я л т |
sin2 ™ sin2 ™ . |
4 |
2 |
Для выполнения практических расчетов, подставляя формулы по определению дпт в (7.46) определяется Аш . Далее по (7.49) опреде ляются прогибы пластины, а по (7.32) и (7.33) усилия, возникающие
впоперечных сечениях конструкции.
Взаключение рассмотрим расчет пластины при действии сосре
доточенной силы величиной Р в точке хР = а , уР = р (рис. 7.18).
В данном случае для получения решения следует в (7.50) устре мить с и d к нулю, сохраняя конечное значение Р - q cd. Под
ставляя д = — - и перейдя к пределу, получим cd
Я, |
АР |
. гтх |
т у Р |
|
— |
sin ----- £ |
|
|
Если принимать |
хр = —; |
ур = —, |
то прогиб пластины опре |
деляется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
■ |
гт . |
тк |
|
|
|
|
sin — SU1 - |
|
|
* = |
|
|
— |
Ц |
- s i n ^ |
s i n ^ , (7.51) |
я AabD |
- |
-r ' |
|
|
" |
h |
|
|
ЗЧЙ |
|
|
где индексы п, т являются четными числами.
а
Для квадратной пластины а = Ь, х = у = — из последней фор
мулы получим
(7.52)
Удержав первые четыре члена последнего ряда, т.е. п =1,3 и
, что на 3% отличается от
7.8.Расчет сферической оболочки вращения
Для расчета применим безмоментную мембранную теорию тон ких оболочек. При этом будем предполагать, что оболочка имеет плавно изменяющуюся непрерывную поверхность. Постоянная на грузка интенсивностью q приложена на наружную поверхность обо лочки.
Геометрия оболочки вращения (рис. 7.19) характеризуется сле дующими величинами: R — радиус основной оболочки; r(t) — ра диус горизонтального сечения оболочки на расстоянии z от ее вер шины; R\ — радиус кривизны оболочки по меридианному направ лению; R2 — радиус кривизны дуга ab длиной ds2.
Как это следует из рис. 7.20, а, имеем
где ф - угол между радиусом Я2 и осью Z-
Обозначая меридианное и окружное погонное усилия соответст венно dN{ (i - 1,2), действующих на отрезок ds2 и ds\, можем за
писать |
|
dNy - Nyds2; dN2 = N 2dsx, |
(7.54) |
где N\ ъ N2 - соответственно погонные меридианное и окружное нормальное усилия.
Составляя сумму проекций всех усилий, действующих на выде ленный малый элемент (рис. 7.20, а) по направлению ее нормали v получим
q,dslds2 + d N ,^ - + dN2 ф - = 0. |
(7.55) |
Л1 |
Л2 |
|
С учетом соотношения (7.53) и (7.54) из (7.55), получим
+ ф - = -qz = Яcos<р. |
(7.56) |
щк 2
Рис. 7.20 Для определения второго необходимого уравнения проведем го
ризонтальное сечение оболочки вращения радиусом г (рис. 7.20, <5) и спроектируем все силы, действующие на верхнюю отсеченную часть, на вертикальную ось V
|
qF |
* 1 = - |
(7.57) |
2пг sin ср |
Здесь F — площадь поверхности выделенной части оболочки.
Подставляя (7.57) в (7.56), определим:
|
|
|
|
ЛГ2 = (F - яЛ,г sin 2<р) |
— . |
(7.58) |
v |
' I n R i r s m y |
|
7 .9 . П рим ер р асчета сф ерической оболочки вращ ения (за д а ч а № 2 3 )
Определить эпюры усилия и N2 для сферического купола (рис. 7.21, а) при действии вертикальной равномерно распределен ной нагрузки по ее поверхности интенсивностью д, принимая ради ус сферы, равный R (рис. 7.21, 6).
Решение
Учитывая, что для сферы R{ = R2 = R определим площадь по верхности отсеченной горизонтальной плоскости п-п части купола
F = 2яRh = 2 я / ? 2 ( 1 - cos ф).
Меридианное усилие определяется по выражению (7.57)
N _ |
2TCJ?2(1 -COS<P) |
|
gR |
1 _ |
2nrsin<p |
q |
l + cos(p‘ |
Усилия по окружному направлению определяются по формуле
(7.58)
В вершине купола, где ф = 0 имеем N\ = N 2 = - — •
На рис. 7.21, в изображены эпюры N\ и N2 по высоте купола.
7.10. Изгиб тонкостенной цилиндрической оболочки при симметричном нагружении
В декартовой системе координат х, у, z рассмотрим тонкостен ный цилиндр радиуса R и постоянной толщины h при действии осесимметричной нагрузки (рис. 7.22). В данном случае очевидно, что деформации и напряжения, возникающие в оболочке, также об ладают осевой симметрией.
Обозначим через w радиальное перемещение, а через <р угол на клона касательной к образующей срединной поверхности цилиндра (рис. 7.23).
