Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы математического моделирования. Учебное пособие-2.pdf
Модуль 2. Схема Бернулли. Предельные теоремы в схеме Бернулли.
Повторение опытов. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра–Лапласа.
Формула Пуассона.
Раздел 10. Случайные величины. Стандартные распределения
Модуль 1. Распределения дискретных и непрерывных случайных величин.
Дискретные и непрерывные случайные величины (ДСВ и НСВ). Ряд распределения ДСВ.
Функция распределения случайной величины и её свойства. Функция распределения ДСВ.
Плотность распределения НСВ и её свойства. Вероятность попадания значений случайной ве-
личины в заданный интервал.
Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия, их
свойства.
Модуль 2. Стандартные распределения.
Равномерные распределения ДСВ и НСВ. Распределения биномиальное и пуассоновское.
Нормальное распределение.
Стандартные распределения на практике.
Закон больших чисел Чебышева. Закон больших чисел Бернулли.
Раздел 11. Основные понятия математической статистики. Статистические оценки
Модуль 1. Числовые характеристики эмпирических распределений.
Генеральная совокупность, выборка. Мода, медиана, размах выборки. Вариационный ряд.
Полигон. Гистограмма. Эмпирическая функция распределения.
Числовые характеристики: выборочное среднее, выборочная дисперсия, выборочное среднее
квадратическое отклонение.
Модуль 2. Статистические оценки.
Точечные оценки неизвестных параметров распределения. Несмещённые и состоятельные
оценки.
Закон больших чисел: теоремы Чебышева и Бернулли как теоретическая основа получения
точечных оценок.
Методы получения точечных оценок. Интервальные оценки неизвестных параметров распре-
деления.
Модуль 3. Линейная и нелинейная регрессия.
Обработка экспериментальных данных методом наименьших квадратов.
Диаграммы рассеяния. Уравнения линейной и нелинейных регрессий.
11
2. МОДЕЛИ ЛОГИЧЕСКОГО ТИПА
2.1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Понятие «логико-математические» модели в широком смысле – это некоторое абстрактное
описание объекта с помощью знаков определённой природы. В общем случае такие модели классифицируются следующим образом.
1. Модели-описания; например, уравнения кривых и поверхностей в выбранной системе
координат.
2. Модели-интерпретации; например, проекции трёхмерного геометрического объекта на
координатные плоскости.
3. Модели-аналоги; например – интерполяционн
мации сложных (возможно, не заданных явно) зависимостей.
В узком смысле логико-математические модели служат описаниями логических рассуждений
с помощью синтаксиса алгебры высказываний и логики предикатов. Будем называть такие модели
также моделями логического типа.
1. Синтаксис алгебры высказываний.
1. Алфавит алгебры высказываний (далее – АВ) есть множество
G = G
где G
лами вида А, В, С, …; G
G
– набор так называемых пропозиционных переменных (атомов), представленных симво-
1
– набор логических связок, представленных символами вида
2
={¬, ∨, ∧, →, ↔, Δ}; G3 – набор вспомогательных символов (скобки, запятые).
2
∪ G2∪ G3,
1
2. Всякая конечная последовательность символов алфавита называется словом.
3. Слово есть формула, если оно по следующему (рекурсивному правилу):
а) любая пропозиционная переменная есть формула;
б) если P и Q – формулы, то ¬P, P ∨ Q, P ∧ Q, P → Q, P ↔ Q, P ∆ Q – ф
в) других формул в АВ нет.
2. Средство моделирования рассуждений – построение, преобразование и интерпретация
формул АВ. Алгоритм построения логико-математической модели может быть представлен следующим образом.
1. Сложное высказывание представляется в виде последовательности простейших высказыва-
ний, соединённых речевыми оборотами «не», «или», «и», «если…, то…», «тогда и только тогда»,
«или-или» (анализ сложного высказывания).
Простейшие высказывания, обозначенные символами А, В, С, … (пропозиционные перемен-
ные), являются компонентами вектора Х входных переменн
на этом этапе представляет собой «серый ящик».
2. На основании анализа, проведённого в п. 1, строится формула АВ, которая и представляет
собой оператор модели.
Характер истинности полученной формулы (в зависимости от значений истинности пропози-
ционных переменных) устанавливается одним из двух следующих средств: постр
истинности или упрощение формулы.
3. Производится интерпретация полученного результата в терминах истинности моделируе-
мого составного высказывания.
3. Семантическое «наполнение» формул АВ. Простейшее высказывание («атом») – это про-
стое повествовательное предложение, о содержании которого можно сказать истинно оно или ложно.
Такие высказывания в логико-математических моделях обозначают символами пропозиционных
переменных.
ые полиномы, применяемые для аппрокси-
ормулы;
ых (см. главу 1, п. 1); оператор модели
оение таблицы
12
Далее, на множестве всех высказываний вводится функция истинности )(Аλ=λ , принимаю-
∧
λ
щая значение 1, если высказывание А истинно и 0 – если оно ложно. Значение )(Аλ называют значе-
нием истинности или логическим значением данного высказывания.
Логические операции над высказываниями вводятся следующим образом.
1. Отрицание («не А», «неверно, что А») высказывания А есть высказывание
истинно тогда и только тогда, когда
A ложно. Соответствующая таблица истинности имеет вид
)( Аλ )(Аλ
1 0
0 1
2. Конъюнкция («A и B») двух данных высказываний есть высказывание ВА ∧ , которое
истинно тогда и только тогда, когда А и В истинны одновременно:
)( Аλ )(Bλ )( ВА
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
3. Дизъюнкция («А или В») высказываний A и B есть высказывание ВА ∨ , которое истинно
тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из А или В:
)( Аλ )(Bλ )( ВА∨λ
А (¬A), которое
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
4. Импликация («если А, то В») – высказываний А и В есть высказывание А → В, которое
ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно, и истинное – в остальных случаях;
при этом А называется посылкой, В – её следствие. Таблица истинности здесь имеет вид
)( Аλ )(Bλ )( ВА →λ
1 1 0
1 0 0
0 1 1
0 0 1
13
5. Эквиваленция высказываний А и В (« необходимо и достаточно», «тогда и только тогда»)
λ
↔
λ
λ
Δ
λ
В
=
=
λ
есть составное высказывание А ↔ В, которое истинно, если А и В одновременно истинны или одновременно ложны:
)( Аλ )(B
)( ВА
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
6. Альтернативная дизъюнкция А∆В (или А, или В) есть составное высказывание, которое
истинно тогда и только тогда, когда ровно одно из двух высказываний А или В истинно
)( Аλ )(B
)( ВА
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0
4. Примеры. Приведём простейшие примеры моделирования составных высказываний.
1. «Москва – столица России, а московское метро – самое красивое в мире».
Атомы : A – « Москва – столица России», B – «московское метро – самое красивое в мире».
Модель-формула:
2. A – «Завтра будет хорошая погода», B – «Я пойду гулять».
Модель-формула: A → В – «Если завтра будет хорошая погода, я пойду гулять».
3. A – «Я пойду гулять», B – «Завтра будет хорошая погода».
Модель-формула: A ↔ В – «Я пойду гулять в том и только том случае, если завтра будет
хорошая пог
4. Приведите пример составного высказывания, которое можно было бы записать в следую-
ода».
А ∧ .
щем виде:
)()( BCBA ∨→∧ . Определите его значение истинности.
Решение. В данном составном высказывании есть три простейших: A, B, C. В качестве них
можно взять, например, следующие повествовательные предложения:
A – «Розовые слоны живут в Сибири»;
B – «В Солнечной системе – девять планет»;
C – «5 меньше 3».
Заменяя логические связки соответствующими речевыми оборотами, получим: «Если розовые
слоны живут в Сибири и в Солнечной системе девять п
ланет, то 5 меньше 3 или в Солнечной системе
число планет отлично от девяти».
Чтобы определить истинность получившегося высказывания, определим сначала истинность
его составляющих – 0)(
λ A , 1)( =λ B , 0)(
и окончательно
C . Тогда соответственно 0)( =∧λBA , 0))( =∨λ BC ,
1))()(( =∨→∧λ BCBA .
Итак, осуждаемое высказывание – истинно.
14
5. Характер формул алгебры высказываний. Формула называется тождественно истин-
≡
λ
Х
Z
∧
∧∧≡
∧
∧∨≡
∧
XEX
EEX
XXX
XXX≡∧
XYX
XYX∨≡∧
ной или тавтологией (тождественно ложной или противоречием), если при любом наборе значений
пропозиционных переменных, входящих в неё, она обращается в истинное (ложное) высказывание
1)( ≡λ F или
)(F 0 соответственно.
Тождественную истину обозначаем через E; тождественную ложь – через ∅.
Формула называется выполнимой (опровержимой), если существует такой набор значений
пропозиционных переменных, который обращает эту формулу в истинное (ложное) высказывание.
Две формулы F и G называются равносильными, если на любом наборе пропозиционных
переменных λ(F)
= λ(G) применяем обозначение F ≡ G.
Критерий равносильности формул состоит в следующем: F ≡ G тогда и только тогда, когда
формула F ↔ G является тавтологией.
С точки зрения моделирования составных высказываний приведённая здесь информация мо-
жет быть использована следующим образом.
Если модель составного высказывания есть тождественная истинная формула, то её логи-
ческое значение останется истиной в том случае, если пр
остейшие высказывания (атомы) заме-
нить на любые другие. Далее, если модели двух составных высказываний – равносильные формулы,
то эти высказывания равносильны.
Рассмотрим в качестве примера формулу F вида
)())()(( ZYZXYX ∨→∨∧∨ , которая явля-
ется тождественно-истинной (в чём можно убедиться, составив, например, её таблицу истинности и
проверив, что 1)( ≡λ F ). Будем считать, что F возникла как оператор некоторой модели. Для любого
вектора входных переменных ),,( ZYX с возможными логическими значениями компонент «и
стина»,
«ложь» (формализованными в виде 1 и 0) в результате действия оператора модели всякий раз будем
получать однокомпонентный вектор выходных переменных со значением компоненты, равной
единице.
Рассмотрим далее атомы
– «летом бывают каникулы» (истина), Y – « 13 ≤ « (ложь)
– «пингвины – это птицы» (истина). В соответствии с формулой F из этих атомов построим
составное высказывание «Из того факта, что летом не бывает каникул или
бывают каникулы или пингвины – это птицы, будет следовать, что
13 ≤ , а также летом
13 ≤ или пингвины – это
птицы». Это, лишённое смысла (в обыденной речи) высказывание оказывается истинным, поскольку
все логические значения формулы F – это единицы.
6. Основные равносильности алгебры высказываний. Построение логических формул
(операторов моделей логического типа), а также их преобразования к более простому виду и выяснение характера формул возможно на основе следующих свойств логических операций.
Коммутативность дизъюнкции и конъюнкции:
1)
;XYYX ∨≡∨ ;XYYX ∧≡
ассоциативность дизъюнкции и конъюнкции:
2)
ZYXZYX ∨∨≡∨∨ ;)()( ZYXZYX
∧
;)()(
3)
дистрибутивные законы:
ZXYXZYX ∧∨∧≡∨∧ );()()( ZXYXZYX ∨
4)
∅≡∅∧X ; XX ≡∅∨ ;
5)
6)
законы де Моргана:
7)
15
≡∧ ;
≡∨ ;
≡∨ ;
Y
∧≡∨ ; Y
;
∨
);()()(
;
8) );()( YXYX ∨≡→ )()()( XYYXYX →
∧→≡
EXX
X
X
ВАВ
ВАВ
В
∧
В
B
B
законы поглощения:
9)
XXYX ≡∨∧ ;)( XXYX ≡∧∨
;)(
закон исключённого третьего:
10)
↔ ;
∅≡∧ XX ;
11)
закон двойного отрицания:
≡∨ ;
≡ .
