Основы математического моделирования социально-экономических процессов. Учебное пособие

21

отсутствует, то вводится балансирующая статья. Для того чтобы система регистрации операции на счетах была интегрированной, необходимо соблюдать как бюджетное тождество, так и тождество операций. Бюджетное тождество заключается в следующем: в определенный период сумма поступившего потока денег должна быть равна сумме израсходованных денег. Итог по операциям, отражаемым как ресурсы или изменения в пассивах, должен быть равен итогу по операциям, отражаемым как использование или изменение в активах. Тождество операции заключается в том, что каждая операция в СНС должна отражаться дважды (с одной стороны, как ресурс или изменение в пассивах, с другой – как использование или изменение в активах).

В СНС существует четкая классификация счетов:

1)счета для секторов экономики;

2)счета для отраслей экономики;

3)счета для экономики в целом (консолидированные счета).

Основными являются секторальные счета, которые

делятся:

на счет производства;

счет образования доходов;

счет первичного распределения доходов;

счет вторичного распределения доходов;

счет перераспределения доходов в денежной форме;

счет использования располагаемого дохода в денежной форме;

счет перераспределения доходов в натуральной форме;

счет использования скорректированного располагаемого

дохода;

счет продуктов и услуг;

счет операций с капиталом;

финансовый счет;

счета прочих изменений в активах и пассивах.

Все счета СНС взаимосвязаны: балансирующая статья из

предыдущего счета использования переходит в статью ресурсы последующего счета.

Счет производства предназначен для описания и анализа результатов производства. Счёт основан на производственном методе расчета ВВП. Данный счет представляет конечный результат производственной деятельности резидентных единиц производителей. ВВП является балансирующей позицией счета. Счет образования доходов отражает распределительные операции, непосредственно связанные с процессом производства. При составлении базируется на

22

распределительном методе расчёта ВВП. Данный счет дополняет информацию счета производства и дает возможность проанализировать уровень оплаты труда по отраслям и секторам экономики. В качестве балансирующей статьи выступает валовая прибыль (валовой смешанный доход), которая переходит в статью ресурсы последующего счета. Счет распределения доходов отражает распределение и перераспределение доходов на уровне страны в целом с учетом отношений с другими странами. Счёт основан на распределительном методе расчета ВВП. Балансирующей статьей,

которая переходит в счёт использования располагаемого дохода,

является валовой располагаемый национальный доход. Данный счет отражает расходы на конечное потребление домашних хозяйств, государственных учреждений и негосударственных некоммерческих организаций, обслуживающих домашние хозяйства. Счёт базируется на методе конечного использования ВВП. Валовое сбережение является балансирующей статьей. Счет капитальных затрат показывает формирование ресурсов для капитальных затрат и их использование на накопление основных фондов и материальных оборотных средств, приобретение земли, нематериальных и материальных активов. Балансирующей статьей, которая переходит в статью ресурсы счета продуктов и услуг, является валовое накопление основных фондов. Счет продуктов и услуг является сводным счетом системы и характеризует общие ресурсы продуктов и услуг по экономике в целом. Этот счет балансируется по определению и поэтому не имеет остатка или балансирующей позиции. Все показатели переносятся в счет продуктов и услуг из других счетов системы. Счет капитальных затрат отражает внешнеэкономические операции, касающиеся основных и оборотных средств нематериальных активов. Чистые кредиты или чистые долги являются балансирующей статьей. Финансовый счет показывает изменение финансовых активов и пассивов России с точки зрения внешнеэкономических партнеров. В ресурсной части счета указываются чистые кредиты или чистые долги из предыдущего счета.

Таким образом, взаимосвязанная совокупность всех счетов как модель отражает жизненный цикл продукции, связанной с процессами производства, распределения и использования.

3.2. Модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева)

Межотраслевой баланс состоит из 3 квадрантов (рис. 6):

Первый квадрант отображает промежуточное потребление; второй квадрант отображает вектор конечной продукции и

представляет собой метод конечного использования ВВП;

aij - коэффициент прямых затрат, показывающий, сколько продуктов i-ой отрасли требуется для производства единицы продукции j-ой отрасли.

