Так как из (10.10) следует, что г в данном случае может прини мать только положительные значения, следовательно, матема тическое ожидание высоты сечения будет равно mh = 0,1390 м.
10.5. Р асч ет статически определимой балки на надеж ность — прямая задача теории надежности
(задача № 3 1 )
Для однопролетной статически определимой стальной балки длиной / = 2 м, свободно лежащей на двух опорах (см. рис. 10.5).
Ширина |
поперечного сечения балки b = 0.05 м, допускаемый |
прогиб |
[ /] = - i - |
/ = - i - • 2 = 0,00714 м, и предполагая, что |
|
280 |
280 |
случайные величины: Р — внешняя сила, А — высота поперечного сечения, с — предел текучести материалов конструкции, распреде лены по нормальному закону, требуется определить:
1.Вероятность появления краевой текучести P J .
2.Вероятность образования пластического шарнира и превраще ния конструкции в механизм (вероятность разрушения) P f .
3.Определить вероятность невыполнения условия жесткости
балки, т.е. превышения P fM .
Принять случайными следующие величины: предел текучести ат, внешнюю нагрузку Р и высоту сечения h .
Внешняя случайная нагрузка Р имеет следующие параметры рас пределения: математическое ожидание тр = 30 кН; стандарт рас пределения Sp = 3 кН.
Случайный предел текучести от характеризуется параметрами: математическое ожидание ms = 2.4-105 кН/м2; стандарт распределе ния Ss = 2.4-104 кН/м2.
Высота сечения имеет параметры распределения: математическое ожидание mh = 0.1 м; стандарт распределения S/, = 0.001 м.
1. Определим вероятность появления краевой текучести P J . Функция работоспособности имеет вид:
g = oT- 3PI
2bh1
Т а к к а к ф ун к ц и я работоспособности н е л и н е й н а о т н о с и т е л ь н о
сл учай н ы х аргум ентов, то п ри м ен и м м етод стати ст и ч еск о й л и н е а р и зац и и . О пределим частны е п рои звод н ы е
dg |
dg__ |
J l _ . |
|
Зат ’ |
д Р ~ ~ 2Ькг ' |
ch~ bh3 ' |
Д алее находим м атем атическое |
о ж и д ан и е |
и ста н д ар т ф у н к ц и и |
работоспособности |
|
3тР1 |
|
|
|
|
|
|
Ж щ Х ’ |
Подставив значения, получим |
+Kw)) |
|
mt = 60000 кН /м 2; |
Sg = 30215 к Н /м 2. |
Вероятность безотказной работы |
|
* |
= г фС'98б) = 0-9765' |
тогда вероятность появления краевой текучести |
P J = \ - Р , = 1 - |
0,9765 = 0,0235. |
2.Определим вероятность образования пластического ш арнира и
превращения конструкции в механизм (вероятность разруш ения)
И з табл. 9.1. следует, что для сечения в форме П рямоугольника, пластический момент сопротивления прямоугольного сечения ра вен:
= w .
Тогда функция работоспособности примет вид
Р1
Применяя метод статистической линеаризации, получим
dg = 1, |
____ / _ . |
dg |
2Р1 |
do"j |
дР " .bh2 ' |
oh |
bh3 |
Для числовых характеристик функции работоспособности будем иметь
^ - = 120000 к Н М
Ь(.т„ ) 2
1^ 5 4 ^ 4 ^W -
■^ +W -isp ))’+(s* f e ) ) ! = 26940кН/и!
Вероятность безотказной работы в данном случае принимает значение
Л*М ?И+*(Э 4 +ф(4-454)=ода9958'
тогда вероятность разрушения
Р / = 1 - Г, = 1 - 0,9999958 = 4,2 • 10"4 .
3. Определим вероятность превышения допускаемого значения
прогиба РуК
Для рассматриваемой балки максимальный прогиб имеет место в середине пролета. Его значение можно определить одним из из вестных способов, например, по методу начальных параметров или по формуле Мора. В результате получим
/п" 4SEI, ’
где Е — модуль упругости Е = 2 • 108 кН/м2; 1Х - момент инер
ции сечения, для прямоугольного сечения
1-
х" 12 *
Функция работоспособности записывается в виде
g - - W - f m = 0 - 0 0 4 - ^ .
Из предыдущего выражения видно, что прогиб не зависит от предела текучести ffT, а функция работоспособности нелинейна
относительно случайных аргументов. Поэтому применяем метод статистической линеаризации.
