Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы математического моделирования. Учебное пособие-2.pdf
Решение. Размах
⋅
А
R =
x
max
–
= 1,5 – 1,1 = 0,4.
x
min
Мода Мо = 1,3, так как эта варианта обладает наибольшей частотой, равной 40. Медиана
Me = 1,3, поскольку эта варианта расположена в середине вариационного ряда.
Объём выборки
n = 10 + 25 + 40 + 15 + 10 = 100.
а) Имеем
В
100
10
1,1
25
2,1
100
40
3,1
100
15
4,1
100
10
5,1
100
=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=x
.29,1
б) Далее,
222222
В
=−⋅++⋅+⋅+⋅+⋅=D
.0319,0)29,1(1,0)5,1(15,0)4,1(4,0)3,1(25,0)2,1(1,0)1,1(
Задача 2. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с известным средним квад-
ратичным отклонением σ = 4. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а по выборочной средней
x = 3,6, если объём выборки n = 64 и задана надёжность
В
оценки γ = 0,95.
Найдём t из соотношения Ф
95,0
)( ==t . Находим
475,0
2
t = 1,96.
496,1
98,0
Найдём точность оценки
=δ . Следовательно, доверительный интервал имеет
=
64
вид (3,6 – 0,98; 3,6 + 0,98). Иначе говоря, с надёжностью γ = 0,95 имеет место неравенство
2,62 < a < 4,58.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ: ПРИМЕРЫ ПРАКТИКО-ОРИЕНТИРОВАННЫХ
И ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАНИЙ
Задача 1 (матричная модель). Количество упаковок продукции, отгружаемой двумя оптовыми
базами в три магазина, представлено в следующей таблице:
М
1
М
2
М
3
База № 1 30 30 20
База № 2 40 20 50
Затраты на доставку единицы продукции в магазин 1М стоит 50 р., в магазин 2М – 60 р.,
М – 80 р. Построить таблицу ежедневных транспортных расходов каждой оптовой базы.
а в
3
Решение.
1. Содержательная модель уже представлена в условии задачи. Формализация условия – зада-
ние двух матриц (матрица, характеризующая объёмы отгружаемой продукции и матрица-столбец
транспортных расходов):
50
⎞
203030
⎛
=
⎜
⎝
⎞
и
⎟
502040
⎠
В
⎛
⎜
=8060
⎜
⎜
⎝
⎟
.
⎟
⎟
⎠
101
2. Поскольку затраты на доставку продукции в каждый магазин определяются в виде суммы
=⋅В
⋅+⋅+⋅
=
=
=
=
π
=
=
π
=
π
=
=−+
произведений количеств единиц отгружаемой продукции на значения соответствующих затрат, то
решение задачи строится в виде произведения матриц
50
⎞
⎛
203030
А ⋅
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
502040
⎠
⎟
⎜
⎜
⎜
⎝
60
80
⎛
=
⎜
⎟
⎝
⎟
⎠
802060305030
⋅+⋅+⋅
805060205040
4900
⎞
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎝
⎠
5200
.
⎟
⎠
3. Интерпретация модели: ежедневные транспортные расходы первой оптовой базы составят
4900 р., а второй – 5200 р.
Задача 2 (аналитико-геометрическая модель). Найти вместимость цилиндрического сосуда,
боковая поверхность которого, при компьютерном моделировании изображённая в прямоугольной
пространственной системе координат, имеет уравнение 44)1(
22
=−+ yх , плоское дно и плоская
крышка сосуда расположены, соответственно, в плоскостях 5и1
zz .
Решение. В данном задании содержательная модель уже формализована: следует определить
объём цилиндра.
22
При решении математической задачи заметим, что уравнение 44)1(
2
y
−
)1(
1
=
2
2
. Как известно, площадь эллипса с полуосями a
записано в виде уравнения эллипса
вычисляется в виде
и
b
. В нашем случае 2,1
abS π=
2
х
+
2
1
Высота сосуда 415 =−=h . Следовательно, объём сосуда ,shV
Итак, результат решения интерпретируется в следующем виде: вместимость сосуда равна
ba , так что площадь основания
т.е.
8V .
=−+ yх может быть
2S
8
.
кубическим единицам.
Задача 3 (введение в анализ: функциональная модель). Проценты погашаемого по «Золотой
карте» кредита, взятого в банке N начисляются по следующей схеме: первые 30 дней – проценты
не начисляются; кредит, полностью погашенный в любой из следующих 30 дней, облагается ставкой
10%; если же кредит погашается в любой из последующих дней, то он облагается ставкой 10% и
заёмщиком производятся дополнительные вып
ный срок, с коэффициентом
. Построить функциональную модель выплат процентов по креди-
K01,0
латы, кратные числу дней, превышающих двухмесяч-
ту K = 100 000 р. Какова сумма, выплаченная в качестве процентов по данному кредиту, если он полностью погашен на 70-й день?
Решение. В данной задаче требуется формализовать представленную содержательную модель,
т.е. построить последовательность
}{nt , где nt – выплата в рублях, превышающая сумму, взятую в
кредит, если кредит полностью погашается в п-й день.
Согласно условию задачи, искомая математическая модель представляет собою «кусочную»
последовательность, определяемую в виде
≤≤
;300,0
⎧
⎪
=
t
⎨
n
⎪
⎩
В частности, при 70=п получаем
102
n
≤≤
;6031,10000
n
nn
t
00020)6070(100000010
70
≥−+
.61),60(100010000
р.
Задача 4. (введение в анализ: модель стабилизации процесса). В некоторой северной стране
(
)
∞
=
()(
<
<
=
′
=
=−=
вирус гриппа распространяется по закону
22
22500
−−+= nnny
n
где 2≥n – число дней, прошедших с начала вакцинации, а
,
y
– число инфицированных граждан
n
в п-й день. Каково будет приближённое число инфицированных в любой из дней при стабилизации
процесса распространения болезни?
Решение. Процесс стабилизируется по истечении большого количества дней. Поэтому можно
рассмотреть предел данной последовательности при
→n
и считать, что значение этого предела и
есть искомое приближённое число инфицированных граждан. Таким образом, интерпретацией математической модели распространения болезни будет число
22
y
lim =
n
∞→
n
(
)
nnn
lim22500lim
=−−+
∞→∞→
nn
yy
lim . Имеем
n
n
∞→
⎛
⎜
2
2
⎝
2
2
nnn
22
nn
−++
⎞
)
22500
−−+
⎟
⎠
=
22
2000
lim
=
n
22
−++
nn
lim
==
∞→∞→
nn
22
n
2000
n
⎛
2
1
⎜
⎝
⎞
2
1
−++
⎟
nn
⎠
.1000
=
Ответ: 1000=y .
Задача 5 (дифференциальное исчисление: наибольшее значение величины). Для стоянки
машин выделена площадка прямоугольной формы, примыкающая с одной стороной к стене склада,
а другой (смежной) стороной к ограде парка. Каковы должны быть размеры площадки, если её предполагается огородить забором длиной 200 м и при этом занять под неё максимально возможную
площадь?
Решение. По представленной в условии содержательной модели построим модель математи-
ческую. Если длина площадки равна х, а ширина равна у , то по условию задачи .200=+ ух При этом
площадь .xyS = Имеем, таким образом, задачу нахождения наибольшего значения функции
)200( хxS −= при очевидном условии 2000
x .
Теперь применяем вышеприведённую стандартную схему исследования функции с помощью
производной. Находим xS 2200 −
, критическую точку
из условия 0=′S , и, определяя зна-
100
x
ки производной в интервалах )100,0( и )200,100(, имеем перемену знака в точке 100=x с плюса
на минус. Следовательно, максимальное (оно же – и наибольшее) значение функции
= SS
00010)100200(100)100(
, м2.
