Основы математического моделирования социально-экономических процессов. Учебное пособие

31

j 1

где aij - технологические коэффициенты;

задача целочисленного программирования – когда xj является целым числом. Некоторые задачи можно решить при помощи метода Гомори;

задача нелинейного программирования – когда зависимость нелинейная. Некоторые задачи можно решить при помощи метода множителей Лагранжа;

задача динамического программирования – когда модель представляет собой пошаговый процесс. Некоторые задачи можно решить при помощи метода Беллмана.

5.2. Исходная или прямая задача линейного программирования

Исходная или прямая задача линейного программирования формулируется следующим образом.

Целевая функция:

j 1

Ограничения, записанные в виде неравенств, приводятся к общему виду путем введения дополнительных переменных.

32

Общий принцип решения задачи линейного программирования заключается в поэтапном переходе от исходного варианта плана к оптимальному. При этом возможны два способа перехода. Первый способ состоит в том, что в качестве исходного варианта плана принимается неоптимальный, но допустимый. На этом принципе основаны все универсальные методы решения. Наибольшее распространение из них получили симплекс-метод и его разновидности (модифицированный, двойственный). Второй способ поиска оптимального варианта заключается в том, что за исходный план принимается оптимальный, но недопустимый план. Переход к допустимому варианту осуществляется путем последовательного сокращения неувязок. Этот способ используется для решения некоторых специфических задач линейного программирования.

При решении данной задачи возможны следующие результаты:

1)условия задачи несовместны (система не имеет неотрицательных решений);

2)неотрицательные решения имеются, но экстремума нет (целевая функция стремится к бесконечности);

3)задача имеет множество решений (множество оптимальных

планов);

4)задача имеет единственное решение, допустимое и оптимальное.

Первый и второй варианты возможны при неправильной экономической постановке задачи или при наложении слишком жестких ограничений.

5.3. Двойственная задача линейного программирования

Любой задаче линейного программирования, называемой исходной или прямой, можно поставить в соответствие другую задачу, которая называется двойственной или сопряженной. Обе эти задачи образуют пару двойственных (или сопряженных) задач.

j 1

Тогда двойственная по отношению к ней задача в общем виде:

i 1

Рассмотрим упрощенный вариант задачи оптимизации производственной программы. Пусть предприятие выпускает j=1,2,…,n видов приборов. Цена каждого прибора Uj (руб), выпуск xj (шт.). При производстве j-го прибора затрачивается aij кг i-го материала. Общие запасы материальных ресурсов составляют Bi

(i=1,2,…,m).

Исходная задача будет иметь вид:

j 1

Для этого же предприятия можно сформулировать и двойственную задачу. Требуется найти такие оценки ресурсов i

(руб/кг), которые обеспечили бы минимум общего расхода ресурсов в стоимостном выражении, а затраты на производство каждого вида продукции не были бы меньше его цены .

задача (56) является задачей на максимум, а двойственная (58) – задачей на минимум. Параметры целевой функции исходной задачи являются ограничением двойственной задачи. Матрица

коэффициентов расхода ресурсов aij исходной задачи

транспонируется в двойственной задаче. Переменная i называется оценками, или учетными, неявными ценами ресурсов.

34

При решении исходной и двойственной задач используются следующие теоремы двойственности:

1. Если исходная и двойственная задачи имеют допустимое решение, то они имеют и оптимальное решение, причем для экстремальных значений линейных функций выполняется соотношение

2.Для того чтобы допустимое решение исходной задачи было оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы была такая матрица, которая обеспечивала бы выполнение условия равенства экстремумов.

3.Двойственная оценка i-го ограничения (множитель Лагранжа) представляет собой частную производную целевой функции исходной задачи по правой части соответствующего ограничения:

показывает, насколько изменится значение целевой функции при изменении правой части i-го ограничения на малую единицу.

На основе теорем двойственности можно сформулировать свойства двойственных оценок.

n

Свойство 1. Если aij x j bi то есть i-й ресурс потребляется

i 1

если суммарная оценка больше цены, то изделие убыточно и не выпускается.

35

есть товарная продукция равна оценке израсходованных ресурсов (предприятие работает неубыточно). В неоптимальном плане

предприятие работает с убытком.

5.4. Транспортная задача

Транспортная задача является разновидностью линейной задачи математического моделирования. Имеется m пунктов производства однородного продукта и n пунктов потреблений. Известны затраты по перевозке продуктов. Необходимо привязать поставщиков к потребителям, чтобы минимизировать затраты.

где cij - затраты по перевозке единицы продукта;

xij - количество продукта, перевозимое из пункта i в пункт j.

В качестве ограничений используют:

n

1) xij Ai - нужно полностью использовать возможности каждого

37

Целевая функция будет иметь вид:

m n

cij xij min - общие затраты по перевозке ТБО,

i 1 j 1

где cij - затраты по перевозке ТБО;

xij - количество ТБО, перевозимое из i-го микрорайона на j-й

полигон.

