книги / Строительная механика.-1

касательных напряжений к площадкам главных растягивающих напряжений.

Выражение интегрального значения усилия, возникающего от хомутов Рх, пересекающих поверхность разрушения конструкции, запишем в следующем виде:

(9.46)

где коэффициент 0.8 учитывает фактор неодновременности до­ стижения напряжениями в хомутах стадии текучести; Я„ — рас­

ти/2* четное сопротивление поперечных стержней; А„=----------пло-

4

щадь сечения поперечных стержней; dx — диаметр сечения попе­ речных стержней; Nx — число поперечных стержней, пересекаю­ щих поверхность разрушения.

Обозначая шаг хомутов по взаимно перпендикулярным гори­ зонтальным направлениям через их\ и и*2, получим:

2

Nx=-------{[а+6+ (Л —jc,)tga1](A -jf,)sin a,+

(9.47)

-I-[а+ b+(h—xi) tg a ,+ *i tg a j JC, sin a2}.

Обозначая размеры области действия внешней нагрузки через а и Ь, выражение (i= 1, 2) для плит можно представить в виде

S1= ^ - ^ ) [a+ fc+ 2 (A -jt1)tg a 1];

Возвращаясь к выражению (9.45), можно сделать вывод, что локальную прочность плоских элементов железобетонных конст­ рукций при действии локальных нагрузок можно считать удовлет­ ворительной, если соблюдается условие:

При соблюдении знака равенства в (9.49) определяется значе­ ние модуля вектора внешней нагрузки Рр^р, при которой конст­ рукция по изложенной схеме полностью исчерпывает несущую способность:

361

ГЛАВА 10

РА С Ч ЕТ К О Н С Т Р У К Ц И Й НА Н А Д Е Ж Н О С Т Ь

10.1.Общие положения расчета на надежность

Вразделе 1 отмечалось, что при выполнении расчетов инженер­ ная конструкция представляется в виде расчетной схемы, которая состоит из условных элементов с определенной прочностью и включает условно представленные нагрузки и воздействия. Такая расчетная схема лишь приближенно отражает фактические свойства реальной конструкции, т.к. предполагает детерминированность (т.е. полную определенность) прочностных свойств материалов, внешних воздействий и геометрических размеров.

Между тем очевидно, что все перечисленные расчетные парамет­ ры являются случайными. Так, одинаковые элементы конструкции, испытываемые по строго определенной программе, показывают различную величину прочности. Большую изменчивость (т.е. неоп­ ределенность) имеют некоторые внешние воздействия, например снеговая и ветровая нагрузки, которые могут изменяться от нуля до некоторых пределов. Значительно меньшей изменчивостью, вы­ званной неточностью изготовления и монтажа конструкций, обла­ дают геометрические размеры.

При проектировании инженерных конструкций вероятност­ ный характер расчетных параметров учитывается с помощью со­ ответствующих коэффициентов запаса по нагрузкам, по материа­ лам и т.д., которые не имеют достаточного теоретического и экспериментального обоснования и не учитывают факторы случайной природы в явном виде. Для более объективного отра­ жения поведения конструкций в эксплуатации их расчет должен базироваться на теории надежности, основанной на аппарате теории вероятностей, математической статистики и теории случайных функций. Тогда все прочностные и геометрические характеристики конструкций, а также все воздействия на них представляются в виде случайных величин или случайных про­ цессов, если воздействие зависит от времени. В дальнейшем ог­ раничимся рамками случайных величин.

Втеории надежности разработана определенная система понятий

итерминов. Надежностью называется способность объекта вы-

3 6 4

поднять свои функции в течение установленного срока службы. Реализация состояний объекта, при которых он не может выпол­ нять свои функции, называется отказом. За отказ в работе кон­ струкции в зависимости от вида решаемой задачи может быть при­ нято появление краевой текучести, т.е. появление в наиболее опас­ ных точках наиболее опасных сечений пластической деформации; превращение конструкции в механизм; потеря устойчивости; воз­ никновение недопустимых перемещений и т.д. Надежность является качественной характеристикой, которая оценивается количествен­ ными показателями. Основным показателем надежности, через ко­ торый могут быть определены все другие, является вероятность от­ каза Pf за время эксплуатации. Часто используется величина, на­

зываемая вероятностью безотказной работы Ps или надежностью Я, которая связана с вероятностью отказа Pf соотношением

Общий алгоритм расчета строительных конструкций на надеж­ ность следующий.

Все расчетные параметры, обладающие изменчивостью, можно разделить на две основные группы: первая включает характеристи­ ки, относящиеся к свойствам самой конструкции; вторая характери­ зует внешние воздействия. Тогда для любой заданной конструкции и любого вида отказа условие отказа может быть сформулировано в форме предельного неравенства:

где R и S — случайные величины, характеризующие соответст­ венно сопротивление конструкции и нагрузочный эффект, выраже­ ны через одинаковые физические величины; g — случайная ве­

личина, называемая функцией работоспособности.

Вероятность выполнения условия (10.2) есть вероятность отказа P f.

10 .2 . Основные сведения нз теории

вероятности н математической статистики

Величина X называется случайной, если в каждом отдельном случае нельзя однозначно точно предсказать ее значение. Случайная величина не может быть определена одним значением. При каждом наблюдении мы получаем одно из ее возможных значений, которое называется реализацией случайной величины и обозначается х.

365

В качестве примера случайной величины рассмотрим предел прочности материала. Пусть в результате испытаний определенного количества образцов N получена совокупность значений проч­ ности. Эта совокупность может быть представлена гистограммой. Для этого область изменения случайной величины по оси абсцисс разбивается на равные интервалы, а по оси ординат откладывается отношение количества попаданий в каждый интервал nt к общему

числу всех испытаний N (рис. 10.1).

В пределе при очень большом количестве образцов и малом ин­ тервале разбиения получаем непрерывную функцию, кото­ рая называется функцией плотности распределения слу­

чайной величины (в данном случае прочности) или просто плотно­ стью распределения рх[х) (рис. 10.2).

Одно из свойств плотности

шее х. Эта вероятность будет равна площади под кривой плотности распределения рх(х), лежащей левее абсциссы х (рис. 10.2).

366

Функцию Рх(х) (рис. 10.3) можно получить, интегрируя функцию

плотности распределения рх(х).

Из (10.4) следует, что

РхМ = р;(х).

Рис. 10.4

Плотность распределения, так же, как и функция распределения, в полном объеме характеризует случайную величину X , т.е. являет­ ся одной из форм закона распределения. Основными параметрами характеристики случайной величины являются математическое ожи­ дание (среднее значение) и дисперсия.

Математическое ожидание представляет собой среднее значение самой случайной величины и определяется как

Используя геометрические представления, мы можем определить математическое ожидание случайной величины как абсциссу центра тяжести площади под кривой плотности распределения (рис. 10.4).

Обычно кривая плотности распределения имеет колоколообраз­ ный вид, и наиболее вероятные значения случайной величины ле­ жат в окрестности математического ожидания. Чем более пологий вид имеет кривая плотности распределения, тем больше рассеяна случайная величина, т.е. имеет большую изменчивость. В качестве меры или характеристики рассеяния относительно математического ожидания щ принимается величина

3 6 7

называемая дисперсией, которая представляет собой момент инер­ ции площади под кривой плотности распределения относительно вертикальной центральной оси, проходящей через математическое ожидание.

Для того чтобы привести характеристику рассеивания к размер­ ности случайной величины, предпочитают рассматривать величину S[X] — неотрицательное значение корня квадратного из величины

дисперсии

называемую средним квадратическим отклонением или стандартом. Следует отметить, что существует бесконечное множество зако­ нов распределения, но на практике используются лишь некоторые из них. Особое положение занимает нормальный закон распределе­ ния (часто называемый законом Гаусса), который характеризуется соответственно плотностью вероятности и функцией распределения:

V 2 TLD -«о

где т0 и D — математическое ожидание и дисперсия нормального распределения.

Коэффициент перед экспонентой в (10.8) вводится в соответст­ вии со свойством (10.3) для того, чтобы площадь под кривой плот­ ности распределения была равна единице (рис. 10.2).

Широкое использование нормального закона основано на цен­ тральной предельной теореме теории вероятностей. Можно доказать, что сумма достаточно большого числа независимых случайных ве­ личин, подчиненных любым законам распределения, приближается к нормальному закону с увеличением количества суммируемых величин.

Если ввести новую переменную Z = (х - mQ) /S , называемую

характеристикой безопасности, то выражение (10.9) можно привести к удобному для табуляции виду

3 68

1.100.3643 2.30 0.4893

10.3.Функции случайных величин и методы оценки

надежности

При. оценке надежности (определении вероятности отказа) за­ дача вероятностного расчета сводится к построению функции случайных величин. В общем случае это весьма сложная задача. На этапе проектирования обычно ограничиваются определением толь­ ко числовых характеристик функций случайных величин, основны­ ми из которых являются математическое ожидание и дисперсия

3 69