В данном случае
Относительное удлинение бх отрезка АВ, расположенного на рас стоянии z от срединной поверхности (рис. 7.24), складывается из двух составляющих: из удлинения срединной поверхности e j и уд линения, обусловленного искривлением образующей цилиндра,
равному z Полное удлинение отрезка АВ принимает значение
|
(7.60) |
Удлинение в окружном направлении |
|
2я(Л + ш )-2 я Л |
w |
2*Л |
(7.61) |
~ Т |
Рис. 7.22
•IFEL ;
Рис. 7.23
Этим удлинениям соответствуют напряжения сх и ст_у, величины которых по закону Гука определяются по формулам:
= j-^ 2 -(Ex + ^ ey); °у = ] [ ^ з К + ^ Ех)- |
<7-62) |
С учетом (7.59) — (7.61) последние формулы преобразуются к
(7.63)
■А И - 5 ~ Й -
Вмеридиональных и поперечных сечениях цилиндра возникают мо менты, поперечные и продольные силы. Значения моментов и нор мальных усилий являются резуль
|
|
татом действия ах и ау. Для этого |
|
|
рассмотрим малый элемент, выде |
|
|
ленный из состава цилинд |
|
|
рической оболочки с размерами А, |
|
|
dx, dy (рис. 7.25). Нормальные си |
|
|
лы на площадках h dy и h dx, от |
|
Рис. 7.25 |
несенные к единице дуги сечения, |
|
определяются: |
|
|
h |
|
|
Nx = }ax dZ‘z\ |
Ny = I G ydz. |
(7.64) |
-A |
z l |
|
T • |
2 |
|
Величины моментов в тех же сечениях вычисляются:
Лh
Мх = fox zdz; |
My = / ay zd z . |
(7.65) |
A |
A |
|
~2 |
2 |
|
Сучетом (7.59) и (7.63), выражения продольных сил и моментов,
взависимости от перемещения н>, принимают вид:
|
|
<7 “ > |
MX = D ^ - , |
Mv = \iD |
(7.67) |
x dx2 |
y p |
</x |
где D— цилиндрическая жесткость оболочки, определяемая по формуле:
Далее обратимся к
W f u ^ Mx+dMx)dy
снова рассматривая але- \Nx+dNJdy мент цилиндрической
оболочки с размерами А, Л , dy, и к его граням приложим равнодейст вующие силы и мо менты, которые равны величинам N^ Ny, Мх>
|
Му, умноженные |
соот |
|
ветственно н& dx к dy |
|
(рис. 7.26). Кроме |
ука |
|
занных |
силовых |
фак |
|
торов |
учитываем |
попе |
|
речную |
силу |
Qdy и |
|
внешние силы, |
обуслов |
Рис. 7.26 |
ленные |
давлением |
Р=Р(хУ |
|
|
|
|
|
Здесь необходимо учесть, что при переходе от грани малого эле мента с координатой х к грани с координатой х + dx, усилия полу чают соответствующие приращения. В осевых сечениях по свойст вам симметрии конструкции и внешних нагрузок внутренние сило вые факторы остаются одинаковыми. Проектируя силы на ось ци линдра, получим
= 0; -> dNx = 0; -> Nx = const.
Это значит, что осевая сила Nx определяется из граничных ус ловий нагружения цилиндра на торцах и она всегда определяется самостоятельно. Поэтому в дальнейшем будем считать эти условия заданными, а силу Nx — известной.
Проектируя все внешние и внутренние силы на радиальном на правлении, получим второе уравнение равновесия:
|
- Ny dx^ |
- dQdy + Рdxdy = 0, |
|
откуда |
|
|
|
dQ = p |
(7.68) |
|
dx |
R |
|
* |
Третье уравнение равновесия получаем, приравнивая нулю сумму моментов всех усилий относительно оси У, касательной к дуге нор мального сечения:
Qdydx = dMx dy,
Вследствие осевой симметрии, остальные уравнения равновесия удовлетворяются тождественно.
Для дальнейшего преобразования полученных выражений, из 7.66 исключаем e j , а из (7.68) и (7.69) — поперечную силу Q.
Вследствие чего, получим
(7.70)
Ny dx2 R
и, исключая из этих уравнений Ny, будем иметь
(7.71)
С учетом первого выражения (7.67), исключая изгибающий мо мент из (7.71), получим уравнение относительно одной искомой ве личины — перемещения ж
(7.72)
Из этого следует, что уравнение (7.72), к которому сводится ре шение поставленной задачи, структурно совпадает с уравнением (3.4), которое было получено при рассмотрении изгиба балки на уп ругом основании.
Родственность этих задач неоспорима, так как цилиндрическую оболочку можно рассматривать как совокупность изгибающих по лосок, связанных между собой упругими связями. При симметрич ном нагружении все полоски изгибаются одинаково, и радиальная сила Ny в каждом сечении, как и для балки на упругом основании, прямо пропорциональна местному прогибу ж
Для расчета прочности цилиндрической оболочки наибольшие
напряжения определяются выражениями (7.63) при z =
С помощью (7.66), (7.67) последнее выражение преобразуется в виде
(7.73)
Таким образом, через перемещения ж выражаются все внутрен ние усилия и напряжения.
Для определения w рассмотрим решение уравнения (7.72). за писывая его в виде
