогнозирования. Данный этап включает в себя:

определение цели;

обоснование объекта;

формулировку требований к исходной информации;

сбор информации об объекте и её анализ;

изучение исходных свойств моделируемого объекта;

разработку гипотез поведения объекта.

2.Построение модели экономической системы или процесса. По виду модели бывают:

физические (макет предприятия);

структурные (структурная схема управления);

функциональные (это модели, описывающие функции, которые выполняет система);

аналоговые (графики);

математические (это система представлений об объекте на формальном языке: формулы, алгоритмы);

имитационные (это модели, которые описываются формулами, но решить аналитически их нельзя, а нужно использовать специальные

случайные величины, и необходимо узнать распределение выходного параметра.

3.Анализ созданной модели. Данный этап позволяет сделать качественные и количественные выводы о характере социальноэкономического процесса или объекта. Качественный анализ выявляет неизвестные ранее свойства объекта, количественный анализ – соотношение различных характеристик объекта.

4.Проверка точности и адекватности модели. Методы проверки адекватности называются методами верификации. Самый простой метод – это проведение эксперимента на модели и объекте. Если полученные результаты совпадают, то модель адекватна. Но такой метод не всегда можно реализовать. Существует другой метод, когда используются две модели: простая рабочая модель и сложная теоретическая, которую на практике использовать дорого. Если обе эти модели дают одинаковые результаты с определенной степенью точности, то рабочая модель считается адекватной.

5.Использование модели должно иметь следствием совершенствование методов экономической теории и методов

5

управления экономическими процессами; получение определенного экономического эффекта.

микроэкономические и макроэкономические. Если модель на уровне предприятия и ниже – то это микромодель, если же, например, различные сектора, отрасли экономики – то макромодель;

по назначению: на нормативные (предписывающие) модели, цель которых заключается в оптимизации существенных для нас параметров системы, и дескриптивные (описательные). Цель дескриптивных моделей – описание структуры системы и её поведения;

по степени округления свойств моделируемого объекта: на нелинейные, линейные, динамические, статические, детерминированные, стохастические;

по сложности: на одноуровневые и иерархические;

по конструкции: на глобальные (например, национальная экономика) и локальные;

по соотношению переменных: на открытые и закрытые. Открытые модели характеризуются эндогенными (внутренними) и экзогенными (внешними) переменными, закрытые – только эндогенными переменными.

1.3. Классификация методов

Методы можно классифицировать следующим образом:

методы моделирования макропроцессов. К ним относятся

модели простого и расширенного воспроизводства , модели межотраслевого баланса, система национального счетоводства , производственные функции и т.д.;

экономико-статистические методы : корреляционный, регрессионный, дисперсионный, кластерный анализ, метод МонтеКарло, статистические игры;

исследование операций: математическое программирование, теории игр (аналитические, стратегические игры), теория управления запасами, теория массового обслуживания.

Сточки зрения использования моделей для принятия решений можно выделить:

1.Формализованные методы:

методы высшей математики;

6

методы математического программирования.

2. Методы использования опыта и интуиции руководителя (это субъективный подход, так как часто нельзя дать объективную оценку экономической ситуации):

методы экспертного опроса;

методы высшей математики;

метод сценариев;

метод деревьев целей;

методы генерирования вариантов: метод мозгового штурма, метод морфологического ящика.

3. Методы имитационного моделирования:

статистические;

динамические.

Тема 2. Статистические модели

2.1.Общая схема построения регрессионных (казуальных)

моделей.

2.2.Особенности построения корреляционнорегрессионных моделей.

2.3.Имитационные статистические модели.

2.1. Общая схема построения регрессионных (казуальных) моделей

Рассмотрим схему построения регрессионных моделей на примере построения прогнозной модели производительности труда.

Схема построения регрессионных моделей включает в себя следующие этапы:

1.Постановка задачи.

2.Сбор и систематизация статистической информации.

3.Статистическая оценка значимости факторов.

4.Построение эмпирических уравнений регрессии.

5.Построение однофакторных моделей.

6.Построение многофакторной модели.

7.Оценка адекватности регрессионной модели.

1. Постановка задачи.

Постановка задачи включает в себя чёткое определение цели создания модели и определение объекта моделирования.

Например, необходимо составить обоснованный прогноз по производительности труда на пять лет на одном из предприятий г. Рязани. Для этого рассмотрим количественные и управляемые факторы, которые влияют на производительность труда.

7

2. Сбор и систематизация статистической информации.

