книги / Строительная механика.-1

ное радиальное напряжение возникает при р = 0. Тангенциальные напряжения а ф = 720 кН/м2 при р = 0 являются растягивающими, а на наружной поверхности вызывают.сжатие оф = 1430 кН/м2 при р = RH. Наиболее опасными являются ,осевые напряжения аг. Мак­ симальные растягивающие напряжения аг = 1430 кН/м2 возникают при р = 0, и такого же порядка напряжения сжатия на наружной поверхности.

Иначе распределяются напряжения в случае полого цилиндра. Осевые напряжения ст2 остаются того же порядка (рис. 7.31, б). Ме­ ридиональное напряжение а ф на внутренней поверхности цилиндра принимает примерно в два раза большее значение, нежели в случае сплошного цилиндра. А на наружной поверхности приобретают та­ кие же значения, что и на внутренней поверхности, только с обрат­ ным знаком.

Более благоприятным является характер распределения ради­ альных напряжений для полого цилиндра. В данном случае он при­ нимает нулевые значения как на наружной, так и на внутренней поверхности.

2. Но теории прочности Губера-Мизеса определить характер распределения интенсивности напряжений в поперечных сечениях

сплошного и полого цилиндров

Для оценки характера распределения интенсивности напряжен­ ного состояния, из полученных данных ор, оф, аг (рис. 7.31), и учи­ тывая, что эти напряжения в данном случае являются главными, по

теории прочности Губера-Мизеса вычисляется интен­ сивность напряжений <т/:

°< - т - |( ° Z - < ^ 4 CZ - OP)2+K - o<>)2)

Значения о/ для сплошного и для полого цилиндров внесены в табл. 7.1, а эпюры о/ пунктирной линией показаны соответственно на рис. 7.31, а и рис. 7.31, б.

Принимая, что трубопровод изготовлен из стали с содержанием 0,15% углерода, для которых стт « 104кН/м2, то в данном случае ус­ ловие прочности трубопровода выполняется с большим запасом, т.к. максимальное значение а,- = 1390 кН/м2.

Следовательно, условие прочности выполняется а, <, ат .

Г Л А В А 8

О С Н О В Ы Т Е О Р И И П Л А С Т И Ч Н О С Т И

ИП О Л З У Ч Е С Т И

8.1> Основы деформационной теории пластичности

Для изучения работы конструкций за пределами упругости не­ обходимо предварительно сформулировать критерии перехода от уп­ ругого к упруго-пластическому состоянию и сформулировать новые физические уравнения взамен закона Гука, который, как из­ вестно, справедлив только для описания связи между напряжениями и деформациями только упругой стадии работы конструкции.

Для сложного напряженного состояния имеем линейные соот­ ношения обобщенного закона Гука:

(81)

Условия перехода из упругого состояния в упруго-пластические могут быть определены по формулам одной из гипотез пре­ дельного состояния.

Для выполнения практических расчетов наибольшее распростра­ нение нашла гипотеза энергии формоизменения, согласно которой переход из упругого состояния в пластическое происходит, когда интенсивность напряжений Oi достигает предела текучести, т.е.:

где а,- — интенсивность напряжений определяется через компо­ ненты тензора напряжений:

или через главные напряжения

323

Для упругого состояния, как известно, взамен (8.1) справедливо и следующее обобщенное соотношение:

где Е —является модулем упругости материалов и определяется из диаграммы сг~ е при одноосных испытаниях материалов (рис. 8.1), к ак £ = tg9o, а е /— интенсивность деформаций:

4г

Таким образом, соотношение (8.4) устанавливает положение в том, что свойства материала не зависят от вида напряженного со­ стояния. Это положение является исходным в деформационной теории пластичности.

Вторым положением, на котором базируется деформационная теория пластичности, является условие, что изменение объема

е = zx + B y + z z

остается чисто упругим. Эго положение также хорошо согласуется с экспериментальными данными.

Далее учитывая, что е является величиной порядка упругих уд­ линений, то можно исходить из того, что при пластическом дефор­ мировании объем меняется незначительно. Поэтому в пластическом состоянии коэффициент Пуассона допускается принимать равным р - 0.5.

