книги / Строительная механика.-1

а , = а г = а 2 = < 7 , = 3 + ц 3qR2 h2 '

Наибольший прогиб возникает при г = 0:

w_ 5 + ц * Л 4

““ "■1 + Ц 6 4 5 *

7.4.Расчет пластины, нагруженной сосредоточенной силой

(задача № 2 Г)

Для круглой пластины радиусом ^ . постоянной толщины h, модуль упругости материалов Е, коэффициент Пуассона ц, защем­ ленной по контуру (рис. 7.8, а)

при действии сосредоточенной а) силы в центре величиной Р требуется определить эпюры изгибающих моментов, прогиб и наибольшие напряжения.

Произвольная постоянная С4 определяется из граничного усло­

291

Согласно (7.5), выражения изгибающих моментов приобретают форму:

я’ =£ ^ 1+^ |п7 " 4 .

Эпюра, построенная по этим формулам, представлена на рис. 7.8. б, откуда следует, что в центре пластины как и поперечная сила, так и изгибающие моменты обращаются в бесконечность. Однако учитывая, что в реальности сосредоточенная сила не существует, можно предположить, что отмеченные особенности являются ус­ ловными, т.е. при реальном характере нагружения поперечная сила и изгибающие моменты принимают лишь экстремальные значения.

Для определения прогибов, интегрируя последнее выражение v, получим

=с3 - Р г1 8яЯ

С учетом н'(Л) = 0 , получим

w =

2)

В центре, т.е. при г = 0, получим:

PR2 16*D '

7.5.Изгиб с прямоугольным очертанием по контуру

тонкостенной пластины

Рассмотрим изгиб пла­ стины толщиной h, шири­ ной а, длиной b в декар­ товой системе координат от действия распределен­ ной нагрузки q (рис. 7.9) при различных контурных -условий закрепления.

На рис. 7.10 представ­ лен выделенный элемент пластины и показаны по­ ложительные направления

292

внутренних усилий £?*, Qy, Мх> Му, М ^, М^.

Составляя сумму всех сил, действующих на выделенный элемент по направлению вертикальной оси Z, получим

Далее, составляя условия в форме суммы моментов относительно координатных осей х и у соответственно, получим:

Пренебрегая малыми величинами более высокого порядка и имея в виду, что Мусу - , последнее выражение преобразуется в форме:

293

л дМ„ д м у

дх

Внося выражения & и Qy в (7.26), получим

В основу теории расчета тонких пластин легли следующие осно­ вополагающие гипотезы:

1. Нормали к срединой плоскости пластины (с—с) в процессе деформирования конструкции остаются прямыми перпендикуляр­ ными к изогнутой срединной поверхности (рис. 7.11).

Рассматриваемая ги­ потеза является по суще­ ству обобщающей гипо­ тезой плоских сечений, принятой в теории изги­ ба балок.

2. Длиналинейных размеров плиты по оси Z остается неизменной, т.е.

4. Перемещения и, v точек, принадлежащих к серединной плос­ кости по координатным осям х и у по сравнению с прогибом w ма­

лы, поэтому ими пренебрегают: и(х, у,0) = v(x,^,0) = 0.

Данное предположение с учетом первой гипотезы позволяет за­ писать:

С учетом (7.29) линейные и угловые деформации определяются:

294

Обобщенный закон Гука, в данном случае с учетом (7.30), запи­ сывается в следующем виде:

Далее, принимая во внимание (7.31) и (7.27), последовательно определим выражения моментов Л/*, Му, Мху и поперечных сил

2 95

Подставляя (7.33) в (7.26) и после ряда преобразований окончательно получим

Эго и есть известное дифференциальное уравнение изогнутой сре­ динной поверхности пластины, полученные Софи Жермен в 1811 году. Оно является неоднородным бигармоническим уравнением.

7.6.Примеры расчетов тонкостенной пластины

(задача № 22)

Определить функции прогибов рассматриваемых пластинок. 6

Пусть прямоугольная пластинка, имеющая размер а по оси х, существенно меньше размера b по оси у, и подвергается действию нагрузки q = q(x)

(рис. 7.12).

Если характер закрепления краев пла­ стинки по оси у одинаков, то его средин­ ная плоскость в результате изгиба будет искривляться по цилиндрической поверх-

dw

ности. При этом — = 0. В данном случае

ду

уравнение (7.34) преобразуется и приобрета­ ет вид:

d4w _ Я(х)

(7.35)

dx4 D ’

Очевидно, что решение задачи в данном случае существенно упрощается. Например, для пластинок характер закрепления кото­ рых изображен на рис. 7.13, для случаев а) и

Рис. 7.12 б) соответственно имеем:

296

(7.36)

Рис. 7.13

7 .6 .2 . Эллнптнческая пластинка, защемленная по краям прн дейстанн равномерно распределенной нагрузки

Для эллиптической пластинки, защемленной по контуру (где

равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью д (рис. 7.14, а), решение уравнения (7.34) можно представить в форме:

■M-g'sH (7.37)

Подставляя (7.37) в уравнение (7.34) и принимая х = у = 0, опре­ делим выражение произвольной по­ стоянной с :

сш _________ a V __________

81>[з(в2 + * 2) 2 - (2о*)2J

Рис. 7.14

297

Для случая круглой пластинки (рис. 7.14, 6) b — а из (7.37), по­ лучим

Имея выражение w, далее можно определить все усилия.

7 .6 .3 . Шарнирно опертая по краям прямоугольная нластняка при действия сяяусондальной нагрузки

Пусть прямоугольная пластинка (рис. 7.15), шарнирно опертая по краям, подвергается действию нагрузки

х

Обеспечивая граничные усло­ вия закрепления пластины, при

х = 0; X= 0; у = 0;

л

W= — - = — - = о,

ас2 ду2

Рис. 7.15

решение (7.34) можно представить в следующем вице:

а Ь

Подставляя (7.40) в исходное уравнение (7.34), определим

7.7. Расчет прямоугольных пластин с шарнирно опертым контуром при действии произвольной

поперечной нагрузки

Рассмотрим прямоугольную шарнирно опертую по контуру пла­ стину, нагруженную произвольной поперечной нагрузкой я(х,у)

(рис. 7.16).

Учитывая, что функция прогиба пластины должна удовлетворять дифференцированному уравнению (7.34) и граничным условиям на краях (7.19), т.е.

при х - 0; х = о, 0 £ у £ а; 0 <>хйа, у = 0, у = Ь;

298

Рассмотрим различные случаи нагружения пластины. При дейст­ вии по всей поверхности пластины равномерно распределенной нагрузки q = const из (7.45), сначала определим

(7.48)

(л,/я = 1,2,3...),

далее из (7.47) будем иметь

Отмстим, что ряд (7.49) быстро сходится. Например, для макси­ мального прогиба в центре квадратной пластины (а = Ь) уже при четырех членов ряда получаем точное значение:

Далее рассмотрим действие нагрузки равномерно распределен­ ной по площадке прямоугольника со сторонами e n d (рис. 7.17). Обозначим координаты центра грузового участка по х и у соответ­ ственно а и Д

Определим:

(7.50)

приобретает вид: