книги / Строительная механика.-1

Применим к системе (5.128) преобразование Лапласа

00

где j — параметр изображения; f t(s) — изображение оригинала Pi(t). Используя теорему свертки

J[fR' (*~т) ( т> е '" dt=Rx(s)R: (s),

где Ri(s) изображение оригинала /?,(/), получим следующую

систему, состоящую из двух алгебраических уравнений относите­ льно неизвестных f t(s):

251

Рк(к=1, 2) квадратного уравнения определяются по формуле

A = ^ ( - d ,± V 5 M 4 ,) ,

где di=bi/b2t do=bofb2i а значения корней ак(к=\, 2, 3, 4) уравне­ ния четвертого порядка определяются по формуле

Здесь приняты следующие обозначения:

Величина Wo, в зависимости от знаков р и р 3+ л2, соотношения г „ = ± ч /й . где знак г0 должен совпадать со знаком п, опре­ деляется:

2 5 2

п р и р сО , р 3+ п 2< 0 , н»о= —2r<jCos^, <р= arccos^ J;

п р и р с О ,р 3+ л 2> 0, w0= - 2 r 0ch^, < p = a ic c h ^ ;

при р^О , w0= —2r0sh^, q>= arcsh

Возвращаясь к выражению (5.131) и применяя обратное пре­

образование Лапласа, определим выражение результирующих усилий:

В заключение рассмотрим решение частных задач. Сначала рассмотрим решение задачи, в которой принимаем преграду абсолютно жесткой (рис. 5.27, а). При ы2(*)=0 из (5.123) получим

Из решения последнего уравнения получим:

при — ■ > 1 Л (/)=

Ъпщх

Ж Я 1'

253

чески приближаясь к нулю. При периодическом характере измене­ ния этих величин, как правило, после первого полупериода их амплитудные значения резко уменьшаются.

Заметим, что отрицательные значения периодической функции Pi (/) не имеют физического смысла, так как в действительности при возникновении отрицательной результирующей силы Р, (г) на контактной поверхности между телом и преградой должен проис­ ходить отрыв. Поэтому при выполнении практических расчетов необходимо ограничиться рассмотрением только первого полупе­ риода функции Pi (Г).

Далее рассмотрим соударение абсолютно твердого тела с пре­ градой в виде упруговязкой системы с одной степенью свободы (рис. 5.27, б).

В данном случае для абсолютно жесткого тела имеем следу­ ющие очевидные соотношения С |=^| = оо. Следовательно, из (5.121) и (5.120) соответственно вытекает и2(0 = 0 , ы, (г) = и(t). При этом уравнение равновесия (5.122) преобразуется к следующему

2 5 4

В данном случав несложно заметить, что (5.135), (5.125)

и(5.126) составляют замкнутую систему уравнений относительно

Л(0» f t (0» «г(0-

Врезультате совместного рассмотрения (5.126) и (5.134) по­

лучим

и применяя к уравнению (5.137) интегральное преобразование Лапласа, получим

*i(0*a£m i® bfe ‘v , n = l .

2 5 5

При расчете величин контактных усилий с учетом податливо* ста преграды (конструкции) в виде системы с одной степенью свободы необходимо предварительно определить частоту основ*

ного тона собственных колебаний преграды со2=л/с2/т2, жест­ кость с2 и приведенную массу тг.

С этой целью ниже приводятся общеизвестные выражения частоты и жесткости наиболее часто применяемых конструктив­ ных элементов в различных областях техники.

Рассмотрим однопролетную балку с двумя шарнирно опер­ тыми концами, постоянным поперечным сечением, длиной / и рав­ номерно распределенным весом q. Заменяя распределенную массу сосредоточенной и закрепляя ее в середине пролета балки, по­ лучим:

Консольная балка с сосредоточенной приведенной массой т2 на свободном конце при тех же обозначениях, что и в предыдущем случае:

Однопролетная балка с обоими жестко заделанными концами при тех же исходных данных:

Однопролетная балка с одним жестко заделанным концом, а другим шарнирно опертым:

2 5 6

Круглая пластина, жестко закрепленная по контуру, радиусом Я, толщиной h, модулем упругости Е, коэффициентом Пуассона ц, и удельной массой материала y/g:

Круглая пластина, шарнирно опертая по контуру:

Л2 V 12у(1—/I2)’ С2_3(1-^)(3+л)Л2'

Прямоугольная йластина длиной а, шириной b (а'&Ь), при различных краевых условиях их закрепления:

Здесь величина коэффициента %в зависимости от характера закрепления контура пластины принимает следующие значения:

пластина, шарнирно опертая по всему контуру:

n*(a2+b2)Eh3

Х=9.87

192(1—/I2) * Ъ г*

пластина, жестко защемленная по всему контуру:

V1

пластина, защемленная по сторонам длиной а и шарнирно опертая по сторонам длиной 6:

Z=9.87 y i + 2.566 Q 1+ 5.t 38 ( 0 " ;

пластина, жестко защемленная двумя сторонами, сходящими­ ся в одной вершине по контуру, и шарнирно опертая по двум другим:

пластина, жестко защемленная одной стороной длиной а и ш а­ рнирно опертая остальным контуром:

пластина, жестко защемленная тремя сторонами и шарнирно опертая стороной длиной а:

5.14. Расчет контактных усилий при соударения летящего тела с плитой

(задача № 18)

Рассмотрим расчёт максимального значения контактной силы, возникающей при поперечном центральном ударе тела о железо­ бетонную плиту размерами а =14.4 м, Ь = 7.8 м, h= 0.6 м, защем­ ленную по контуру.

Принимаем объемный вес материала плиты у= 25 кН /м 3, при­ веденный модуль упругости материалов £ = 0 .3 5 '108кН /м 2, коэф­ фициент Пуассона д = 0 2.

Рассмотрим соударение тела с плитой в форме цилиндра с характеристиками: Лт =0.8 м2 — площадь контактной поверх­

=0.3 — модуль упругости и коэффициент Пуассона материалов.

Решение.

1. Определить динамические характеристики плиты.

2 5 8

Сначала определим частоту основного тона собственных коле­ баний прямоугольной плиты, защемленной по контуру:

Далее определим приведенную жесткость плиты:

[20.805(d*+Ь♦)+! 1.88^62]Eh 3 12(1—д2)а 363

Следовательно приведенная масса плиты принимает значение

2. Определить динамические характеристики тела. Рассматриваем тело как стержень со свободным верхним кон­

цом и защемленным на контактной поверхности с плитой в виде

2 5 9

упругой системы с одной степенью свободы. Определим линей­ ную жесткость и круговую частоту собственных продольных коле­ баний:

2/ у у 2*1.5У

Приведенная масса принимает значение:

5.С применением различных моделей взаимодействия опреде­

лить максимальное значение контактной силы Л т ю время ее на­ растания /я и продолжительность действия tn.

Сначала предположим тело идеально упругим, а преграду абсолютно твердой (рис. 5.28, а). В этом случае из первого выражения (5.133) получим:

Pimu=/niO)1vo=0.0828 • 5249 • 100 =43462 кН;

л314

tM= —= —-— =0.0006 с; О)! 5249

Гп=2*я=0.0012 с.

Далее рассмотрим случай одновременного учета упругих свойств тела и преграды при их соударении как упругой системы

содной степенью свободы (рис. 5.28, б). Принимая rii=ti2=oo3 из (5.130) получим

S*+<B2

M s)= -

f +ш |+ — л2+ o>Ja^

(5.139)

Вводя обозначения

Рис. 528

2 6 0