Получим
Для числовых характеристик фуйкции работоспособности по лучим
=0,004~4 ^ 7 =0,00И4м:;
я) +(*•») =-
■«Ы) *W* ^ ) ) 1-°'0006264м
Далее определяется вероятность безотказной работы для приня того вида отказа
тогда вероятность превышения допускаемого значения прогиба
Р}л = 1 - Р, = 1 - 0,9656 = 0,0344.
Сведем полученные результаты в табл. 10.4.
|
|
|
Таблица 10.4 |
Вероятность |
Появление |
Возникновение |
Превышение |
отказа |
краевой |
механизма |
допускаемого |
|
текучести |
(разрушение) |
значения |
|
|
|
прогиба |
pf |
Р} = 0,0235 |
Р / = 4,2 Ю-4 |
Р\п = 0,0344 |
Откуда следует, что потеря жесткости балки обусловлена наи большей вероятностью.
10.6.Расчет поддерживающих устройств контактной
сети (задача № 3 2 )
Постановка задачи
На электрифицированных железных дорогах подвод элек трической энергии к электроподвижному составу (электровозу, мо торному вагону) осуществляется путем касания токоприемника электровоза контактных проводов. К устройствам контактной сети относят все провода контактных проводок, поддерживающие и
фиксирующие конструкции, а также опоры с деталями для их за крепления в грунте. К устройствам воздушных линий относятся провода различных линий и конструкций для их крепления на опо рах с контактной подвеской и на самостоятельных опорах.
Провода контактных подвесок удерживаются в необходимом по ложении относительно оси пути с помощью опор, поддерживающих и фиксирующих устройств. Опоры располагаются в стороне от пути на определенном расстоянии от его оси (называемым габаритом). Подвешивание проводов к опорам и закрепление их на определен ной высоте от уровня головки рельса производится с помощью под держивающих устройств.
Устройства контактной сети и воздушных линий, подвергаясь воздействиям различной природы, должны успешно им противосто ять, обеспечивая бесперебойное движение поездов. Эти устройства образуют специфические конструкции, которые рассчитываются, помимо механических, на специфические нагрузки (значительные перепады температур, сильные ветры, гололедные образования и пр.). Еще одной отличительной особенностью таких конструкций является то, что контактная сеть, в отличие от других устройств электрифицированной железной дороги, практически не имеет ре зерва, что необходимо учитывать в процессе проектирования, доби ваясь возможно более высокой надежности ее в условиях эксплуа тации.
На станциях и многопугных перегонах цепные подвески подве шиваются на гибких (из тросов) или поперечинах (АЕ, LB) , кото
рые крепятся на опорах, устанавливаемых по обе стороны от пере крываемых путей (рис. 10.7).
В изображенной расчетной схеме контактной подвески (рис. 10.7) введены следующие обозначения:$ — нагрузка от веса несу щего провода; Рт— горизонтальная составляющая от веса несу щего провода; 3 — угол наклона тяги по отношению к консоли; а
— угол наклона между направлением усилия S и горизонтальным усилием Рг; * — вес погонного метра одного швеллера; G — вес одной подвески; Ап — высота подвески; L — расстояние между опорами С и 0.
Принимая, что поперечное сечение консоли СО и подвесок АЕ и BL состоят из двух швеллеров, при следующих исходных данных:
а = 0.4 м; с = 0.4 м; d= 0.2 м; |
3 м; L = 4 м; а = 20е; р = 30°; |
Л„ = 0.8 м ;£ = 1.6 кН; |
|
для консоли (швеллер №8): |
|
(5, = 7.05— |
= 0.0705— ; /; = 89.4-Ю"* м4;/, = 8.98-ИГ4 мг; |
м |
м |
WI = 214 -ИГ6 м1);
для подвески (швеллер №5):
(ft = 4.84— = 0.0484— ; /" = 228 •КГ* м4;
мм
W* = 9.1 • КГ* м3; Р2 = 6.16 • КГ4 м2), от действия собственного
веса и эксплуатационных нагрузок, требуется:
1.Проверить геометрическую неизменяемость системы.
2.Определить опорные реакции.
3.Вычислить величины внутренних усилий.
4.Проверить равновесие всех узлов.
5.Построить эпюры внутренних усилий.
6.Проверить прочность и устойчивость заданной системы.
7.Рассчитать надежность заданной системы.
Решение
1, Проверить геометрическуюнеизменяемость системы
Приступая к расчету всякой шарнирно-стержневой системы, не обходимо убедиться в геометрической неизменяемости системы и определить степень статической неопределимости.
