Основы математической обработки информации. Часть I. Алгебра логики. Практикум по решению задач

20.Укажите значения простых высказываний K, L, M, N при которых логическое выражение ( (M L) K → (N M) K) истинно. Ответзапишитеввидестрокииз4 символов, содержащихзначенияпеременных K, L, M и N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101

соответствует тому, что [K] = 1, [L] = 1, [M] = 0, [N] = 1.

21.Укажите значения простых высказываний K, L, M, N при которых логическое выражение L ( M N) → L (M K) ложно. Ответ запишите в виде строки из 4 символов, содержащих значения простых высказываний K, L, M и N (в указанном порядке). Так, например, строка

1101 соответствует тому, что [K] = 1, [L] = 1, [M] = 0, [N] = 1.

22.Укажите значения простых высказываний K, L, M, N при которых логическое выражение ( (K L) M – > (N K) M) истинно. Ответ запишите в виде строки из 4 символов, содержащих значения простых высказываний K, L, M и N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что [K] = 1, [L] = 1,

[M]= 0, [N] = 1.

23.Составить таблицы истинности для следующих формул:

1)А В,

2)(А В) С,

3)А В ( А В С),

4)A ↔ ¬ (B ˄A)) → ¬ A.

24. Докажите равносильность следующих формул:

1)B C A (B (C A)),

2)(А В) (А С) А ( В ) С,

3)A ↔ B ¬ A ↔ ¬ B,

4)А (В С) А ˄ В С,

5)(A ˅ B) ˄ (A ˅ ¬ B) A.

25.Упростите следующие формулы: 1) (А В) (В ¬ А) (C → А), 2) ((А В) (В ( А))),

3) (A ˄ C) ˅ (A ˄ ¬ C) ˅ (B ˄ C) ˅ (¬ A ˄ B ˄ C).

26.Определите является ли данная формула тождественно истинной

или тождественно ложной: 1) А A ˅ В,

2) A ˅ А → В ˅ ¬ В,

3) (A → B) ˄ (A → ¬ B) → ¬ A, 4) A ˄ (A → B) ˄ (A → ¬ B).

31

27.Три ученика из разных школ на вопрос, в какой школе они учатся,

ответили:

Артем: я учусь в школе № 534, а Кирилл — в школе № 76.Кирилл: я учусь в школе № 534, а Артем — в школе № 105.Максим: я учусь в школе № 534, а Артем — в школе № 76. Каждый из них один раз сказал правду и один раз солгал.

В каких школах учатся Артем, Кирилл и Максим?

В ответе перечислите подряд без пробелов числа, соответствующие номерам школ в указанном порядке имен, например, 534 105 76.

28.Три друга Олег, Борис и Арсений, закончив институт, разъехались по разным городам. И вот спустя несколько лет, они, встретившись на вечере встречи выпускников, решили разыграть своего товарища.

На его вопрос, где они теперь живут, друзья ответили:Олег: Я живу в Екатеринбурге, а Борис — в Мурманске.Борис: Я живу в Волгограде, а Олег — в Мурманске.Арсений: Я живу в Мурманске, а Олег — в Волгограде.

Каждый из них один раз сказал правду и один раз солгал. В каком городе проживают Арсений, Борис и Олег?

В ответе перечислите подряд без пробелов первые буквы названий городов, соответствующие именам друзей в указанном порядке, например, ВМЕ.

29.Три брата (Иван, Дмитрий и Сергей) преподают различные дисциплины (химию, биологию и физику) в университетах городов Москва, УпсалаиТаллинн. Известнотакже: ИванработаетневМоскве, аДмитрий не в Упсале; москвич преподает не физику; тот, кто работает в Упсале, преподает химию; Дмитрий преподает не биологию.

Какой предмет преподает Сергей и в каком городе?

30.Четырестудента: Андрей(А), Борис(Б), Владимир(В) иГеннадий (Г) — заняли первые четыре места на районной математической олимпиаде, причем никакие два из них не делили между собой какие-либо два места.

На вопрос, какое место занял каждый из них, участники дали три

разных ответа:

Андрей — первое и Борис — второе.Андрей — второе и Геннадий — третье.Владимир— второе и Геннадий— четвертое.

Причемвкаждомизответоводначастьистинна, другаяложна. Какое место занял каждый из 4 участников олимпиады?