Свойства коэффициента прямых затрат:

Это утверждение следует из неотрицательности величин xij и положительности валовых выпусков Xj.

2. Сумма элементов матрицы A любого ее столбца меньше или

m

равна единице, т.е. aij 1 , i 1,2...n .

i 1

24

Для доказательства данных свойств разделим обе части

Использование модели

Разрешая выражение (28) относительно Y, получаем

потребность в валовом выпуске i-ой отрасли для производства одной единицы конечной продукции j-ой отрасли. При использовании выражения (32) задаемся ВВП и находим показатель ВВ, необходимого для создания ВВП.

Модель позволяет создавать обоснованные планы, это видно на примере динамической модели, которую можно использовать для прогнозированного развития экономики. Динамическая модель получается из статической модели путём разделения Y на потребление и накопление:

идущей на потребление;

m

cij x j - доля конечной продукции, идущей на накопление;

j 1

x j - прирост продукции i-ой отрасли, обусловленный накоплением;

25

cij - коэффициент капитальных вложений, показывающий, сколько продукции i-й отрасли должно быть вложено в j-ю отрасль для увеличения ее производственной мощности на единицу.

Динамическая модель в матричной форме представляет собой рекуррентное уравнение, методом решения которого является метод итераций:

где t – период времени.

Тема 4. Имитационные динамические модели

4.1.Модели ограниченного роста.

4.2.Динамическая модель муниципального образования.

4.1. Модели ограниченного роста

Модели ограниченного роста были представлены в докладе «Теория ограниченного роста». Модели называются "Мир 1", "Мир 2", "Мир 3". Это пример динамических имитационных моделей. Основу моделей представляет разработанный Форестером метод, который он назвал методом системной динамики. Для описания этих моделей был создан специальный язык «Динамо».

Все переменные модели делятся на 2 категории: уровни и темпы, которым в экономике соответствуют, согласно СНС, запасы и потоки, а в статистике – моментные и интервальные показатели.

Основой модели является дифференциальное уравнение первого порядка:

где L – уровень;

Lt ' – производная по t;

t – шаг времени или временной шаг.

Вмоделях выделяются пять уровней:

1) численность населения – P;

26

2)общий объем инвестиций в у.е. (общий объем капитальных вложений) – К;

3)глобальный запас природных ресурсов в у.е. – R;

4)удельный вес с/х в общем объеме инвестиций (доля капитальных вложений в с/х) – S;

5)степень загрязненности окружающей среды в у.е. – Z.

Для каждой из названных эндогенных переменных в модели отведен свой блок. Входы и выходы блоков связаны между собой. В модели используются обратные связи.

Качественно работу модели можно описать следующим образом: истощение природных ресурсов вызывает повышение цен на сырье, что ведет к снижению инвестиций и падению производства, вместе с тем загрязнение окружающей среды способствует снижению уровня жизни и численности населения.

Согласно Медоузу, главные факторы, ограничивающие экономический рост, – это ограниченный объем производимого продовольствия и невоспроизводимых природных ресурсов, а также загрязнение окружающей среды в результате производственнотехнической деятельности.

Математически модель Форестера – Медоуза представляет собой системы дифференциальных уравнений первого порядка в конечных разностях, описывающих изменения во времени пяти основных переменных: P, R, K, S, Z. Форестер назвал эти уровни резервуарами.

Системы уравнений

27

Эти коэффициенты определяются как нормативные коэффициенты, умноженные на корректирующий множитель, который отражает воздействие на рождаемость и смертность, уровень жизни, плотность населения, питание, загрязнение окружающей среды. Эти зависимости (корректирующие множители) получаются из уравнений регрессии, построенных по ретроспективным статистическим данным.

где MPS – предельная склонность к накоплению, зависящая от уровня жизни;

Aнорм – нормативный коэффициент загрязнения.

3.Относительное загрязнение Z.

dt

G t pt Gнорм Qtk ,

где Qtk – множитель, характеризующий зависимость загрязнения от объема основных фондов К,

где τt – время разложения загрязнения.