В качестве ограничений используют:

m

xij Ai - из i-го микрорайона должен быть полностью вывезен

j 1

мусор,

где Ai – количество ТБО, производимое i-м микрорайоном;

n

xij B j - каждый j-й полигон должен быть заполнен,

i 1

где Bj - количество ТБО, принимаемого j-м полигоном.

2. Привязка маршрутов общественного транспорта к транспортным депо.

Транспортное депо представляет собой комплекс зданий и сооружений на огражденной территории. Здания предназначены для хранения, технического обслуживания и текущего ремонта подвижного состава.

Пусть имеется m депо, каждое из которых может вместить Ai троллейбусов, и n маршрутов по Bj троллейбусов на каждом.

Тогда целевая функция будет иметь вид:

m n

cij xij min - общий холостой ход до конечной остановки,

i 1 j 1

где cij – затраты по перемещению троллейбуса j-го маршрута i - го депо на конечную остановку;

xij - количество транспортных единиц j-го маршрута в i-м депо.

В качестве ограничений используют:

j 1

где Ai – количество транспортных единиц в i-м депо.

38

i 1

где Bj - количество транспортных единиц, необходимых для перевозки по j-му маршруту.

5.6. Задача целочисленного программирования

В некоторых случаях в задачу математического программирования вводятся дополнительные условия, и это приводит к необходимости использования специального математического аппарата – целочисленного программирования.

К наиболее распространенным задачам, решаемым методами целочисленного программирования, относятся:

1)задачи использования оборудования (размещения производства);

2)задачи определения оптимального размера партии деталей;

3)задачи выбора оптимального варианта типа «да – нет»;

4)комбинаторные оптимизационные задачи.

Методы решения задач целочисленного программирования:

1)методы отсечения;

2)методы возврата.

Наиболее распространенным из первой группы методов является метод Гомори. Суть метода заключается в первоначальном решении задачи линейного программирования, то есть нахождения нецелочисленного оптимального решения. Затем вводится дополнительное ограничение на целочисленность и задача снова решается методом линейного программирования до тех пор, пока не будет получено целочисленное решение. Решения ищутся симплексным методом.

Наиболее распространенным из второй группы методов является метод ветвей и границ, который используется для решения частично целочисленных задач.

5.7. Задача динамического программирования

Динамическое программирование представляет собой математический аппарат для оптимального планирования многошаговых управляемых процессов, зависящих от времени. Процесс называется управляемым, если можно влиять на ход его развития. При управлении процессом исходят из интересов всего процесса в целом, то есть при принятии решения на отдельном этапе необходимо иметь в виду конечную цель.

Типичные задачи динамического программирования:

39

1) задача производства и хранения;

2) задача оперативно-календарного планирования;

3)задача замены оборудования;

4)задача распределения капитальных вложений.

Все эти задачи имеют ряд отличительных свойств:

1) рассматривается процесс функционирования систем во времени или по этапам;

2)состояние системы в каждый момент однозначно определяется числовыми значениями исходного набора параметров;

3)если система находится в некотором состоянии, то ее поведение определяется этим состоянием и выбираемой стратегией и не зависит от предыстории.

Выбор оптимального варианта методами динамического программирования производится с учетом будущих последствий. Исключение составляет последний шаг, который является статическим процессом. Поэтому процесс динамического программирования начинается с последнего шага. Для этого делаются различные предположения о том, чем кончился предшествующий шаг, и по каждому из них выбирается оптимальная стратегия.

Этот процесс повторяется до первого шага, где гипотез делать не надо, то есть известно начальное состояние системы. Процедура поэтапного решения записывается в виде динамического рекуррентного соотношения (функциональное уравнение Беллмана):

где Fn (i) - функция, характеризующая состояние системы в момент i за n шагов до окончания процесса;

fn 1 ( j) - функция, характеризующая состояние системы в момент j за n-1 шаг до окончания процесса;

Cij - выигрыш (макс) или издержки (мин), связанные с переходом из состояния i в состояние j.

5.8. Задача нелинейного программирования

Если целевая функция или система ограничений общей задачи оптимального программирования не являются линейными многочленами, то она решается методами нелинейного программирования.

При решении задач нелинейного программирования хорошие результаты в некоторых случаях дает метод множителей Лагранжа.

40

Для применения данного метода система ограничений приводится к следующему виду:

i (x1, x2 ,..., xn ) 0 .

первыми частными производными.

Введем некоторые множители i , при помощи которых

составим функцию:

m

F(x1, x2 ,..., xn , 1i , 2 ,..., m ) f (x1, x2 ,..., xn ) i i (x1, x2 ,..., xn ) . (73)

множителями Лагранжа.

Условие существования оптимального решения задачи

m

F ( X , ) f (x) i i ( X ) ,

i 1

где X – n-мерный вектор;– m-мерный вектор.

Согласно данной теореме, вектор X (0) тогда и только тогда является оптимальным решением задачи, когда существует такой

Точка ( X (0) , (0) ) называется седловой точкой для функции F( X , ) , а теорема называется теоремой о седловой точке.