31.Три школьника, Миша (М), Коля (К) и Сергей (С), остававшиеся

вклассе на перемене, были вызваны к директору по поводу разбитого

32

вэто время окна в кабинете. На вопрос директора о том, кто это сделал,

мальчики ответили следующее:

Миша: «Я не бил окно, и Коля тоже…»Коля: «Миша не разбивал окно, это Сергей разбил футбольным

мячом!»Сергей: «Я не делал этого, стекло разбил Миша».

Стало известно, что один из ребят сказал чистую правду, второй

водной части заявления соврал, а другое его высказывание истинно, атретийобафактаисказил. Знаяэто, директорсмогдокопатьсядоистины путем логических рассуждений.

Кто же разбил стекло в классе?

32.В конторе работают 4 бухгалтера: Иванов, Борисов, Сидоров и Демин. Один из них женат на сестре одного из своих сослуживцев. Именажен: Анна, Валентина, СофьяиДиана. УДеминасестернет. Жену Борисова зовут Валентина. Жена Сидорова вместе с Анной и Дианой ходит на пилатес. Сестра жены Иванова замужем за Сидоровым. Как зовут брата Софьи?

33.Ждан, ТомиславиНеждан— друзья. Одинизнихартист, другой— бухгалтер, третий— агроном. ОдинживетвБратске, другой— вБердске, третий — в Анапе.

Требуется выяснить, кто и где проживает, и у кого какая профессия,

если известно, что:

НежданбываетвБратскередко, хотявсеегородственникиживуттам;у двух друзей название профессий и городов, в которых они живут,

начинаются с той же буквы, что и их имена;жена артиста доводится Неждану младшей сестрой.

34.Дети: Аня, БорисиВикторприехалинавыходныекМашенадачу и нечаянно разбили старинную хрустальную вазу. На вопросы родителей

Маши каждый из детей дал следующий ответ:

Аня. — Я не разбивала, Виктор не разбивал, а Маша знает, кто

виноват.

Маша. — Я не разбивала, мы в это время разговаривали с Борисом.

Это сделала Аня.

Борис. — Я не виноват. Это Виктор, а с Машей я давно не разгова-

риваю.

Виктор. — Яневиноват. ЭтоМаша. Борислжет, утверждая, чтовазу разбил я.

Родители заметили противоречия в словах детей, и те вынуждены были признаться, что каждый из них дважды сказал правду, а один раз солгал. Кто разбил вазу?

33

35.Григорий, МихаилиИгорь— сыновьявоеннослужащих. Уодного из них отец — офицер флота, у второго — ракетчик, а у третьего — десантник. Юноши приняли решение тоже стать военными. Один из них попалнафлот, другойсталракетчиком, атретий— десантником. Михаил по состоянию здоровья не попал в десантники, а Игорь не попал на флот. Не попал на флот и сын моряка. Если сын десантника не стал десантником, то им стал сын ракетчика. Если Игорь — десантник, то сын моряка не ракетчик.

Где служат ребята и их отцы?

Обозначения: Г — Григорий, И — Игорь, М — Михаил, м — моряк,

д— десантник, р— ракетчик. Вответах, вначале, идутимяипрофессия,

азатем профессия отца.

36.Пять человек — Леонид, Владимир, Николай, Олег и Петр — живут в одном городе. Их фамилии: Степанов, Борисов, Козин, Дроздов и Истомин. Борисов знаком только с двумя из них, а с Козиным знаком только один человек. Петр знаком со всеми кроме одного, а Леонид знает только одного из них. Николай и Истомин знают друг друга с детства. Владимир и Николай дружат с Олегом. Дроздов и Владимир не знакомы,

аОлег, Николай и Борисов часто вместе ходят в кино.

Установите имена и фамилии каждого из действующих лиц. Обозначения: Л — Леонид, В — Владимир, Н — Николай, О — Олег,

П — Петр, С — Степанов, Б — Борисов, К — Козин, Д — Дроздов, И — Истомин. В ответах, в начале, идет имя, а затем фамилия.

37. Четыре юных филателиста: Митя, Толя, Петя и Саша — купили почтовые марки. Каждыйизнихпокупалмаркитолькооднойстраны, причем двое из них купили российские марки, один — болгарские и один — чешские. Известно, что Митя и Толя купили марки двух разных стран. Марки разных стран купили Митя с Сашей, Петя с Сашей, Петя с Митей иТолясСашей. Крометого, известно, чтоМитякупилнеболгарскиемарки.