Назовём производительность труда результативным признаком и обозначим его Y, а показатели, от которых зависит производительность труда (фондовооруженность, энерговооруженность, коэффициент специализации и т.д.), - факторными признаками и обозначим Хj (j=1,2,…,n). В общем случае мы имеем набор признаков, каждый из которых может быть результативным.

На первом этапе сбора и систематизации информации производится экспертный анализ факторных признаков и формируется их максимальный перечень, т.е. в модель первоначально включаются все показатели, которые могут оказывать влияния на результативный признак.

На втором этапе производится сбор информации из документации предприятия (годовых балансов, квартальных отчетов и т.д.). При этом анализируется достоверность информации. Результаты оформляются в виде таблицы (табл. 1). По строкам откладываются точки выборки i от 1 до m, по столбцам – результативный и факторные признаки. Первый столбец - результативный признак, а последующие - факторные признаки. Точка выборки - год (квартал), предприятие, предприятие – год.

Таблица 1 – Результаты сбора статистической информации

у х1 х2 х3 .. .. .. хn

1

2

3

…

m

Например:

y- производительность труда, тыс. руб. на человека;

x1 - фондовооруженность, тыс. руб. на человека;

x2 - энерговооруженность, кВт на человека;

x 3 - коэффициент специализации в процентах.

3. Статистическая оценка значимости факторов или корреляционный анализ.

Максимальный перечень факторов, составленный на предыдущем этапе, может содержать факторные признаки, которые

8

слабо влияют на результативный признак и которые нецелесообразно включать в модель. Цель этапа заключается в выявлении таких факторных признаков.

Для оценки степени влияния двух случайных величин Х и Y друг на друга используется коэффициент парной корреляции:

Коэффициент парной корреляции изменяется в пределах от –1 до +1. Если rху > 0, то с ростом факторного признака результативный

признак возрастает; если rху < 0, то с ростом факторного признака результативный признак убывает. Если X и Y не связаны между собой, то коэффициент rху равен нулю.

Квадрат коэффициента корреляции rху2 называется коэффициентом детерминации и показывает долю изменчивости (дисперсии) результативного признака за счет изменения (дисперсии) факторного.

Для определения факторов, включаемых в модель, составляется матрица коэффициентов парной корреляции, оформляемая в виде таблицы. Данная матрица является симметричной,

т.е. rху= rух, и элементы главной диагонали равны 1, т.е. rхjxj=1, rуу=1. По строкам откладываются результативные и факторные признаки, по

столбцам – результативный признак.

В нашем примере получена табл. 2.

На первом шаге рассматриваются коэффициенты корреляции между результативными и факторными признаками ryxj. При этом задается граничное значение коэффициента корреляции (обычно при пяти – десяти факторах граничное значение выбирается равным 0,2÷0,3). Факторы, для которых ryxj 0,2 0,3 , в модель включаются,

9

остальные факторы не включаются. В нашем случае отбрасываем третий фактор.

Таблица 2 – Матрица коэффициентов парной корреляции

Выбор факторов, включенных в модель, производится в три шага.

На втором шаге для включенных в модель факторов рассматриваются коэффициенты парной корреляции между отобранными факторными признаками. Если рассматриваемый показатель превышает некоторое пороговое значение, например 0.8, то один из факторных признаков исключается. В модель включается фактор, у которого больше коэффициент корреляции с результативным признаком или который более значим для практического применения модели. В обратном случае оба фактора включаются в модель.

На третьем шаге проверяем соотношение между объемом выборки m и числом факторных признаков n. Эмпирическое правило: mn 5 .

4. Построение эмпирических уравнений регрессии

Для оценки характера влияния отобранных факторов на результативный признак строятся эмпирические уравнения регрессии. Для каждого факторного признака хj на графике наносятся точки с координатами (хij,уi). Для нашего примера строим зависимость у от хj. (рис. 1).

где Н - число интервалов.

10

полученные точки прямыми, получим эмпирическую линию регрессии, которая показывает характер влияния факторного признака на результативный (линейная или нелинейная зависимость, возрастающая или убывающая). Зная характер влияния, можно адекватно выбрать форму сглаживающей кривой (уравнения регрессии).

5. Построение однофакторных моделей.

Наиболее распространенной формой уравнения регрессии является линейная зависимость вида у=а0+а1х.

Построение модели заключается в определении а0 и а1, которые называются коэффициентами уравнения регрессии.

Для их нахождения используется метод наименьших квадратов (МНК). МНК используется для линейных зависимостей

(рис. 2).

Данный метод заключается в минимизации суммы квадратов отклонения фактических значений результативного признака от теоретических значений, т.е. в определении минимума функции: