книги / Строительная механика.-1

®U,3.4= ± \ f —B±A\ P\2 ~

и выполняя обратное преобразование относительно (5.139), по­ лучим:

^= 610/; а2=5414/; а3= —610/; сц=—5414/.

Из последних выражений определяется

Откуда Л швж= 184.6 • 10-6с,*0= 184.6 • 10- б 2.28 ■10б• 100=42089 кН.

/ . = — =0.00058 с; /„=2 0.00058 =0.00116 с.

5414

Вопросы для самопроверки

1.Поясните основные задачи динамической теории инженерных конст­ рукций.

2.Какие виды динамических нагрузок вы можете перечислить?

3.Какое явление называется резонансным?

4.Какие колебания называются свободными или собственными?

5.Какие колебания называются вынужденными?

2 61

Г Л А В А 6

И З Г И Б И К Р У Ч Е Н И Е Т О Н К О С Т Е Н Н Ы Х С Т Е Р Ж Н Е Й

6 . 1 . О б щ и е п о л о ж е н и я и о сновны е особенности рясяетя

В настоящее время в машиностроении, авиации, строительстве, железнодорожном транспорте все больше используются конструк­ ции, выполненные из тонкостенных и штампованных профилей или просто из тонколистовой стали. Эти конструкции обеспечивают высокую жесткость и прочность при сравнительно небольшом весе, поэтому их применение в технике является весьма экономичным. На железнодорожном транспорте это элементы тележек, стенок ло­ комотивов, вагонов и многих других конструкций.

Специфика расчета этих конструкций на прочность породила особую расчетную схему — схему тонкостенного стержня.

Основным признаком тонкостенного стержня является харак­ терное отношение его геометрических размеров. В поперечном се­ чении одно из измерений (толщина) существенно меньше другого

— срединной длины контура s. Последняя в свою очередь намного меньше, чем длина стержня / (рис. 6.1).

Длина контура для тонкостенного стержня, представленного на рис. 6.1

s = А + lb.

Следовательно, характерные разме­

С.П. Тимошенко. Полное и общее раз­ витие эта теория получила в трудах В.З. Власова и потому обычно назы­ вается теорией Власова.

Тонкостенный стержень как расчетная схема сохраняет в себе основные свойства обыкновенного стержня, и формулы сопротив­

263

ления материалов, связанные с растяжением (сжатием), изгибом и кручением бруса, остаются в основном справедливыми.

Вместе с тем тонкостенный стержень в силу геометрических со­ отношений обнаруживает свойства, существенно отличающие его от стержней сплошного сечения. При некоторых вицах загружения не соблюдается гипотеза плоских сечений, происходит, так называе­ мая, депланация сечения за счет неравномерной деформации стерж­

Вообще говоря, сравнительная оценка нормальных и касатель­ ных напряжений о и т в поперечных сечениях бруса при переходе от.сплошного сечения к тонкостенному профилю существенно ме­

или иначе w(x,y,z) = п{х,у), т.е. она является постоянной и не зависит от z, то такое кручение называется свободным. При пе­ ременных депланациях по длине стержня кручение называется стесненным.

При свободном кручении в поперечных сечениях стержня возникают только касательные напряжения, а при стесненном кручении, наряду с касательными возникают и нормальные на­ пряжения. Эффект от неравномерной депланации сечения по его длине наиболее существенен для стержней открытого профиля.

После определения полной системы внешних сил, заметим, что порядок вычисления напряжений и перемещений в тонко­ стенном стержне закрытого профиля при свободном кручении принципиально ничем не отличается от метода расчета обычных стержней [8]. Поэтому, здесь этому вопросу специальное внима­ ние не уделяется.

2 6 4

6 .2 . С екториальная площадь

В дополнение к уже известным геометрическим характеристикам сечений (F— площадь поперечного сечения; Sx, .Уу — статические моменты сечения; Jx, Jv, Ay — осевые и центробежный моменты инерции) введем рад новых. Эти характеристики свойственны толь­ ко тонкостенным стержням и определяются на основе понятия

секториальной площади.

Рассмотрим срединную линию контура поперечного сечения (рис. 6.3). Срединная линия - это геометрическое место точек поперечного сечения, равноудаленно расположенных от контурных линий. Выберем на срединной линии начало 0 отсчета дуги s и из за­ данного полюса Р. Проведем два луча к концам элементарного отрез­ ка ds. Удвоенную площадь треугольника РАВобозначают через dm.

Очевидно, что

называется секториальной площадью. Таким образом, сектори­ альная площадь представляет собой удвоенную площадь, очер­ чиваемую радиус-вектором РА при движении точки А по контуру от начала отсчета 0 до некоторого значения дуги s. Если радиус-вектор вращается по часовой стрелке, приращение площади dm имеет знак плюс, против часовой стрелки — минус.

Точка Р называется секториальным полюсом.

При заданном полюсе и заданном начале отсчета в каждом кон­ кретном случае может быть построена эпюра секториальной площади.

В качестве призера по­ строим эпюру секториальной площади для контура, приве­ денного на рис. 6.4, а. Выби­ раем в качестве полюса точ­ ку Р, а за начало отсчета при­ нимаем точку 0 (рис. 6.4, а).

Рассмотрим участок 0—3. На этом участке 0 <,s <,а. Век­ тор г вращается по часовой стрелке, следовательно, эпюра со имеет знак плюс:

2 6 5

На участке 2—1, 0 й s й в, вектор г вращается по часовой стрел­ ке, то есть приращение площади будет положительным:

©2-i = - a2+as? ©2 = - а2 ; ©i = 0.