4.Доля инвестиций в с/х S:

где S f – доля средств в с/х, определяемая уровнем питания;

Ts – время задержки (лаг), которое составляет примерно лет 15; Sq – доля инвестиций в зависимости от качества жизни;

Sq характеризуется четырьмя факторами:

материальный уровень жизни;

количество продовольствия на долю населения;

плотность населения;

уровень загрязнения окружающей среды.

где Tt 1 – годовой объем расходов невоспроизводимых ресурсов;

где Tн о р м – нормативное потребление ресурсов на человека в год;

Rур няt – множитель зависимости добычи ресурсов от материального уровня жизни, который задается таблично. Зависимость прямая.

Усовершенствования

Сектор населения делится на четыре возрастные

группы:

до 15 лет;

от 15 до 44 лет;

от 45 до 64 лет;

старше 65 лет.

Для учета рождаемости используется математическая модель,

вкоторой общий коэффициент плодовитости зависит от максимальных возможностей плодовитости, биологической плодовитости с учетом ожидаемой продолжительности предстоящей жизни, объема производства на душу населения и ожидаемого дохода семьи. Весь блок населения включает 15 секторов, связанных между собой.

29

Капитал. Производится декомпозиция ВВП на 4 компоненты: услуги, промышленный выпуск, продовольствие, ресурсы. На четыре компоненты делятся и инвестиции. Промышленный выпуск определяется на основе производственной функции с учетом затрат на добычу ресурсов и наличия рабочей силы.

Сектор невоспроизводимых ресурсов. Ежегодное потребление этих ресурсов моделируется как функция численности населения и уровня индустриализации.

Сектор загрязнения. Общий прирост загрязнения определяется как сумма двух видов: промышленного загрязнения и с/х, которые

, меняющийся от 0 до 1, и

характеризующий действия очистных сооружений.

В секторе с/х учитываются процессы деградации и дегенерации почвы, влияние интенсификации с/х производства на среднюю урожайность. Начальные условия – показатели за 1900 год. Эта модель создаваласьв 70-е гг. По модели был сделан прогноз: если тенденции с 60-70 годов, то возникнет кризис.

Врезультате моделирования были выработаны следующие рекомендации:

стабилизировать численность населения (к рекомендациям прислушался только Китай, где осуществляется программа ограничения численности населения);

промышленный капитал должен стабилизироваться с 90-х гг. (резко снизилось энерго- и ресурсопотребление);

потребление ресурсов на душу населения должно снизиться до уровня, который был в 70-е гг. (постоянно ищутся ресурсосберегающие технологии);

загрязнение должно снизиться по сравнению с загрязнением в 70-е гг. в 4 раза;

средний срок службы капитала должен увеличиться в 1,5 раза.

4.2. Динамическая модель муниципального образования

Динамическая модель Форрестера может применяться не только к глобальной экономике, но и к объектам муниципального образования.

Основой модели является дифференциальное уравнение первого порядка

30

dF

dX

– поток;

С – начальное состояние.

Особенность модели заключается в том, что в основе модели муниципального образования лежат предпосылки о взаимосвязи населения, предприятий и жилищного фонда.

Уровни модели муниципального образования

1-й уровень – экономически активное население:

1)не полно занятое население;

2)занятое население;

3)менеджерыпрофессионалы. 2-й уровень – предприятия:

1)новые предприятия;

2)развитые предприятия;

3)предприятия, пришедшие в упадок. 3-й уровень – жилищный фонд:

1)доходный жилищный фонд;

2)сверхдоходный жилищный фонд;

3)дешевый жилищный фонд.

Тема 5. Модели линейного программирования

5.1. Общая задача линейного программирования.

5.2. Исходная или прямая задача линейного программирования.

5.3. Двойственная задача линейного программирования.

5.4. Транспортная задача.

5.5. Применение транспортной задачи в организации городского хозяйства.

5.6. Задача целочисленного программирования.

5.7. Задача динамического программирования.

5.8. Задача нелинейного программирования.

5.1. Общая задача линейного программирования

Ограничения: