книги / Строительная механика.-1

а нагрузочный эффект S равен:

(10.17)

Наибольшей изменчивостью, как правило, обладает внешняя нагрузка Р и предел текучести стали сгр , поэтому примем их случайными. В качестве закона распределения этих величин при­ нимаем нормальный закон с соответствующими параметрами рас­ пределения (математическим ожиданием и стандартом): для нагруз­ ки — тр и SP ; для предела текучести — та и Sa . Остальные па­

раметры, а именно геометрические размеры, в выражении (10.15) обладают значительно меньшей изменчивостью по сравнению с Рт сгт и их случайностью можно пренебречь и принять детерминиро­ ванными.

Итак, имеем функцию работоспособности g, линейно завися­ щую от случайных величин Р и щ . Величина g также является

случайной и в данном случае из курса теории вероятностей следует, что ее распределение подчиняется нормальному закону. Определим математическое ожидание mg и стандарт Sg случайной величины

g. Для этого воспользуемся основными свойствами числовых ха­ рактеристик функций случайных величин, которые приведены в таблице 10.2.

Примечание: С— константа; для свойств * — Х, Y—независимые

С учетом приведенных соотношений (табл. 10.2), получим

. 371

(10.19)

Зная характеристики распределения случайной величины g , с

помощью таблицы 10.1 можем определить вероятность безотказной работы:

(10.20)

Соответствующая вероятность отказа

Пусть для рассмотренной балки даны следующие исходные дан­ ные: длина балки / = 2 м; ширина сечения Ь = 0.05 м; высота сечения Л = 0.1 м.

Внешняя случайная нагрузка Р, распределенная по нормальному за­ кону, имеет следующие параметры распределения: математическое ожидание тР= 26 кН; стандарт распределения 5>= 2,6 кН.

Случайный предел текучести ат имеет параметры: матема­ тическое ожидание т3 = 2.4-105 кН/м2; стандарт распределения Ss = =2.4-104 кН/м2.

Тогда

= 28624,5

Вероятность безотказной работы

372

вероятность отказа

Pf = \ - P s = 1 -0 ,9 9 8 4 = 0,0016.

Метод статистической линеаризации. Этот метод при­ меняется в случае, когда определяются числовые характеристики нелинейной функции случайных аргументов. Наиболее эффективен метод статистической линеаризации при вероятностях отказа Pf > 0,001. Данный метод основан на разложении функции рабо­

тоспособности в ряд Тейлора.

Пусть имеется нелинейная функция нескольких переменных не­

При разложении данной функции в ряд Тейлора в окрестности точки А получим

g = f(a „ a 2,...,a n) + (xl - а , ) М + (х2 - „ 2)J%-+,...

Предположим, что функция работоспособности имеет вид (10.23). Разложим ее в окрестности математического ожидания случайных ар­

Используя таблицу 10.2, определим математическое ожидание

случайной величины g

Qg

' (10'25)

373

стандарт будет равен

Отметим, что случайная величина g в общем случае не будет

полнении вероятностных расчетов часто делается допущение о подчинении функции g нормальному закону. Тогда вероятность

безотказной работы определится по формуле (10.20). Рассмотрим пример расчета.

Определим вероятность отказа внецентренно сжатого стального стержня, изображенного на рис. 10.6.

За отказ в работе стержня примем появление краевой текучести. При выполнении вероятностных расчетов прежде всего необходимо иметь детерми­ нированное решение. Будем исходить из упрощен­ ного подхода к расчету сжато-изогнутых стержней, в котором искривленная ось стержня принимается за синусоиду. При этом сжато-изогнутый стержень сводится к системе с одной степенью свободы, что не вносит большой погрешности в результаты расчета и приемлемо для практики.

При сделанных предположениях максимальный изгибающий момент в стержне выражается извест­ ной формулой:

(10.27)

1 А

где Ре = Ма — тот же момент, но определенный без учета изгиба

стержня, возникающего в результате действия продольной силы; Р — осевая сжимающая сила; е — эксцентриситет приложения силы; Рэ — первая эйлерова критическая сжимающая сила:

/ — свободная длина стержня; EJ — жесткость поперечного сечения стержня.

Краевое напряжение в расчетном сечении стержня равно

3 7 4

Расчетная формула прочности сжато-изогнутого .стержня, поло­ женная в основу обычных практических расчетов, имеет вид

Примем внешнюю нагрузку Р и предел текучести ат в качестве

нормально распределенных случайных величин. Так как функция работоспособности нелинейна относительно случайной нагрузки, то для нахождения математического ожидания и стандарта случайной величины g применим метод статистической линеаризации. Для

этого вычислим частные производные функции работоспособности (10.31) по ее случайным аргументам:

Для математического ожидания величины g в соответствии с

(10.25) получим выражение:

Шр тРе

(10.34)

~т

375

Разложение функции выполняется в окрестности матема­ тического ожидания, т.е. при сгт = тат и Р ~ т р , поэтому для

стандарта получим:

2 (10.35)

Определив mg и Sg, по формуле (10.20) вычисляем вероятность

безотказной работы внецентренно сжатого стержня.

Пусть дан внецентренно сжатый стержень в виде сварного сталь­ ного двутавра.