Для каждого узла шарнирно-стержневой системы (фермы, балки и т.д.) можно записать два уравнения равновесия: £ Z = 0 H J;Y = 0. Пусть система содержит К узлов. Тогда для
каждого из них можно составить 2К уравнений равновесия, при по мощи которых должны быть найдены усилия во всех стержнях сис темы и три неизвестные опорные реакции. Любые другие уравнения равновесия для отдельных частей системы могут быть получены из
этих уравнений, а потому не дадут новых условий доя определения неизвестных усилий.
Следовательно, шарнирно-стержневая система будет статически определима, если число ее стержней С равно удвоенному числу уз лов К минус 3:
С = 2 * - 3 .
Чтобы определить степень статической определимости или неоп ределимости, необходимо учесть опорные стержни и опорные узлы. Тогда последнее условие примет вид
С + Соп= 2(К + Ко,).
В нашем случае имеем К= 1, С = 2, |
Соп = 4, |
= 2. Тогда |
2 + 4 = 2(1+2); |
6 = 6. |
|
Следовательно, все стержни данной статически определимой системы являются, с точки зрения геометрической неизменяемости, безусловно необходимыми, т.е. в этой системе нет ни одной лиш ней связи.
2. Определить опорныереакций
Вначале вычислим вес подвески, состоящей из двух швеллеров №5
G = 2 q2 hn * 2 • 0.0484.0.8 = 0.077 к Н ,
а также вертикальную и горизонтальную составляющие нагрузки от веса несущего провода S
Ръ = S • sin а = L6 • 0.342 = 0.547 кН;
Рг = S c o s a = 16 0.9397 = L5KH.
Далее определим усилие Т в тяге DK. Для этого проведем сечение m—m (рис. 10.7) и составим для отсеченной правой части уравнение 'ZMg9** = 0 :
-T h r+ ^ d ^ i - G a + e (L - d ) + P,a + P ,(L -d )-P rfin + PThn =04
Откуда, учитывая, что плечо Лт усилия в тяге Т относительно точки С можно определить из геометрических соображений
Аг = (л + 7)sin р = (0.4 + 3) • 0.5 = L7 м ,
определим
lSl]L + Ga + G (L -d ) + Pma + Pt (L - d )
г |
= |
% |
= |
|
|
2 0.0705 |
42-+ 0.077 ■0.4 + 0.077 • (4 - 0.2) + 0.547 • 0.4 + 0.547 • (4 - 0.2) |
2 |
|
L7 |
|
|
|
|
|
|
• 2205 кН. |
|
Теперь можно определить реакции в опорных узлах С и D. Выре зая узел D (рис. 10.7), можно определить составляю щ ие реакции
HD,Yd , возникающие в опоре |
А Д ля этого |
составим уравнения |
равновесия узла £ Z |
= 0 и |
£ Y |
= 0 |
|
|
|
\-H D+ 7’ c o s p = 0; |
|
|
|
{ |
- Г |
• sin р = 0, |
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
(ffD= 7 ’ - c o s p = 2 2 0 5 • 0.866 = |
1.9095 к Н ; |
{ YD = Т ■sin 3 = 2 2 0 5 • 0.5 = 1.1025 к Н . |
Для определения |
Hc mYc рассмотрим систему |
в целом (рис. |
10.7) и снова составим два уравнения равновесия |
|
J.Y = |
YD + Yc - |
L - 2PU- |
2G = |
0, |
откуда |
|
|
|
|
|
Yc =-YD+2qiL + 2Pm+ 2G = |
|
= -1Д 025 + 2 • 0.0705 • 4 - |
2 • 0.547 - 2 • 0.077 = 0.71 к Н . |
И з уравнения £ Z |
= 0 получаем |
|
|
|
- Я * + Я с + Рг - Р г = 0, |
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
Я с = Я Л = 19095 к Н . |
|
|
После вычисления опорных реакций необходимо проверить пра вильность их определения.
Для этого проверим, удовлетворяется ли уравнение равновесия Т.М0 = 0 , (рис. 10.7):
{rc+r„)L- Ивh- (в + 4 ) • (/ + с +d)- (<? + Р.) d- |
= 0. |
Если учесть, что
А = (а +1)tg р = (0.4 + 3) • 0.547 = L96 м ,
то получим
(0.71 +1.102) • 4 -1 9 0 9 5 • 1.96 - (0.077 + 0.547) •(3 + 0.4 + 0.2) -
- (0.077 + 0547) •0.2 - 2 j .°705 4i = 0; 7.248-7.240 » 0 .
