Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы математического моделирования. Учебное пособие-2.pdf
4.2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
{
}
Случайной величиной называется числовая величина X, которая в каждом опыте принимает
одно и только одно значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин. Если все возможные значения величины Х можно записать в виде числовой последовательности
x , n = 1, 2, ...
n
(конечной или бесконечной), то Х называется дискретной (ДСВ – дискретная случайная величина);
если же возможные значения Х заполняют целиком некоторый числовой интервал, то величина Х
называется непрерывно распределённой на этом интервале (НСВ – непрерывная случайная величина).
Примером дискретной случайной величины является ежедневно фиксируемый рублевый курс
доллара, непрерывной – время t загрузки файла, с
качиваемого из Интернета: ).,0( ∞∈t
1. Случайные величины. Числовые характеристики.
Законом распределения дискретной случайной величины (ДСВ) X называется соответствие
между её возможными значениями x
величиной X значения именно x
и вероятностями рk = P(X = xk) события, состоящего в принятии
k
. Обычный способ задания такого закона – ряд (таблица) распределе-
k
ния, который в случае конечного числа п значений величины Х (записанных в порядке возрастания)
имеет вид
X
x
x2 ...
1
...
x
k
xn
р
P
р2 ...
1
...
р
k
рn
Заметим, что
n
=
p
.1
k
∑
=
1
k
Наряду с законом (рядом) распределения часто бывает удобно пользоваться числами, которые
описывают случайную величину «суммарно» – так называемыми числовыми характеристиками случайной величины. Они помогают «в сжатой форме» выразить наиболее существенные черты распределения. Основными числовыми характеристиками случайной величины являются математическое
ожидание, характеризующее среднее значение случайной величины, и дисперсия, характеризующая
степень раcсеяния слу
чайной величины относительно её математического ожидания.
Ограничимся рассмотрением дискретной случайной величины с конечным набором возможных значений.
Математическое ожидание )( XМ
дискретной величины Х определяется в виде
n
=
∑
k
pxXM1)(,
kk
=
Поясним, почему естественно считать указанное значение средним значением случайной
величины. В привычном понимании среднего значения стоило бы рассмотреть среднее арифметическое п значений
в которой каждое kх умножается на
вклада» вида
х , или, что то же самое, сумму вида
k
х
1
, т.е. все
п
1
. Вероятностный же аналог среднего значений
п
21
п
п
х содержатся в этой сумме с учётом их «равного
k
11
...
х
1
+++
х
п
п
,
х должен учитывать «вероятност-
k
ный вклад» каждого такого значения, т.е. принимать вид суммы произведений наблюдаемых значений
случайной величины на их вероятности
81
рхрхрх
+++
=
X
−
≡
...
2211
,
пп
которая и совпадает с определением математического ожидания. Частный случай распределения
ДСВ, для которой математическое ожидание равно в точности среднему арифметическому значений
случайной величины, см. ниже.
Замечание. Математическое ожидание ДСВ относится к так называемым характеристикам по-
ложения, т.е. характеризует положение случайной величины на числовой оси, указывая некоторое
среднее ориентировочное значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины. К другим характеристикам положения случайной величины относятся мода и медиана.
Модой ДСВ называется её наиболее вероятное значение .
xMo
Этих значений может ока-
l
заться несколько (их вероятности – наибольшие по сравнению вероятностями всех других значений);
такие случайные величины называются полимодальными.
Медианой дискретной случайной величины Х, имеющей значения
такое её значение
=Me
x , что
l
l
≥
p и
k
∑
k
1
=
1
2
n
∑
=
lk
1
≥
p .
k
2
xxx ...,,,
, называется
21
n
Этому условию в ряде распределения ДСВ может соответствовать два различных (соседних)
x
значения
вероятностей от
не меньше ½; условие
рассмотреть числовую характеристику степени рассеяния значений
значения. На первый взгляд, следовало бы рассмотреть среднее значений разностей )(
.
l
Чтобы найти медиану, достаточно найти такое «пограничное» значение
1
p до
p была ещё меньше
1
1−l
pp тогда будет выполнено автоматически.
...
nl
1
≥++
2
Наряду со средним значением )(
, но уже после добавления слагаемого
2
XM случайной величины
естественно было бы также
х относительно их среднего
k
x , чтобы сумма
l
p она стала
l
k
XMx
т.е. сумму вида
n
()
∑
k
−
=
1
pXMx
)( .
kk
Однако, преобразовав эту сумму к виду
n
−
XMpх
)(
p
∑
k
kk
=
1
∑
k
=nk
1
(общий множитель )( XM вынесен за знак второй суммы), получаем
n
()
∑
k
−
=
1
pXMx
)( 0
,
так что значение этой суммы одинаково для любых распределений, и, следовательно, не может служить характеристикой рассеяния конкретных распределений.
,
82
Нулевое значение суммы получилось за счёт «интерференции» положительных и отрицатель-
=−−==
=
==−=−
=
=⋅+⋅+⋅=
ных уклонений
дений квадратов уклонений на вероятности
)(XMxk−
. Чтобы устранить такую интерференцию, рассматривают сумму произве-
р
соответствующих
k
n
()
−=
∑
k
=
1
2
)()( .
x
k
pXMxXD
kk
Такая числовая характеристика называется дисперсией случайной величины Х. Характеристика рассеяния вида
)()( XDX =σ ,
называется средним квадратическим отклонением. Она предпочтительнее дисперсии в том смысле,
что оценка рассеяния теперь имеет размерность случайной величины (заметим, что дисперсия D(X)
имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно).
Дисперсию ДСВ можно вычислить также по формуле
n
∑
k
−=
1
=
kk
22
))(()()( XMpxXD
.
Пример 1.
В сессию планируется два экзамена. Вероятности успешной сдачи первого и второго экзамена для данного студента равны соответственно 0,7 и 0,8. Составить ряд распределения
случайной величины Х-числа экзаменов, которые успешно сдаст студент. Найти математическое
ожидание и дисперсию числа успешно сданных экзаменов.
Решение. Рассматриваемая случайная величина X может принять одно из следующих значе-
ний:
x
= 0, x2 = 1, х3 = 2 соответственно следующим событиям: студент не сдаст оба экзамена, сту-
1
дент сдаст успешно только один экзамен, студент сдаст успешно оба экзамена. Согласно теореме
о вероятности произведения событий
⋅== ХРХР
.06,0)8,01)(7,01()0(;56,08,07,0)2(
Осталось найти вероятность )1(=ХР того, что студент сдаст успешно только один экзамен;
здесь можно воспользоваться свойством (3.1.1) вероятностей в ряде распределения
)1( =ХР .38,0)2()0(1
ХРХР
Итак, ряд распределения случайной величины Х принимает вид
x
p
0
0,6 0,38 0,56
1
2
Найдём теперь математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х. Получаем:
ХМ
5,156,0238,016,00)(
и
2222
=)(XD 37,05,156,0238,016,00
=−⋅+⋅+⋅ .
83
Пример 2. Ряд распределения случайной величины Х имеет вид
⋅
=
=
=
∞+−∞∈
x
p
х
1
0,3 0,7
х
2
Найти значения 1х и 2х , если даны математическое ожидание )( ХМ = 2,7 и дисперсия
)( ХD = 0,21 и известно, что .
xх <
21
Решение. Согласно данному ряду распределения
)(ХМ 7,03,0
+⋅= хх и )( ХD = .7,27,03,0
Имеем, следовательно, систему алгебраических уравнений для нахождения 1х и 2х
⎧
⎨
⎩
которую несложно преобразовать к виду
Найдя из последнего квадратного уравнения значения
системы
21
=+
хх
21
2
хх
1
⎧
⎪
⎨
5
⎪
⎩
3
2
7
хх
−=
9
3
2
хх
2
2
2
1
2
7,27,03,0
22
21
,
=−+
21,07,27,03,0
.
=+−
0129
х
, получаем затем пару решений
2
22
−⋅+⋅ хх
= хх и
Согласно условию задачи ,
xх < следовательно, .3,2
3,2
21
21
17
5
,
12
== хх .
21
5
хх
21
2. Функция распределения.
Понятие ряда распределения неприменимо к непрерывным случайным величинам (НСВ),
поскольку невозможно выписать перечень всех её значений (читатель, знакомый с теорией множеств,
знает, что множество всех точек числового интервала не является счётным); более того, как мы установим ниже, вероятность каждого конкретного значения непрерывной случайной величины оказывается равной нулю. В этом слу
чае содержательной характеристикой «поведения» НСВ могли бы служить вероятности принятия ею значений в заданном числовом интервале. Эти вероятности могут
быть выражены через функцию вида
F(x) = P(X < x).
Функцию, определённую в таком виде, мы будем рассматривать теперь для любой случайной
величины Х; она соотносит каждому
;(x ) вероятность события, состоящую в принятии
величиной X значения левее точки х и называется функцией распределения (синонимы: интегральный
закон распределения, интегральная функция распределения случайной величины Х).
84
Функция распределения дискретной случайной величины Х имеет вид
∑
≤
=
=
≤
=
<
=
β
α
x
β
=
+
=
−
=
=
=<≤=<<=
η
,
pxF|)(
k
<=xxk
k
причём суммирование проводится по тем и только тем k, для которых соответствующие значения kx
оказываются меньшими х.
В «развёрнутой» форме это соотношение принимает вид
,0
⎧
⎪
,
⎪
⎪
=
xF
)(
⎨
...
⎪
⎪
⎪
⎩
,
,...
,1
xx
1
xxxр
≤<
211
xxxрр
≤<+
3221
.
xxxррр
≤<++
−−
1121
xx
>
ппп
n
Указанный принцип построения )(xF можно назвать принципом накопления вероятностей.
Мы получили неубывающую кусочно-постоянную функцию, значения которой расположены
в промежутке [0, 1], непрерывную в каждой точке
при
Её предел на –
xx > ).
n
∞ равен 0 (точнее, 0)(
xF при
В общем случае свойства функции распределения )()( xXPxF
k
xx
), а на +
1
)...,,2,1( nkx
слева.
∞ равен 1 (точнее, 1)(
будут следующими:
xF
а) 1)(0
б) )()()( aFbFbXaP
≤≤ xF ;
−=<≤ ;
в) )(xF – неубывающая функция;
г) если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу ),(
то 0)(
=xF при α≤
и 1)( =xF при ;
≥x в случае распределения Х на всей числовой оси имеют
место соотношения
1)(
где, по определению, )(lim)( xFF
=±∞ .
x ±∞→
∞F и 0)(
∞F ,
Следующие свойства относятся к случаю непрерывной )(xF . В дальнейшем, говоря о непре-
рывной случайной величине, будем предполагать, что её функция распределения )(xF непрерывна и
кусочно-дифференцируема.
а) Соотношение
0)(
xXР
имеет место для любого действительного х.
б) Справедливо равенство
≤<=≤≤
).()()()()()( aFbFbXaPbXaPbXaPbXaP −
Пример. Индикатором случайного события А, имеющего вероятность рАр =)(, называется слу-
,
чайная величина
=η )( Аη , принимающая значение, равное 1, если А наступает и значение, равное 0,
если А не наступает. Построить функцию распределения индикатора
теристики )(
ηM и )(ηD .
и найти его числовые харак-
85
Решение. По условию, индикатор есть дискретная случайная величина с рядом распределения
=
′
=
η
0
1
,
p q p
где .1 pq
−=
Согласно (3.2.2) имеем функцию распределения индикатора
≤
0,0
x
⎧
⎪
=
)(
xF
⎨
⎪
x
⎩
.
≤<
10,
xq
>
1,1
Найдём математическое ожидание и дисперсию:
η 10)(, .)1(110)(
ppqМ =⋅+⋅
222
pqppppD =−=−⋅+⋅=η
3. Плотность распределения
Плотностью распределения (плотностью вероятности или дифференциальной функцией)
назовём функцию вида
)()( xFxf
.
Согласно принятому выше соглашению для всякой непрерывной случайной величины Х
плотность распределения существуют (хотя бы в виде односторонней производной) всюду, за исключением, может быть, конечного числа точек.
Имеют место следующие свойства плотности распределения:
а) 0)( ≥хf для всех х;
b
б)
=<<
∫
a
;)()(
dxxfbXaP
в) функция распределения )( xF может быть восстановлена (по известной дифференциальной
функции) в виде
x
г)
+∞
1)( =
dxxf (свойство нормированности).
∫
∞−
=
dxxfxF )()( .
∫
∞−
Пример.
Плотность распределения задана в виде
<
x
⎧
⎪
)(
=
xf
⎨
⎪
⎩
≥
x
0,0
,
10,
<≤
xcx
1,0
где с – постоянная величина. Найти значение с, функцию распределения )(xF и вероятность
3
⎞
XP
<<
⎟
⎠
2
.
86
1
⎛
⎜
⎝
2
Решение. Согласно свойству г) нормированности имеем
<
откуда 2=c . Теперь
Найдём )(xF ; рассмотрим при этом все возможные здесь случаи:
Имеем
1) при
:
0≤x
2) при 10 << x :
3) при
1≥x
Таким образом,
+∞
∞− 0
0
∞−
:
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
+⋅=
+∞
x
∫
∞−
10
20)( xdxdxxF 101=⋅+
∫∫
∞−∞−
2
=⋅++⋅==
00)(1 dxcxdxdxdxxf
∫∫∫∫
0,0
<
x
10,2
<≤
xx
1,0
≥
x
;00)( =⋅=
dxxF
x
=+⋅=
xdxdxxF 20)(
∫∫
∞−∞−
x
∫
0,0
x
<≤
10,
xx
≥
1,1
x
1
0
)(
=
xf
0
)(
=
xF
1
1
0
2
2
0
0
=++ ,
1
ccx
2
.
x
dx
,
0≤x
2
;
.
,
10 << x
.
1≥x
.
Так как
3
2
1
),,1[
2
)1,0[
∈∞+∈ , то в соответствии с найденным видом )(xF , будем иметь
2
1
⎛
⎜
2
⎝
3
⎞
<< FFXP .
⎟
2
⎠
3
⎛
=
⎜
2
⎝
1
⎞
⎛
⎞
−
⎟
⎠
⎟
⎜
2
⎠
⎝
1
⎛
1
−=
⎜
2
⎝
3
⎞
=
⎟
4
⎠
4. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Пусть Х – непрерывная случайная величина (НСВ) и )( xf – её плотность распределения.
Математическое ожидание и дисперсия в этом случае определяются, соответственно, в виде
∞
2
и
= dxxfxXM )()(
∫
∞−
∞
()
−= dxxfXMxXD )()()(
∫
∞−
при условии сходимости указанных несобственных интегралов, причём сходимость предполагается
абсолютной.
Из определения дисперсии и свойства неотрицательности )(xf вытекает оценка .0)( ≥XD
87
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется в виде
−
≤
=
)()( XDX =σ .
Для вычисления дисперсии можно воспользоваться также формулой
∞
2
∫
∞−
()
−=
2
.
)()()( XMdxxfxXD
Пример.
Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения
;1,0
x
⎧
⎪
=
)(
xF
2
⎨
⎪
⎩
.0,1
x
>
;01,1
xx
≤<−−
Найти плотность распределения f (x) и числовые характеристики М(Х) и D(X).
Решение. По определению плотности распределения имеем
−≤
;1,0
x
⎧
⎪
′
=
=
)()(
xFxf
⎨
⎪
>
.0,0
x
⎩
≤<−−
;01,2
xx
Далее, имеем
0
∫
−
1
0
2
∫
−
1
)2()(
2
⎛
)2()(
−−−=
⎜
⎝
3
0
2
3
xdxxxXM
3
2
⎞
⎟
⎠
2
;
−=−=−=
3
−
1
0
2
4
xdxxxXD
4
−
1
1
4
=−−=
18
9
5. Специальные виды дискретных распределений
Дискретная величина Х с конечным перечнем значений
21
ной равномерным образом, если все её значения равновероятны: ....,,2,1,)( nkpхXР
Поскольку
n
=
p11, то 1
∑
k
=
np или
p1= .
n
Следовательно, ряд распределения Х имеет вид
Х
х
1
х
2
…
х
k
.
ххх ...,,,
называется распределён-
п
k
…
===
х
n
P
1
n
1
n
…
1
n
…
1
n
Найдём числовые характеристики равномерного распределения:
...
+++
)(
=
ХМ
ххх
ХD
п
88
2
2
121
)(,
=
п
22
+++
ххх
⎛
−
⎜
⎝
......
+++
ххх
⎞
21
п
2
пnп
.
⎟
⎠
Таким образом, равномерно распределённая случайная величина имеет математическое
n
k
=
=
=
λ
=
λ
=
=
ожидание, равное в точности среднему арифметическому всех значений случайной величины, а дисперсия равна среднему квадратов значений величины минус квадрат её среднего значения.
Пусть теперь дискретная случайная величина Х принимает значения, равные количеству появлений события А в п испытаниях, при условии, что в каждом вероятность р = Р(А) одна и та же;
pq −= 1 (схема Берн
улли). Её закон распределения называется
биномиальным; соответствующий ряд
распределения имеет вид
Х
P
0
n
q
1
… k … n
11
qpC
n
…
nkk
−
qpC
n
n
p
Название распределения объясняется тем, что сумма всех вероятностей представляет собой
сумму членов разложения бинома Ньютона
n
qp )( +
=1.
Биномиальный закон распределения широко используется при статистическом контроле качества продукции, при описании функционирования систем массового обслуживания, в теории стрельбы и т.д.
Как оказывается, математическое ожидание биномиальной случайной величины Х
npXM=)(,
а её дисперсия
npqXD
)(.
Дискретная случайная величина Х распределена по закону Пуассона с параметром λ, если она
принимает значения {0, 1, 2, ..., m, ...} с вероятностями
mmλ−
λ
e
===
mXPp
Закон Пуассона можно понимать как «предельный случай» (при ∞→n , )соnst
( ...,2,1,0
m ).
!)(m
=λ np
биномиального закона:
Х
P
0
λ−
e
1 2
2 λ−
λ−
λe
λ e
2
… m …
m λ−
e
…
λ
!m
…
Можно доказать, что математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределённой по закону Пуассона, совпадают между собою и равны параметру λ этого распределения:
,)(
XM
)(XD .
Пусть теперь в каждом опыте событие А имеет одну и ту же вероятность
10),( <<= pАрр и pq −
1, а случайная величина Х представляет собой число испытаний, про-
ведённых до первого появления события А. Обозначим через
p вероятность события, означающего,
m
что при первых m – 1 испытаниях А не произошло, а в m-м – наступило:
89
рр =
___
=
[
∈
ν
t
=
ν
(событие А наступило уже в первом опыте);
1
_
2
qpААрp == )(
но наступило во втором);
…
Таким образом, дискретная случайная величина Х имеет ряд распределения
(событие А не наступило в первом опыте,
mm1
−
)...()(
pqААААрmXpp
=⋅===
( ...,2,1
m ).
Х
1
P p Pq Pq
2 3
2
… т …
т – 1
…
рq
…
Распределение Х называется геометрическим; название объясняется тем, что вероятности p
образуют бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом p и знаменателем q.
Математическое ожидание случайной величины Х, имеющей геометрическое распределение,
равно величине, обратной появлению события в одном испытании:
XM1)( = .
p
Можно также доказать, что геометрически распределённая случайная величина Х имеет дисперсию
q
)(
XD =
Пример. Стрелок может попасть в мишень при каждом выстреле с вероятностью
.
2
p
1
=р
6
Какова вероятность того, что он попадет в мишень с третьего раза? Каково среднее число выстрелов,
которые нужно сделать для поражения мишени?
Решение. Здесь случайная величина Х – число выстрелов, сделанных до поражения мишени.
m
.
Имеем геометрическое распределение с вероятностью
числом проведённых опытов т = 3. Вычисляем
1
⎛
1)3(
−=== Xpp
3
⎜
6
⎝
Среднее число выстрелов есть математическое ожидание
1
)( ==
XM
p
6. Равномерное и показательное распределения непрерывных случайных величин.
Непрерывная случайная величина Х называется распределённой по равномерному закону
на отрезке
90
[]
ba,, если её плотность вероятности постоянна на этом отрезке:
⎧
=
)(
xf .сons
⎨
⎩
[]
∉
1
=р
наступления события в каждом опыте и
6
2
⎞
⎟
⎠
49
1
6
.
=⋅
216
.6
]
,,,
bax
,,,0
bax