Геометрические характеристики сечения: площадь поперечного сечения F = 48-10-4 м2; момент инерции сечения Ix — 1920-10-8 м4; момент сопротивления сечения Wx= 240-10 8 м_6;

Эксцентриситет приложения нормальной силы е =? 0.007 м; дли­ на стержня/= 6 м.

Внешняя цлучайная нагрузка, распределенная по нормальному за­ кону, имеет следующие параметры распределения: математическое ожидание тр= 6.41 кН; стандарт распределения 5>= 64.1 кН.

Предел текучести стали, принимаемый также распределенным по нормальному закону, имеет параметры распределения: матема­ тическое ожидание т9 = 3-105 кН/м2; стандарт распределения Sa= = 3104кН/м2.

Подставляя соответствующие значения в (10.33), получим для математического ожидания mg= 118582 кН /м2. Для стандарта в со­ ответствии с (10.34) получим Sg= 39447 кН /м2. Тогда по (10.20) для вероятности безотказной работы получим:

Далее рассмотрим другой пример вероятностного расчета для статически определимой балки (рис. 10.5), когда функция работо­ способности является нелинейной.

Возьмем те же исходные данные, но примем высоту балки h случайной нормально распределенной величиной с параметрами: математическое ожидание mh = 0,1м; стандарт S h = 0,001м. Тогда

3 7 6

функция работоспособности (10.15) относительно случайных аргу­ ментов будет нелинейной:

ЪР1

g = o*

Ш г ‘

Применим метод статистической линеаризации и определим

Подставляя значения, получим

ю , = 84000 кН/м2; ^ = 28794 кН/м2

Вероятность безотказной работы

1 + 0(2,917) = 0,9982.

Метод статистических испытаний. Производится дос­ таточно большое число статистических испытаний, при этом на ка­ ждом испытании генерируются случайные реализации всех исход­ ных величин по заданной программе с помощью ЭВМ. Проверяется условие (10.2), при его невыполнении фиксируется отказ. Далее процедура повторяется.

Частота появления отказа v рассматривается как оценка вероят­ ности отказа ¥/:

где к — число отказов; т — общее число испытаний.

Метод крайне прост и универсален, однако он требует обяза­ тельного анализа близости оценки v к искомой вероятности Р/ , которая зависит от числа испытаний т.

3 7 7

10.4. Определен» высоты поперечного сечения статически определимой балки при заданной

надежности — обратная задача теория надежности (задача № 3 0 )

Рассмотрим однопролетную шарнирно опертую двумя концами балку длиной / постоянного прямоугольного поперечного сечения размерами bxh, при этом Ъ= 2/ЗЛ (рис. 10.5). Предположим, что балка нагружена сосредоточенной силой Р, приложенной в середи­ не ее пролета.

Выполним числовой пример подбора высоты поперечного сечения балки, при заданной вероятности неразрушения, т.е. на­ дежности, Н= 0.96; допуске на размер а = 0.015 и последующих исходных данных, приведенных в табл. 10.3.

В предельной стации работы, т. е. при Р= РПР, максимальное значение момента, возникающего в точке приложения внешней си­ лы, определяется

МПР ?пр !

4 ' Максимальные напряжения вычисляются

о т ,

Wm

где пластический момент сопротивления WnjI определяется по формуле

Следовательно, предельные значения напряжений выражаются следующей зависимостью

3 78

_ МПр _ 3 PJJP i

(10.37)

T Wu - 2 A3

Предположим, что нагрузка Рпр, пролет /, высота балки h и пре­

дел текучести материала балки стт являются случайными вели­ чинами.

Полагаем, что случайные величины Рпр, /, h подчиняются нор­

мальному закону распределения с математическими ожиданиями тр, /я/, Щ и среднеквадратичными отклонениями Sp, S/, Sf,. Плот­ ности распределения этих величин имеют вид

(?ЛГ-Фг)г 2Si

Для оценки надежности балки необходимо знать математическое ожидание и дисперсию нормального напряжения. Эти параметры находим на основе статистической линеаризации функции (10.37) в окрестности математических ожиданий аргументов. Этот прием часто используется при малых дисперсиях, когда коэффициент ва­ риации V= S/m <0.2.

В соответствии с (10.33) математическое ожидание нормального

Зададимся параметром а допуска на высоту поперечного сечения балки, который равен некоторой доле математического ожидания высоты nth • Тогда по правилу «трех сигм»

3 ^ = а т * ; = > 5 * = 5 И р .

379

Подставив значение S/, в (10.40) и выполнив преобразования, по­ лучим окончательное выражение дисперсии нормального напряжения:

При нормальном распределении действующих и предельных на­ пряжений надежность балки определяется по формуле (10.20)

где Ф[г] — интеграл вероятности (см. таблицу 10.1).

Выражение в скобках представляет собой уравнение связи. Под­

После подстановки

Am\ + Bwl + С - 0,

А= 4 - S lz2 - 4 m g =-367997,6;

В= 12 • татрт{ = 1756,8;

С = 9 •г г[(т ,^ ,)2 + (mf S , f + (ш и ,т,)2] - 9 • т\т} = -2,06376.

Получим

- 367997,6 • т\ +1756,8 • т] - 2,06376 = 0.

Из решения последнего уравнения получим

%=0,1278; =0,1390.

Подставляем полученные значения в уравнение (10.43), получим: при mh = 0,1278; z = -1,75;

при тн - 0,1390; z = 1,75.

380