Следовательно, опорные реакции вычислены верно.
3.Вычислить величины внутреннихусилий
На расчетной схеме подвески (рис. 10.7) наметим характерные сечения: 1—1; 2—2;... 13—13. Рассмотрим расчет усилий в участках,
расположенных между характерными сечениями. |
|
|
|
|
Участок О—L (0—11. 0 <, Z\ й 0.2 м |
(рис. 10.8). Для определения |
неизвестных величин внутренних силовых факторов |
|
Л/, |
со |
ставим три уравнения равновесия |
|
)у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е Г = 0; |
а - 2 « , г , = 0 ; |
„ |
о» |
|
|
|
£ Z = 0; |
ЛГ, = 0 ; |
яНЕ |
Й |
' |
- |
1 |
|
|
|
£ 4 / , = 0 |
! « L £ L . + 4 / , = 0 |
|
р и с . 1 0 .8 |
|
|
Решая эти уравнения относительно неизвестных внутренних уси лий, получим, что
|
|
|
|
Qi = 2 д1 zi\ |
|
|
|
|
ЛГ, = 0 ; |
|
При z\ = 0 имеем |
М х = -qx z l |
|
= 0; ЛГ, = 0; Мх = 0. |
|
|
|
б, |
|
При z\ —0.2 м следует, что |
|
б , |
= 2 • 0.0705 • 0.2 = 0.0282 кН ; ЛГ, = 0; |
|
ЛГ, = -0.0705 ■0.22 = -0.0028 кН. |
|
(рис. |
10.9). |
1 |
|
Из |
£ |
Z = 0 следует, что |
|
|
|
|
Q2 - P T= 0,т.е. б 2 = Рг = 1.5кН. |
|
Из £ |
Y = 0 имеем |
|
|
|
|
- N 2+G + Pb = 0, |
откуда
N 2 = G + Pv = 0.077 + 0.547 = 0.624 кН.
И з |
|
= 0 можно получить, что |
|
|
|
|
М2 + Ри Z2 = 0 или |
М2 * |
- Л *2• |
При ф = 0 будем иметь М2 = 0 . |
|
|
|
При *2 = 0.8 м получим: М2 - - L 5 • 0.8 = |
- 1 2 к Н м . |
Сечение 4-^4 ZA* 0.2 м (рис. 10.10). |
Из |
Ъ ? - 0 следует, что |
|
|
У |
|
|
|
|
|
a - 2 f t 0 . 2 - ( G + P .) = 0, |
|
м. |
|
|
откуда |
|
- |
|
|
Q2 = 20.0705 2 + 0.624 = |
{ |
L |
О |
|
|
= 0.652 кН. |
«4 |
1 |
|
Рассматривая £ 2 - 0 , по |
|
|
6 |
-1 |
|
|
|
лучим |
N 4 +Pt = 0,т.е . |
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= -Рг = - 1 5 к Н . |
|
|
Рис. 10.10 |
|
|
Из X М л = 0 следует, что |
|
|
|
^ |
+ f r O,8 + 2 * H l = o, |
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
М < = “(?г°'8+4l °'22) = “l1-5'08 +007°5 • 0.22) = -1.2028кНм.
Участок L -K (4 -5), 0.2 S г5 £ 0.6м (рИс |
|
^ |
|
|
|
У |
|
|
Z У = |
Оследует, что |
|
|
|
|
~ 2 9I Z$ - ( G + Рь) = 0,т.с. |
|
|
Q, |
2ц, |
|
|
|
|
б з » 0.141 • zs + 0.624. |
N, |
ч |
-4 |
* |
^ T i . *. |
1 |
|
L |
ПРИ <5 = 0.2 м |
|
|
|
L |
___ |
d 1 |
Сз = 0.14V. 0.2 + 0.624 |
= 0.652 кН . |
|
|
|
рг----- |
В |
ПРИ г5 = 0.6 м |
|
|
|
|
|
|
|
б з = 0 .1 4 1 .0 .6 + 0.624 |
= 0.708 кН . |
|
|
|
Рис. 10.11 |
Из £ ■? = о |
имеем |
|
|
|
|
~ ^ з |
- |
Р, = 0, |
откуда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ns = - 1 .5 к Н . |
Из £ Afs = О можно получить, что |
|
|
|
|
|
М, ♦ ^ |
+ Р' ■0.8 + (G + J» ,). ^ |
|
_ 0 2) = , |
откуда имеем 390