Кто из филателистов купил болгарские марки 1) Митя 2) Толя 3) Петя 4) Саша ?

Обозначения: М — Митя, Т — Толя, П — Петя, С — Саша. В ответе перечислите подряд без пробелов первые буквы имен филателистов, например, ТП.

8. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ

1. Три команды от разных стран — Румынии, Белоруссии и Казахстана — участвовали в соревновании и заняли три призовых места. Известно, что если Румыния заняла первое место, то Казахстан не занял

34

второе. Если Белоруссия не заняла второе место, то Румыния заняла первоеместо. ЕслиКазахстаннезанялпервоеместо, тоБелоруссиязаняла третье место.

Определите, какая из стран заняла какое место. В ответе укажите подряд через пробел первые буквы названий стран — сначала той, что заняла первое место, затем той, что заняла второе место, и затем той, что заняла третье место.

Ответ: К Б Р

2.Три друга — Петр, Василий и Татьяна участвовали в соревновании

изанялитрипризовыхместа. Известно, чтоеслиПетрзанялпервоеместо, тоТатьянанезанялавторое. ЕслиВасилийнезанялвтороеместо, тоПетр занял первое место. Если Татьяна не заняла первое место, то Василий занял третье место.

Определите, кто и какое место занял. В ответе укажите подряд без пробелов первые буквы их имен — сначала того, кто занял первое место, затем, того, кто занял второе место и затем того, кто занял третье место.

Ответ: ТВП

3.Три друга — Петр, Василий и Татьяна — участвовали в соревновании и заняли три призовых места. Известно, что если Татьяна не заняла первое место, то Петр занял третье место. Если Петр не занял второе место, то Василий занялпервое место. Если Василий занялпервое место, то Татьяна не заняла второе.

Определите, кто из друзей занял какое место. В ответе укажите подрядбезпробеловпервыебуквыихимен— сначалатого, ктозанялпервое место, затем, того, кто занял второе место и затем того, кто занял третье место.

Ответ: ТПВ

4.Коля, Вася, Петя, Саша и Дима учатся в одной школе. Каждый из них дружит ровно с двумя из перечисленных мальчиков. Дружба любых двух мальчиков всегда взаимна.

Определите, с кем кроме Коли дружит Саша, если известно, что все

приведенные высказывания истинны:

Если Коля дружит с Васей, то и Петя дружит с Васей.Если Петя дружит с Димой, то Саша дружит с Колей.Если Вася дружит с Петей, то и Дима дружит с Петей.Если Коля дружит с Сашей, то Вася дружит с Колей.

Вответе запишите первую букву имени мальчика, с которым может еще дружить Саша.

Ответ: Д

35

5.После прочтения произведений Льюиса Кэрролла, Альберт решил потренироваться в сложных высказываниях. Он заявил: «Сегодня либо пойдетдождь, либобудетсухо. Завтравшколебудетгодоваяконтрольная. Если я сегодня пойду в школу в дождь, то я промокну и заболею. Если

язаболею, то завтра не смогу писать годовую контрольную работу. Если

язавтрахорошонапишугодовуюконтрольнуюработу, топослезавтрапапа подаритмневелосипед». ЧерездвадняАльбертсделалещеодноутверждение: «Я позавчера ходил в школу, но сегодня не получил велосипед».

Какиевысказываниявсегдапринимаютзначение«истинно», есливсе

сказанное Альбертом истинно.

Он не написал годовую контрольную работу хорошо. 2 В первый день шел дождь.

Еслионписалгодовуюконтрольнуюработу, товпервыйденьбыло

сухо.

В школе не было годовой контрольной.

Он не заболел и не написал годовую контрольную работу хорошо? Ответ: 1, 3

6.После прочтения произведений Л. Кэрролла, Виктория решила потренироваться в сложных высказываниях. Она заявила: «Сегодня либо пойдет снег, либо будет светить солнце. Завтра в клубе будет конкурс танца. Если я сегодня пойду в клуб на репетицию под снегом, то я простыну или сломаю ногу. Если я сломаю ногу, то завтра не смогу участвовать в конкурсе танца. Если я завтра выиграю в конкурсе танца, то послезавтра мама подарит мне новое платье». Через два дня Виктория сделала еще одно утверждение: «Я позавчера ходила на репетицию под снегом, но сегодня мне не подарили платье».

