П. В. Москалев В. П. Шацкий
Основы
математического моделирования в системе Maxima
Учебное пособие для студентов агроинженерного факультета по направлению 35.03.06 –– «Агроинженерия»
Основы математического моделирования Система компьютерной математики Maxima Элементы вычислительной математики Моделирование в приложениях
Воронеж
2015
УДК 519.673+682
Москалев, П. В.
Основы математического моделирования в системе Maxima: учеб. пособие для студентов агроинженерного ф-та по направлению 35.03.06–– «Агроинженерия» / Москалев П. В., Шацкий В. П.; Воронеж. гос. аграр. ун-т.–– Воронеж: ВГАУ, 2015.–– 70 с.
Учебное пособие предназначено для студентов агроинженерного факультета, обучающихся по направлению 35.03.06–– «Агроинженерия». В пособии кратко излагается теоретический материал по основам математического моделирования и методам вычислительной математики, а также приводятся примеры решений прикладных задач математического моделирования с применением свободной системы компьютерной математики Maxima. Все примеры, рассмотренные в настоящем пособии, содержат листинги программ, которые могут быть использованы в учебном процессе.
Рецензенты:
Заведующий кафедрой общей физики Воронежского государственного университета, д.ф.-м.н., проф. Клинских А. Ф.
Профессор кафедры прикладной математики и математических методов в экономике Воронежского государственного аграрного университета, д.т.н., проф. Буховец А. Г.
©ФГБОУ ВО «Воронежский государственный аграрный университет имени императора Петра I», 2015.
©П. В. Москалев, В. П. Шацкий, 2015.
Оглавление
Глава 1. Основы математического моделирования |
5 |
1.1. Содержательные математические модели . . . . . . . . . |
6 |
1.1.1. Классификация содержательных моделей . . . . . . |
6 |
1.2. Формальные математические модели . . . . . . . . . . . . |
8 |
1.2.1. Законы сохранения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
8 |
1.2.2. Вариационные принципы . . . . . . . . . . . . . . . . |
10 |
1.2.3. Элементы теории размерностей . . . . . . . . . . . . |
11 |
1.3. Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
15 |
Глава 2. Система компьютерной математики Maxima |
16 |
2.1. Основы работы с системой Maxima . . . . . . . . . . . . . |
16 |
2.1.1. Установка и запуск системы Maxima . . . . . . . . . |
17 |
2.1.2. Графический интерфейс wxMaxima . . . . . . . . . . |
18 |
2.1.3. Справочная информация в wxMaxima . . . . . . . . |
19 |
2.1.4. Сохранение данных и управление wxMaxima . . . . |
19 |
2.2. Основные возможности системы Maxima . . . . . . . . . |
20 |
2.2.1. Скалярные выражения . . . . . . . . . . . . . . . . . |
20 |
2.2.2. Векторные и матричные выражения . . . . . . . . . |
21 |
2.2.3. Функции и управляющие структуры . . . . . . . . . |
23 |
2.3. Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
24 |
Глава 3. Элементы вычислительной математики |
26 |
3.1. Основы теории погрешностей . . . . . . . . . . . . . . . . |
26 |
3.1.1. Абсолютная и относительная погрешности . . . . . . |
27 |
3.1.2. Погрешности основных операций . . . . . . . . . . . |
27 |
3.2. Численное решение нелинейных уравнений . . . . . . . . |
28 |
3.2.1. Локализация корней уравнения . . . . . . . . . . . . |
29 |
3.2.2. Метод бисекции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
30 |
3.2.3. Метод простой итерации . . . . . . . . . . . . . . . . |
32 |
3.2.4. Метод касательных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
34 |
3.3. Методы численного интегрирования . . . . . . . . . . . . |
36 |
3.3.1. Метод прямоугольников . . . . . . . . . . . . . . . . . |
37 |
3.3.2. Метод трапеций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
40 |
3.3.3. Метод парабол . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
42 |
3.4. Численное решение задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . |
44 |
3.4.1. Метод Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
45 |
4 |
Оглавление |
|
|
3.4.2. Метод Эйлера–Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
47 |
|
3.4.3. Методы Рунге–Кутты . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
50 |
|
3.5. Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
52 |
Глава 4. Моделирование в приложениях |
54 |
|
|
4.1. Падение тела с учётом сопротивления воздуха . . . . . . |
54 |
|
4.2. Колебания маятника с учётом силы трения . . . . . . . . |
56 |
|
4.3. Полёт тела с учётом сопротивления воздуха . . . . . . . |
59 |
Литература |
62 |
|
Приложение А. Листинги программ |
63 |
|
|
А.1. Численное решение нелинейных уравнений . . . . . . . . |
63 |
|
А.1.1. Локализация корней уравнения . . . . . . . . . . . . |
63 |
|
А.1.2. Метод бисекции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
63 |
|
А.1.3. Метод простой итерации . . . . . . . . . . . . . . . . |
63 |
|
А.1.4. Метод касательных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
64 |
|
А.2. Методы численного интегрирования . . . . . . . . . . . . |
64 |
|
А.2.1. Метод прямоугольников . . . . . . . . . . . . . . . . . |
64 |
|
А.2.2. Метод трапеций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
65 |
|
А.2.3. Метод парабол . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
65 |
|
А.3. Численное решение задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . |
65 |
|
А.3.1. Метод Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
65 |
|
А.3.2. Метод Эйлера–Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
66 |
|
А.3.3. Метод Рунге–Кутты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
67 |
|
А.4. Моделирование в приложениях . . . . . . . . . . . . . . . |
67 |
|
А.4.1. Падение тела с учётом сопротивления воздуха . . . |
67 |
|
А.4.2. Колебания маятника с учётом силы трения . . . . . |
68 |
|
А.4.3. Полёт тела с учётом сопротивления воздуха . . . . . |
68 |
Глава 1
Основы математического моделирования
Физическим моделированием называется процесс замещения реально существующих объектов или процессов моделями, имеющими физическую природу, имитирующими их определённые характеристики и пригодными для изучения физическим методами с целью получения новой информации об свойствах исследуемых объектов или процессов.
Математическим моделированием называется процесс замещения реально существующих объектов или процессов моделями, имеющими абстрактную природу, имитирующими их определённые характеристики и пригодными для изучения математическими методами с целью получения новой информации о свойствах исследуемых объектов или процессов.
В настоящее время процесс математического моделирования принято подразделять на три основных этапа [1]:
а) на первом этапе существенные для исследования свойства объекта или процесса записываются в форме математической модели, пригодной для изучения теоретическими методами и позволяющей определить искомые величины;
б) на втором этапе математическая модель трансформируется к форме алгоритмической модели, удобной для применения численных методов и позволяющей определить искомые величины с требуемой точностью;
в) на третьем этапе алгоритмическая модель трансформируется к форме компьютерной модели, пригодной для исполнения на существующей вычислительной технике и позволяющей определить искомые величины с требуемой точностью при допустимых затратах ресурсов.
В результате описанных трансформаций формируется триада «модель –– алгоритм –– программа», которая даёт в руки грамотного