Основы математического моделирования социально-экономических процессов. Учебное пособие

12

Введем обозначения y* =ln y, a*=ln a0 , x* =ln x и подставим их в выражение (8): у* = а0* +a1* х*.

6 Построение многофакторной модели.

Построение многофакторной модели начинается с выбора формы сглаживающей зависимости. Если среди эмпирических зависимостей преобладают линейные зависимости, то строится многофакторная линейная зависимость:

j 1

Если преобладают нелинейные зависимости, то и множественная регрессия будет нелинейной. Можно использовать в этом случае мультистепенную зависимость:

j 1

Расчет коэффициентов уравнений регрессии a0, aj производится методом наименьшим квадратов. При этом функция Z имеет вид:

Дифференцируя Z по a0, aj и приравнивая частные производные к нулю, получаем систему нормальных уравнений в матричной форме:

X' – транспонированная матрица Х;

А – вектор коэффициентов регрессии размерностью (n+1); Y – вектор результативного признака размерностью (m). Решая выражение (14) относительно А, получаем:

А=(X' X)-1∙ X' Y, где Х Х 1 - обратная матрица.

13

7. Оценка точности и адекватности регрессионной модели или дисперсионный анализ.

Для оценки точности и адекватности модели используют три

где n – число степеней свободы уравнения регрессии за вычетом связи,

накладываемой y .

Остаточная дисперсия D0 - показывает рассеяние случайной величины уi относительно уравнения регрессии:

m

yi f xi 2 . (18)

D0 i 1 m n 1

Остаточная дисперсия используется в качестве относительной характеристики точности модели - наилучшая модель имеет наименьшую остаточную дисперсию.

Для оценки точности модели используются следующие показатели.

1. Коэффициент множественной корреляции R. Существует несколько формул для расчета R.

Если остаточная дисперсия равна нулю, то коэффициент множественной корреляции равен единице, т.е. зависимость функциональная:

Если зависимость слабая, то под корнем может быть отрицательное число, поэтому на практике чаще используется выражение:

14

полученное при помощи правила сложения числителей и знаменателей дисперсий. Числитель Dy равен сумме числителей D0 и Dр:

изменчивости результативного признака, обусловленной всеми факторами, включенными в модель.

которая показывает, на сколько процентов расчетные значения в среднем отклоняются от фактических.

3. Доверительный интервал – это интервал средних значений yk, характеризующий пределы возможных значений yk. (рис. 3).

Для однофакторной линейной модели доверительный интервал определяется как

где α - уровень риска; 1-0,5α - доверительная вероятность;

m-2 – число степеней свободы остаточной дисперсии. Для многофакторной модели доверительный интервал

определяется как

y

x x

Рисунок 3 - Доверительный интервал

15

Оценить адекватность линейной модели можно с помощью критерия Фишера, или F-критерия. При этом учитывается, что

значение F-критерия сравнивается со 100(1-α)%-ной точкой, которой соответствуют (n, m-n-1) степени свободы. Индекс n соответствует числу степеней свободы для числителя и откладывается в левом столбце таблицы. Индекс m-n-1 соответствует числу степеней свободы для знаменателя и откладывается в верхней строке таблицы. Если F>Fтабл, то с вероятностью (1-α) можно считать, что результативный признак у линейно зависит от факторных x1, x2, …,хn.

2.2. Особенности построения корреляционнорегрессионных моделей

Классический регрессионный корреляционный анализ базируется на следующих предположениях:

интервал.

2.Все i точки выборки для j факторного признака должны быть взаимно не коррелированны. Если точки взаимно коррелированны, то это называется автокорреляцией, а ряд называется автокоррелированным. Для оценки степени автокорреляции

используется коэффициент автокорреляции ra 1 (сдвиг на один

уровень), который меняется от -1 до 1. Автокоррелированный ряд эквивалентен неавтокоррелированному с меньшим объёмом выборки

1 ra1

Уменьшение объёма выборки ведет к уменьшению числу степеней свободы D0 , а следовательно, ведет к увеличению

доверительного интервала и ухудшению точности модели.

3. Все признаки (результативные и факторные) должны быть количественными. Сравнение по качеству нескольких объектов между

16

собой производится с помощью ранжирования, т.е. объектам присваивается ранг. Первый ранг присваивается лучшему объекту, а последний худшему объекту. Для определения степени связи между ранжированными величинами используются коэффициенты ранговой корреляции. Например, коэффициент Спирмена:

ранжированных величин аналогом коэффициента множественной

Данный коэффициент применяется, например, для оценки согласованности мнения экспертов при обработке данных экспертного опроса, где m - число экспертов, n - число оцениваемых объектов. Если мнения экспертов совпадают, то коэффициент равен 1, если мнения экспертов прямо противоположны, то 0.

2.3. Имитационные статистические модели

Если аналитические зависимости (модели) можно решить в общем виде, то для статистических моделей это сделать нельзя, так как неизвестные параметры являются случайными величинами.

Пусть нам известен алгоритм или оператор F преобразования входных переменных X в выходные Y. Тогда имитационная модель определяется оператором F(X, Y, Z), где X – входные параметры; Y– выходные параметры; Z – случайные величины постороннего воздействия (рис. 4).

z

Рисунок 4 - Схема имитационной модели

Будем считать, что нам известно распределение случайных величин x и z. При помощи датчика случайных чисел в каждом опыте мы получаем конкретное значение вектора X и Z. Зная эти значения, при помощи оператора или алгоритма F их можно преобразовать в

17

конкретное значение Y. При проведении множества опытов на выходе получается статистическая совокупность из m элементов, где m – это количество опытов.

Таким образом, результат моделирования представляет собой описание статистической совокупности в виде ряда распределения и его характеристик, таких как дисперсия, мода, квантили, эксцесс, коэффициент асимметрии, средние значения.

При использовании датчика случайных чисел необходимо учесть, что в большинстве языков программирования применяется закон равномерной плотности. Поэтому для получения любого другого закона необходимо воспользоваться следующим методом (рис. 5).

На ординате графика функции распределения F(x) откладываем значение случайной величины а, полученной при использовании закона равномерной плотности. Тогда соответствующая ей абсцисса ха и будет представлять искомую случайную величину (рис. 5).

Если для закона распределения аналитически можно найти обратную функцию, то случайная величина ха получается из обратной функции.

Имитационная статистическая модель может использоваться для оценки эффективности и риска инвестиционного проекта. В данной модели имитационного моделирования инвестиционный процесс может быть представлен как некоторая последовательность этапов, имеющая не единственное конечное событие. В качестве основы модели используется дерево решений. В качестве входного параметра х используются различные показатели, которые имеют случайный характер. В качестве выходного параметра у используется NPV, где NPV – чистый дисконтированный доход:

где CFt – денежный поток в период времени t; t - количество периодов дисконтирования;

r – ставка дисконтирования.

По распределению NPV можно определить риск, то есть вероятность отрицательной величины NPV, и показатели: среднее значение, дисперсию, моду, квантили, эксцесс, коэффициент асимметрии.

18

F(x)

a

Рисунок 5 –Графическая иллюстрация получения случайной величины, распределенной по любому закону

Тема 3. Модели национальной экономики

3.1.Система национального счетоводства.

3.2.Модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева).

3.1. Система национального счетоводства

Система национального счетоводства (СНС) представляет собой глобальную модель национальной экономики, базирующуюся на основном макроэкономическом показателе ВВП и на трех методах его расчёта.

Методы расчета ВВП:

1)производственный;

2)распределительный;

3)метод конечного использования.

Методы расчёта ВВП соответствуют жизненному циклу продукции: производство, распределение, использование.

Суть первого метода заключается в том, что ВВП = ВВ – ПП, где ВВ - это валовой выпуск или то, что производится, ПП - промежуточное потребление или то, что используется для дальнейшего производства.

Суть второго метода заключается в том, что ВВП = ЗП+Пр+Ам, где ЗП– зарплата, Пр - прибыль,

Ам - амортизация.

Суть третьего метода заключается в том, что ВВП= ВС+КП, где ВС - валовое сбережение, КП – конечное потребление.

19

В основе СНС как модели учета лежит концепция хозяйственного кругооборота. Национальное хозяйство рассматривается как система, стержнем которой является экономический оборот: производство, потребление, накопление, перераспределение.

Основными элементами оборота являются:

1)объекты (продукты, услуги, деньги);

2)субъекты (хозяйственные единицы);

3)экономические операции, представляющие собой движение

объектов между субъектами, т.е. это операции с продуктами и услугами, распорядительные, финансовые операции и операции с капиталом.

Таким образом, СНС - это адекватный национальный учет рыночной экономики, завершаемый на макроэкономическом уровне системой взаимосвязанных статистических показателей, построенных в виде определенного набора счетов и балансовых таблиц, характеризующих результаты экономической деятельности, структуру экономики и важнейшие взаимосвязи в национальном хозяйстве.

Основная задача СНС - это наблюдение за финансоводенежными отношениями или потоками.

В модель национального счетоводства входят основные понятия СНС:

институциональная единица – это хозяйствующий субъект,

являющийся резидентом, который может от своего имени владеть активами, принимать на себя обязательства и заниматься хозяйственной деятельностью и операциями с другими единицами;

заведение – это экономическая единица, находящаяся в одном месте и относительно однородная с точки зрения производимой продукции, оказания услуг, применяемой технологии и структуры затрат; от которой может быть получена на практике информация. В качестве заведения может выступать либо предприятие, если оно достаточно однородно, либо отдельное подразделение предприятия, отвечающее приведенному выше определению;

экономическая территория страны – территория,

административно-управляемая Правительством данной страны, в пределах которой люди, товары и деньги могут свободно перемещаться, включая свободные и оффшорные зоны на территории страны. К экономической территории относятся: географическая территория страны, воздушное пространство, территориальные воды, часть континентального шельфа в территориальных водах, в пределах которого страна осуществляет исключительные права;

20

резидентами данной страны называют юридические или физические лица, проживающие на территории данной страны больше года, если центр их экономических интересов связан с экономической территорией страны.

Кроме основных понятий, в модель входят:

классификация секторов;

классификация активов и пассивов;

классификация счетов СНС (секторальные, отраслевые, консолидированные);

таблицы ресурсов и использования продуктов и услуг;

таблицы «Затраты – выпуск» или межотраслевые балансы;

модели межотраслевого баланса.

Для того чтобы упорядочение в рамках СНС различных

данных об экономических операциях и хозяйствующих субъектах было наиболее эффективным и обеспечивало выявление макроэкономических закономерностей и взаимосвязей, оно должно опираться на некоторые концепции.

Концепции СНС

1. Концепция производства. Она определяет границы экономического производства, т.е. сферы, где происходит производство ВВП и создание НД. Согласно концепции, экономическое производство включает следующие виды

деятельности:

1) производство продуктов, включая продукты для собственного потребления;

2) производство услуг для реализации, деятельность финансовых посредников (банки, инвестиционные фонды, страховые компании).

2. Концепция дохода. Она определяет экономическое содержание категории «доход». Согласно концепции, доход представляет собой максимальную сумму денег, которую можно израсходовать на покупку потребительских благ и услуг, не делая при этом себя беднее. Вводится две категории доходов:

первая категория охватывает регулярный, предвиденный поток поступлений (лат. ex-ante);

вторая категория охватывает поток фактических поступлений

(лат. ex-post).

Принципы построения СНС: основной принцип построения СНС - это схема двойного учета (учитывается приход и расход). В СНС это называется «ресурсы и использование». Итог по ресурсам должен быть равен итогу по использованию, если равенство