7. Выражение одних логических операций через другие. Преобразования (упрощения)
формул
АВ могут выполняться с привлечением следующих равносильностей:
А ¬∧¬≡∨ ;
А ¬∨¬≡∧ ;
АВА ≡→
∨ ;
)()(
АВАВА ()( ∨∧≡↔
АВВАВА →
∧ );
→≡↔ ;
≡ΔВА ( А )() ВАВ ∨∨∧ .
8. Следующие упражнения могут быть предложены для проведения с учащимися занятий
по логико-математическому моделированию в интерактивной форме (тренинг), а также для самостоятельного решения.
Цикл 1.
Задача 1. Даны высказывания:
А – «В слове «буква» две гласных буквы», В – «остров – это часть суши, окружённая водой».
1. Каков характер истинности высказываний
2. Изменить высказывание
3. Можно ли так изменить высказывание
дизъюнкция
А так, чтобы конъюнкция А ∧ B стала ложной.
A ∨ B стала ложной?
А ∧ В и A ∨ B?
А, не меняя при этом высказывания В, чтобы
Задача 2. Даны высказывания:
А – «Апельсин – это овощ», В – «красный свет горит – проезд закрыт».
1. Каков характер истинности высказываний
А ∧ В, A ∨ B, А ∧
?
2. Придумать свой пример пары высказываний таких, чтобы
а) их конъюнкция была ложным высказыванием, а дизъюнкция – истинным;
б) их конъюнкция и их дизъюнкция были бы истинными высказываниями;
3. Существуют ли два таких высказывания, чтобы их конъюнкция была высказыванием
истинным, а дизъюнкция – ложным?
Задача 3. Даны высказывания:
А – «Лёд – это твёрдое состояние воды», В – «пар – это газообразное состояние воды».
Каков характер истинности высказываний
, BA → , BA → , →A
BA →
.
Задача 4. Определитель неизвестный характер высказывания (А или В), соответствующий
указанной строке таблицы истинности. Приведите примеры таких высказываний.
а)
А В
Истинно
В
А ∧
?
Истинно
16
б)
B
B
B
B
B
в)
г)
Задача 5. Составьте таблицы истинности для следующих сложных высказываний: A ∨
А В
Ложно
А В
Истинно
А В
?
B
A ∨
?
Истинно
BA →
?
Истинно
BA →
Ложно Истинно
,
А ∧ (A∨
), →A В, BA → , →A
.
Задача 6. На основании составления таблиц истинности сделайте вывод о равносильности
или неравносильности следующих сложных высказываний:
а)
б) )(
в)
A ∨ и BA → .
)( BA ∨¬ и
A ∧ ;
BA ∧¬ и BA → ;
Цикл 2.
1. Приведите пример составного высказывания, которое можно было бы записать в сле-
дующем виде. Определите его значение истинности.
1. )()( BCBA ∧→→ ;
2. )()( BCBA ∧↔∨ ;
3. )()( ABCB ∧→∨ ;
4. )()( BCBA ∧∨→ ;
5. )()( BCBA ∨↔→ ;
6. ))(( BCАB ∧∨∨ ;
7. )()( BCCBA ∧∨∧∧ ;
8. ))(( BCAB ∧→↔ ;
9. BBCA ↔→∧ ))((;
10. )()( BCBA →∨→ .
2. Составьте таблицу истинности для формулы алгебры высказываний. Укажите вид формулы.
1. )()( YXZY ∨→∨ ;
2.
ZXZYX ∧→∧∨ )))(((;
3. )()))(( ZXZYX ∧∧∨→ ;
4. XYZYX ∨↔→∧ ))()(( ;
5. ))(()( ZYXYX →→↔∧ ;
6. )()()( XZYZZY →∧∧∧→ ;
7. )()( YXZYX →↔∧∧ ;
)))((( XZYXZ ∧∨→↔ ;
8.