Задача 6 (дифференциальное исчисление: оптимизация расходов). Стоимость (в рублях)
расходуемого на 1 км пути топлива при движении теплохода против течения реки определяется
по формуле
60
3
v001,0)v(
v
kY ++= ,
v
где v – собственная скорость теплохода, а k – некоторый постоянный коэффициент, определяемый
опытным путём. При какой скорости движения v расходы на топливо будут минимальными, если
известно, что при скорости движения, равной 20 км/ч, стоимость топлива на 1 км пути составила 12 р.
103
Решение. В задаче представлена частично формализованная математическая модель. Остаётся
=
≈
−
определить коэффициент k. Для этого достаточно воспользоваться условием 12)20( =Y или
60
3
20001,012
k20
++⋅= , откуда .05,0
k
20
Таким образом, искомая математическая модель затрат на топливо имеет вид
60
3
v001,0)(
v
v05,0
++=vY
.
Теперь перейдём к исследованию модели средствами дифференциального исчисления. Имеем
60
′
Y
2
v003,0)v(
+−=
2
v
.05,0
Решая биквадратное уравнение
400
2
получаем .
v
= В соответствующей критической точке производная )v(Y′ меняет свой знак
3
24
060v05,0v003,0
=−+ ,
с минуса на плюс. Это значит, что наименьший расход топлива (и, следовательно, наименьшая его
стоимость) достигается при скорости
20
v ≈= км/ч.
5,11
3
Итак (интерпретация модели), расходы на топливо определяются соотношением
60
3
Y
v001,0)v(
v
и, при этом, наименьшие расходы будут при скорости теплохода 5,11
v05,0
++=
v км/ч.
Задача 7 (моделирование средствами дифференциальных уравнений). Материальная точка
t
массы m подвержена действиям силы упругости ykF
=
и внешней силы
1
−
ektf
=)(. Положение
2
точки в начальный момент и при 1=t заданы: 0=(1) 0,=(0) yy . Определить процесс её колебаний
относительно положения равновесия. Решить задачу в случае следующих значений коэффициентов
пропорциональности: mkmk 2= ,=
21
. Определить приближённо значение y в момент 5=t .
1. Содержательная модель. Постановка математической задачи. В сответствии с условием
задачи действием всех возможных сил, кроме силы упругости и внешней силы, можно пренебречь.
В этом случае, согласно второму закону Ньютона, имеем равнодействующую сил в виде
t
′′
=
−
ekykym
+−
.
21
Таким образом, получено дифференциальное уравнение колебаний. Кроме того, заданы
краевые условия : 0=(1) 0,=(0) yy . Имеем краевую задачу:
−
⎧
′′
⎪
⎨
⎪
⎩
0,=(0)
y
0.=(1)
y
t
ekekym
+−=
21
( mkmk 2= ,=
21
)
104
2. Решение математической задачи. Если подставить значения 1k и 2k в уравнение и поделить
+′′
±=λ
+
t
обе его части на
m , то
−
⎧
′′
+
⎪
y
⎨
⎪
y
⎩
t
2=
eyy
0,=(0)
0.=(1)
Найдём сначала общее решение oy соответствующего однородного уравнения:
0=yy
;
Здесь i±=λ
012=+λ ; i
– комплексно сопряжённые корни характеристического уравнения,
2,1
;
2,1
tCtCy
.sincos=
21o
произвольные постоянные.
Частное решение неоднородного уравнения имеет следующую структуру:
−
ч
t
const,=
=
AAey
.
Применяя метод неопределённых коэффициентов для нахождения A , получаем
Общее решение неоднородного уравнения теперь принимает вид
t
−
.sincos=
etCtCy
++
21н
Воспользуемся краевыми условиями, подставив в общее решение одновременно
С и 2С –
1
tey−
=
ч
.
и
0=t
0=
y , а затем 1=t и 0=y . Имеем систему двух линейных уравнений относительно
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
21
21
Подставляя найденные значения
0
eCC
++
eCC
++
C и 2C в запись общего решения, получаем искомый закон
1
,0=0sin0cos
−
1
.0=1sin1cos
⇔
C
⎧
⎨
⎩
,1
−=
1
()
eC
2
⋅−=
−
1
.1sin1ctg
C и 2C :
1
движения
11 t
−−−
.sin1)sin1ctg(cos=
etety
+−+−
3. Интерпретация модели. Полученный закон движения позволяет определить положение
колеблющейся точки в любой момент времени .
В частности, при
−−−
eey
5=t
511
47,05sin1)sin1ctg(5cos=(5)
−≈+−+−
.
С точки зрения физики, отрицательное значение (5)y означает, что точка отклонилась
от положения равновесия в сторону, противоположную положению, занимаемую ею в начальный
момент.
Задача 8 (стохастическое моделирование). Заводской отдел контроля качества исследует сто-
хастические закономерности брака при массовом производстве однотипных изделий. Штамповочный
автомат производит в среднем 95% качественных изделий. Требуется определить:
105
а) вероятность того, что брак впервые обнаружится при контроле п-го по счёту изделия
−
−
=
−
(
n = 1, 2, …);
б) вероятность того, что для первого обнаружения брака придётся проводить не менее
тов (
n = 2, 3, …);
в) среднее число опытов, проводимых до первого обнаружения брака.
Решение. Данная содержательная модель может быть трансформирована в геометрическое
распределение дискретной случайной величины
Х – числа опытов (наблюдаемых изделий), проводи-
мых до первого обнаружения брака.
пХРР
Получим, прежде всего, формулу вычисления вероятности )(
кованным
п-го по счёту изделия, при условии, что первые 1
п изделий оказались качественными.
п
== обнаружения бра-
Используя формулу вероятности произведения независимых случайных событий, будем иметь
1
Р
п
−п
)95,01(95,0
−=
или
Р
п
1
п
95,005,0−⋅=
.
Событие проведения не менее п опытов до первого обнаружения брака противоположно тому,
что опытов проведено не более 1−
)1( −≤
nХP есть сумма вероятностей попарно несовместных событий, состоящих в обнаружении
п . Следовательно, )1(1)( −≤
≥ nХPnХP . При этом
п опы-
брака впервые при
k-м опыте (1...,,2,1
= nk ). Таким образом,
−
1
n
−=≥
1)(
∑
k
=
1
PnХP или
k
nХP .
Остаётся вычислить сумму п членов полученной геометрической прогрессии:
1
n
−
∑
k
=
1 п
k
−
05,095,005,0
1
95,01
−
⋅=⋅
95,01
−
Теперь
nХP =≥
п
Наконец, среднее число опытов, проводимых до первого обнаружения брака, есть математи-
ческое ожидание данного геометрического распределения:
обнаружения брака 05,0=
р и искомое среднее число опытов .20)(=XM
Ответы (интерпретация модели):
1
−
п
95,005,0)(
а)
пХР ;
⋅==
−
1
n
∑
k
п
⋅−=≥
=
1
−=
1
−
k
95,005,01)(
.95,01
.95,0)(
1
)( = . В нашем случае вероятность
XM
p
б)
XM
в) .20)( =
nХP 95,0)( =≥ ;
п
106
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Владение основами математического моделирования – важная составляющая математической
подготовки бакалавров. В рамках курса «Высшая математика» имеются широкие возможности для
решения задач практико-ориентированного и прикладного характера. В процессе работы над ними
обучающийся осуществляет трёхэтапный процесс моделирования: формализует содержательную
модель, выполняет «внутримодельное» решение и, наконец, интерпретирует полученные математические результаты в терминах исходной предметн
Студенту необходимо получить представление о том, что математические знания и умения
могут быть использованы в следующих предметных областях (областях моделирования).
Перечень областей математического моделирования
Вопросы содержания Области моделирования
ой области.
Матрицы, определители, системы линейных
уравнений
Экономика.
Квантовая механика, электротехника, уравнения
тока.