Эпюра секгориальной площади © приведена на рис. 6.4, б. Отметим, что при переносе полюса секгориальная площадь ме­

няется на величины, линейно зависящие от координат х н у , т.е.:

где ©O(J ) и ©'(•?)— секгориальная площадь относительно нового PQ

и старого полюса Р' соответственно; хс, ус, XQ, уй — координаты центра изгиба и начала отсчета соответственно.

6.3.Секториальные характеристики и их определение

Наряду с общепринятыми, для тонкостенных стержней вводятся дополнительные характеристики поперечных сечений.

Секториально статический момент поперечного сечения

SQ = J ©г//1, = 6 J со rfy, м4 .

F S

Секториально линейные моменты площади поперечного сечения

Секториальный момент инерции поперечного сечения

={®2dF = 5 J ю2ds, м6 .

F s

Окончательные выражения секториальных характеристик, исходя из предположения, что толщина тонкостенного сечения по всему контуру постоянна и равна 8.

2 6 6

При поперечном изгибе или кручении всегда существует такая точка, относительно которой момент от касательных сил, возни­ кающих в поперечном сечении, равен нулю. Эта точка называется центром изгиба или кручения. Для сечений, имеющих две оси симметрии, центр изгиба или центр кручения совпадают с центром тяжести.

Положение центра изгиба (или кручения) не зависит от дейст­ вующих на стержень сил, а зависит только от формы и размеров поперечного сечения тонкостенного стержня.

При стесненном кручении центр кручения, а также начало отсчета секториальной площади не могут быть выбраны произ­ вольно. Эти точки должны быть выбраны так, чтобы секгориально линейные моменты, а также секгориально статический момент бы­ ли равны нулю, т.е.

SQ = £©<//* = 8 |j©<fc + i ) / | = 0.

Выполнение условий первых двух условий из (6.4) зависит толь­ ко от выбора координат полюса. Выполнение же третьего из усло­ вий (6.4) зависит от выбора начала отсчета 0.

Эпюра со, построенная при полюсе, в качестве которого взят центр изгиба, и удовлетворяющая третьему уравнению (6.4), носит название эпюры главной сектроиальной площади.

Положение центра изгиба и секгориальные характеристики се­ чения на практике определяются в следующей последовательности.

Сначала выбирается положение полюса Р и строится эпюра сек­

Определяется секгориальная площадь относительно центра из­ гиба по формуле (6.3) и вычисляется секгориально статический мо­ мент поперечного сечения по формуле

S* =6j(0o<fr,s u

2 6 7

6.4.Общий случай нагружения тонкостенного

стержня. Бнмомент

В общем случае нагружения осевые перемещения сечения тон­ костенного бруса можно представить в виде следующего выражения:

где Hfo, <рх и фу характеризуют: смещение по продольной оси z; по­ ворот сечения как жесткого целого относительно координатных осей хн у; у —удельный угол закручивания относительно продоль­ ной оси z; со — эпюра главной секториальной площади.

Нормальные напряжения в сечении, согласно закону Гука, в данном случае определяются согласно выражения:

С учетом последнего выражения, формулы по определению внутренних силовых факторов от нормальных напряжений <т, при­ мут вид

Mx = \s y iF =

Здесь через Ва обозначена новая силовая характеристика, назы­ ваемая бимоментом, размерность которой будет кН м 2.

В результате совместного рассмотрения (6.9) и (6.10) выражение нормальных напряжений можно представить в следующем виде:

2 6 8

Mv

Первые три слагаемых уже известные нам величины нормальных напряжений из курса «Сопротивления материалов» являются ре­ зультатом действия продольной силы и изгибающих моментов. Что же касается четвертого слагаемого, то оно характеризует изменения, вносимые в линейные законы распределения напряжений, деплана-

где со/ — значение секториальной площади для точки приложения силы Рь т.е.

В этом случае, очевидно, что и продольная сила N, и изгиба­ ющие моменты Мх , Му равны нулю.

Касательные напряжения в поперечном сечении стержня в об­ щем случае нагружения слагаются из касательных напряжений по­ перечного изгиба, простого (свободного) кручения, и наконец, из вторичных касательных напряжений, возникающих за счет стеснен­ ного кручения:

Следовательно, в общем случае нагружения в поперечных сечениях тонкостенного стержня возникают следующие внутренние усилия: Qy—поперечные силы от касательных напряжений т* iy\ Мх, Му — изгибающие моменты от нормальных напряжений oz ;

2 6 9

Mz — крутящий момент свободного кручения от касательных на­ пряжений гг; — бимомент от действующих нормальных на­ пряжений 0*, вследствие изгиба элементов тонкостенного стержня;

М9 — изгибно-крутящий момент от дополнительных каса­ тельных напряжений ти .

Формулы для вычисления перечисленных факторов даны в табл. 6.1, где приняты следующие обозначения: и, V — перемещения линий центров изгиба сечений в направлении координатных осей х

и у, — соответственно, статические моменты относитель­

но координатных осей и секториально статический момент отсе­ ченной части сечения, расположенной по одну сторону от расчет­ ной точки.

Таблица 6.1

"а

Все эти величины легко определяются, если известна функция y(z). Последняя может быть найдена из условия равенства суммы крутящих моментов стесненного и свободного кручения полному крутящему моменту:

.2 7 0