9. )())()(( XYZYZX ∧→∨→↔ ;
10. ))(())(( ZYXYZX ∨∧→∧→ .
17
9. Логическое следование. В процессе моделирования сложных высказываний часто возни-
−
(
)
(
)
=
λ
(
)
−
=
=∨λ
=
=→∨λ
=∧λ
кает задача формализации следования из нескольких посылок. Для этих целей применяют понятие
логического следования, основные, связанные с этим понятием факты.
Говорят, что формула Q логически следует из формулы Р, если Q принимает значение истины
на всяком наборе пропозиционных переменных, на котором значение истины принимает формула Р.
гими словами, если λ (P) = 1, то λ(Q) = 1. Обозначение: Р
Дру
Q.
Практический способ проверки логического следования состоит в применении следующего
утверждения.
Теорема. Q логически следует из P, тогда и только тогда, когда P → Q – тавтология.
10. Логическое следование из группы формул. Говорят, что формула Q следует логически
из формул
j = 1, 2, ..., n), т.е. Q принимает значения истины на каждом наборе переменных, на котором истинно
(
каждое из
21
Обозначение:
Теорема. Логическое следование
21
PPP ...,,,
, если
21
n
PPP ...,,,
.
n
QPP
−...
n
1
QPPP
→∧∧∧ ...
n
является тавтологией.
1=λ Q , при всех тех значениях переменных, при которых
.
имеет место тогда и только тогда, когда
QPP
−...
n
1
1
P
j
Приведём несколько задач для активного обучения исследования моделей логического типа
средствами следования.
Задача 1. Доказать следующее логическое следование
→∨ .
))(())(( ZYXZYX ∨→
Решение. Здесь имеется несколько способов решения. Так, на основании теоремы п. 2.10
достаточно доказать, что формула
))(())((
ZYXZYX ∨→→→∨ ,
является тавтологией. В свою очередь, это можно сделать либо путём построения таблицы истинности, либо выполнением цепочки равносильных преобразований (пп. 2.6, 2.7), упрощающих указанную формулу к тождественной истине
Е.
Здесь мы приведём решение на основе определения логического следования и метода доказа-
тельства от противного.
тогда 1))((
Предположим противное, т.е., что Q не является логическим следствием P,
=→∨λ ZYX , а 0))((
∨→λ ZYX .
Далее, так как
,0)(и1)(то,0))((
а значит .0)(,0)(
=λ=∨→λ ZYXZYX
=λ=λ ZY
Но, если ,0)(,0)(,1)(
вательно, наше предположение неверно и
λ=λ=λ ZYX то 0))((
Р−Q .
ZYX . Получено противоречие, следо-
Задача 2. Выясните, верны ли следующие следования из группы формул:
)(),,( TXTZTYZYX ∧−→∧∨∨ .
Решение. Допустим, что данное следование неверно, т.е. существуют такие значения пере-
менных, для которых
,1)(,1)(,1)( =→λ=∧λ=∨∨λ TZTYZYX а .0)(
TX
18
Тогда из 1)( =∧λ TY следует, что 1)(
=
λ
=
λ
=
λ
≠∨∨λ
=
=→∧
λ
=
λ
=∧λ
=∧λ
=
λ
∧
−
T и 1)( =λ Y , а значит 0)( =λY . Если 1)(
T ,
следовательно,
=∧λ TX , то 0)( =λ X .
0)(
Но, если 0)(
0)( =λ T и одновременно ⇒=→λ ,1)( TZ 0)(
=λ Y , 0)( =λ Z , 0)(=λ X , тогда 1)(
Z . Так как, 1)(=λ T и
ZYX . Получено противоречие; сле-
довательно, наше предположение неверно и логическое следование имеет место.
Задача 3. Проверьте логичность рассуждений: «Если я поеду автобусом, а автобус опоздает,
то я пропущу назначенное свидание. Если я пропущу назначенное свидание и начну огорчаться,
то мне не следует ехать домой. Если я не получу работу, то я начну огорчаться, и мне следует поехать
домой. Следовательно, если я поеду автобусом, и автобус опоздает, то я полу
чу работу».