Векторная алгебра Классическая механика, теория относительности,
квантовая физика, сопротивление материалов
Уравнения прямых и плоскостей, линий и
поверхностей второго порядка
Проектирование конструкций (архитектура, строительство, машиностроение), стохастика (линейная
регрессия)
Дифференциальное исчисление Анализ протекания процессов (скорости, тенден-
ции и др.)
Интегральное исчисление
Механика (работа, масса, координаты центра
тяжести, статические моменты и др.).
Экономика (прогнозирование материальных затрат,
определение объёма выпуска продукции, определения экономической эффективности капитальных
вложений).
Биология (численность и биомасса популяций)
Навыки математического моделирования, заложенные в курсе высшей математики, находят
затем применение в процессе решения студентами профессионально-ориентированных и квазипрофессиональных задач.
107
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Бордовский, Г. А. Физические основы математического моделирования / Г. А. Бордов-
1.
ский, А. С. Кондратьев, А. Д. Чоудери. – М. : Издательский центр «Академия», 2005. – 320 с.
2.
Концепция развития российского математического образования [Электронный ресурс]. –
URL : www.math.ru/conc/vers/conc-3003.htm (дата обращения : 01.09.2017).
Куликов, Г. М. Математическое моделирование механических колебаний и процессов
3.
тепломассопереноса / Г. М. Куликов, А. Д. Нахман. – Тамбов : Изд-во Тамб. гос. техн ун-та, 2013. –
96 с.
4. Федеральные Государственные Образовательные Стандарты [Электронный ресурс]. –
URL : Минобрнауки.рф/документы/336 (дата обращения : 01.09.2017).
5.
Федотов. А. М. А. А. Ляпунов и математическая биология. В кн. Алексей Андреевич
Ляпунов. 100 лет со дня рождения / А. М. Федотов. – Новосибирск : Академическое изд-во «Гео»,
2011. – 587 с.
108
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ. ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ …………………………………. 3
1. КОНЦЕПЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ …………………………………... 4
1.1. Математическое моделирование: концепция и этапы ………………………………………... 4
1.2. Компетенция математического моделирования ……………………………………………… 6
1.3. Вопросы содержания математической подготовки, формирующей компетенцию
математического моделирования ……………………………………………………………… 7
2. МОДЕЛИ ЛОГИЧЕСКОГО ТИПА ………………………………………………………………… 12
2.1. Элементы математической логики …………………………………………………………….. 12
2.2. Элементы теории алгоритмов ………………………………………………………………….. 21
ИТОГОВЫЙ ТЕСТ ………………………………………………………………………………….. 28
3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КАК СРЕДСТВО МОДЕЛИРОВАНИЯ ……………………... 32
3.1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной ……………………………….. 32
3.2. Интегральное и
3.3. Моделирование средствами дифференциального исчисления функций нескольких
переменных ……………………………………………………………………………………… 53
3.4. Кратные и криволинейные интегралы ………………………………………………………… 61
3.5. Дифференциальные уравнения ………………………………………………………………… 67
4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ………………………………….………………………………... 75
4.1. Вероятность случайного события ……………………………………………………………... 75
4.2. Случайные величины …………………………………………………………………………… 81
4.3. Статистические модели ………………………………………………………………………… 97
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ: ПРИМЕРЫ ПРАКТИКО-ОРИЕНТИРОВАННЫХ
И ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАНИЙ …………………………………………………………………………. 101
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………….……………………………………………………… 107
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ………………………………….…………………………………………… 108
счисление функций одной переменной ……………………………………... 43
109
Учебное электронное издание
РОДИОНОВ Юрий Викторович
НАХМАН Александр Давидович
110
ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ
Инженер по компьютерному макетированию Т. Ю. Зотова
ISBN 978-5-8265-1886-1
Учебное пособие
Редактор И. В. Калистратова
Подписано к использованию 04.04.2018.
Тираж 50 шт. Заказ № 105
Издательско-полиграфический центр
392000, г. Тамбов, ул. Советская, д. 106, к. 14
Тел. 8(4752) 63-81-08.
E-mail: izdatelstvo@admin.tstu.ru
ФГБОУ ВО «ТГТУ»