Какиевысказываниявсегдапринимаютзначение«истинно», есливсе

сказанное Викторией истинно:

В клубе не проводился конкурс.Она сломала ногу или простыла.В первый день светило солнце.

Она не выиграла в конкурсе танца.

Если она участвовала в конкурсе, то в первый день светило солнце? Ответ: 2, 4

7.Даны два выражения.

(X * X > 48) ˄ ((X – 8) * X + 7 > 0) и ¬ (¬ (X > = 9) ˅ (X < = 2)) ˅ (X > = 9)

Найдите такое целое положительное значение переменной X, при котором первое выражение будет истинно, а второе ложно. В ответе укажите число.

Ответ: 8

36

8. Даны два выражения.

¬(((Y – 17) * Y + 70 < = 0) ˅(Y * Y > 50)) и(Y > = 5) ˄¬ ((Y < 11) ˄¬ (Y > = 6))

Найдите такое целое положительное значение переменной Y, при

котором оба выражения будут истинны. В ответе укажите число. Ответ: 6

9.Известно, что высказываниеA → B является истинным. Для каких из перечисленных логических выражений можно однозначно определить их логическое значение?

1.¬ (A → B) → C

2.¬(¬ A → ¬ B) → B

3.(A → B) → C

4.(¬ B → ¬ A) → ¬ (A → B )

5.C → (A → B) Ответ: 1, 2, 4, 5

10.Известно, что высказывание A ˅ B является истинным. Тогда для каких из перечисленных логических выражений можно однозначно определить их логическое значение?

1.¬ A ˄ ¬B ˄ C

2.¬ (¬ A → B) → C

3.(¬ B →A) → ¬ (¬ A → B )

4.(¬ A →B ) → C

5.¬ A ˄¬ B ˅ C Ответ: 1, 2, 3

11.Упростите логическое выражение или укажите его результат. Результатупрощенияможетсодержатьтолькооперацииотрицания, конъюнкции и дизъюнкции.

((A → ¬ B) → (B → ¬ C)) → ((C → ¬ D) → (D → ¬ A))

Ответ: Правильные альтернативные ответы:

C ˅ ¬D ˅ ¬ A; C ˅ ¬ A ˅ ¬D; ¬ A ˅ C ˅ ¬ D ; ¬ A ˅ ¬D ˅ C; ¬D ˅ C ˅ ¬A ¬D ˅ ¬A ˅ C; C ˅ ¬ (A ˄ D); C ˅ ¬ (D ˄A); ¬ (A ˄ D) ˅ C; ¬ (D ˄A) ˅ C

37

9.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.ГиндикинС. Г. Алгебралогикивзадачах. — М., Изд-воНаука, 1972.

2.Глотова М. Ю., Самохвалова Е. А. Математическая обработка информации: учебник и практикум для бакалавров. Серия: Бакалавр. Базовый курс. — М.: Изд-во Юрайт, 2014.

3.Жолков С. Ю. Математикаи информатикадлягуманитариев : учебник для студентов вузов, обуч. по гуманитарным спец. / С. Ю. Жолков. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Альфа — М: Инфра-М, 2005.

4.ИгошинВ. И. Задачник-практикумпоматематическойлогике. — М.: Изд-во Просвещение, 1986.

5.Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачипо теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — М.: Изд-во Наука, 1984.

6.Лихтарников Л. М., Сукачева Т. Г. Математическая Логика. Курс лекций. 3адачник-практикум и решения. Серия Учебники для вузов. — СПб: Изд-во Лань, 1999.

7.Михайлов А. Б., Плоткин А. И., Рисс Е. А., Яшина Е. Ю. Матема-

тический язык в задачах. — СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2000.

8.Основыматематическойобработкиинформации: учебникипрактикумдляакадемическогобакалавриата/ Н. Л. Стефанова, В. И. Снегурова, Н. В. Кочуренко, О. В. Харитонова ; под общ. ред. Н. Л. Стефановой. (Бакалавр. Академический курс). — М. : Изд-во Юрайт, 2016.

38