Решение. Обозначим атомы:
A – «Я поеду автобусом»;
B – «Автобус опоздает»;
C – «Я пропущу назначенное свидание»;
D – «Я начну огорчаться»;
E – «Мне следует поехать домой»;
F – «Я получу работу».
Тогда посылки нашего рассуждения символически записываются следующим образом:
)(,)(,)( EDFEDCCBA ∧→→∧→∧ , а следствие .)( FBA →∧
Предположим, что логическое следование неверно, т.е. 1))((
Если 0))((
=→∧λ CBA , тогда 1)( =λC .
Далее, из 0)(
0)(
=λ E .
Итак 1)(
1))(( =→∧λ EDC , 1))(( =∧→λ EDF , 0))((
=→∧λ FBA , то 0)(
F , 1)(
1))((
=λ F и 1))(( =∧→λ EDF следует, что 1)(
=λ C , 0)( =λ D , 0)( =λ E , следовательно, 1))(( =→∧λ EDC .
FBA .
BA . Так как, 1)(=∧λ BA и
ED , а значит 0)(
→∧λ CBA ,
D ,
Таким образом, мы нашли искомый набор значений истинности переменных, а значит, пред-
положение оказалось верным, и логическое следование не имеет места, т.е. рассуждения с точки
зрения логики проведены неверно.
11. Задачи на тему «Моделирование логических следований» для интерактивного обуче-
ния и самостоятельного решения.
Цикл 1. Доказать следующие логические следования.
)()( ZYXZYX →→−→∨ ;
ZYZYX →−→∨ )(;
−→∨ )()(;
ZYXZYX →
)()( ZXYZYX ∨→−→∨ ;
ZXZYX →−→∨ )(;
∨∧→ )()(;
ZXZXYX ∨
)()()( ZYXZXYX ∨∨−∨∧→ ;
)()()( ZXYZXYX ∨→−→∧→ ;
19
ZXZYX ∨−→→ )(;
ZYZYX →−→→ )(;
ZYZXYX ∨−∨∧∨ )()(;
ZYXZYX ∨∨−→→ )(;
ZYXZYX ∨∨−∧→ )( ;
YXZXYX →−∨∧∨ )()(;
ZYXZYX →∧−∧→ )()( ;
ZXYXZX →−→∧→ )()(;
YXYXZX →−→∧→ )()(;
ZYXZYX →∧−→→ )()(
)()()( ZYXYXZX ∨→−→∧→ ;
YZXYXZX →∧−→∧→ )()()(;
ZYXYXZX →∧−→∧→ )()()(;
)()( ZXYZYX ∨→−→→ ;
;
YZXZYX →∧−∧→ )()( ;
YXZYX ∨−∧→ )( ;
)()( ZYXZYX ↔→−∧→ ;
;
)()()( ZYXZYYX ∨→−↔∧↔
YZXZYYX →∧−↔∧↔ )()()(;
)()()( YXZZYYX ↔→−↔∧↔ ;
;
ZXZYYX →−↔∧↔ )()(
ZYXZYYX →∧−↔∧↔ )()()(.
Цикл 2. Выясните, верны ли следующие следования из группы формул.
YXZYXYTTZ →−∨→→→ ))(,,( ;
YZTXYXXZ ∧−∧→→ ),,( ;
XZTYXYZZT →−∨→→→ ))(,,( ;
ZYXTTZXY →−∨→→ ),,( ;
TWVZTYWVXZYX ∨∨−→∨→∨∨ ),),(,( ;
ZXYTTZYX →−∨→→ ),,( ;
TXTZTYXZ ∧−→∧→ ),,( ;
YXTZTYZX ∨−→↔→ ),,( ;
YXTZYZZX →−∧→→ ),,( ;
XTVZXTZVX −∧→→→ ))(,,,( ;
TVXZTYVXZYX ∨−→→→∨∨ ),,,( ;
20