Из выражения (8.4) для модуля деформации можно представить в

324

Согласно первому положению деформационной теории плас­ тичности, зависимость между напряжениями и деформациями при одноосном сжатии и растяжении едины для всех видов напря­ женных состояний. Поэтому, диаграмма между а и е идентична диаграмме <х/ и е , . Следовательно.. (8.5) можно представить в виде:

Аналог модуля сдвига 0(e) определяется

Физические соотношения между напряжениями и деформациями, аналогично (8.1), для пластичности состояния тела принимают вид:

(8.7)

Приведенные физические соотношения являются приближен­ ными и считаются справедливыми только для тех видов нагруже­ ния, при которых внешние силы в процессе нагружения возрастают прямо пропорционально по времени,.

В этом случае главные оси напряженного состояния при изме­ нении внешних сил сохраняют свое направление, т.е. соотношение (8.7) справедливо только при простом нагружении.

8.2. Упругопластический расчет стержня при действии продольной силы (задача № 2 7 )

Определить перемещение сечения Я ступенчатого стержня, изо­ браженного на рис. 8.2, а при различных стадиях его деформиро­ вания при нагружении его силой Р. Диаграмма деформирования изображена на рис. 8.2, б.

Р еш ение

В данном случае все составляющие тензора напряжений и де­ формаций, за исключением ох и ех, тождественно равны нулю. При этом участок АС испытывает растяжение, а участок АВ — сжатие.

325

Следует выделить следующие этапы работы конструкций.

На первом этапе участки АС и АВ деформируются в упругой ста-

На первом этапе нагружения, когда в обоих участках материал конструкции деформируется по закону Гука, учитывая, что система один раз статически неопределима, усилия N обоих участков опре­

Учитывая, что стержни верхним и нижним концами жестко за­ креплены, его абсолютное удлинение должно быть равно нулю, т.е.

326

В упругой стадии работы конструкции значения напряжения на

Так как |ст^Р| с |с т ^ |, то соотношения (8.12-5-8.14) будут справед­

ливы до тех пор, пока напряжения на первом участке не достигнут значения сгт .

Из выражения (8.14), принимая ст^Р = -стт , определяем величину

силы Р, при которой нижний участок с номером 1 переходит в пла­ стичное состояние, а верхний участок с номером II остается уп­ ругим:

Для второго этапа нагружения необходимо преобразовать урав­ нения совместимости:

Подставляя (8.18) в (8.16), получим

N 2 1-5/

/ | - F - l T F - a T | + eT | = - ^ P - . (8.19)

EF *

Совместно решая (8.19) с уравнением равновесия (8.10), получим

дуют упругие решения (8.14).

Перемещения сечения А на данном этапе нагружения определя­ ются по формуле

327

Переходим к решению поставленной задачи на третьем этапе нагружения. Принимая а<2)= о т из второго выражения (8.14), оп­ ределим значения внешней силы, при которой второй участок пере­ ходит в пластическую стацию деформирования:

На третьем этапе нагружения, т.е. Р = 4'F6 j , абсолютное удли­ нение второго участка определяется:

=15,[^(^"0т)+ет]- (823)

Подставляя (8.23) и (8.18) в (8:16), получим

(8.24)

Врезультате совместного рассмотрения (8.24) и (8.10) определя-

Е- Е {

(8-25)

4Е

Принимая Е -Е \ из (8.25), получим решение задачи в упругой постановке, которая полностью согласуется выражением (8.12). Пе­ ремещение сечения А на третьем этапе нагружения определяется по выражению:

328

Если в последнем варианте предположить Е= Е\, то отсюда сле­ дует решение в упругой постановке задачи, и полностью совпа­ дающей с решением (8.13).

8.3. Упругопластический изгиб бруса

Рассмотрим упругопластический чистый изгиб бруса. Для про­ стоты предполагается, что поперечное сечение бруса обладает двумя осями симметрии (рис. 8.3, о) и что диаграмма деформирования ма­ териала при одноосном сжатии и растяжении одинакова (рис. 8.3, б). При принятых предположениях следует полагать, что нейтральная линия совпадает с осью симметрии х (рис. 8.3, а)

Как и при упругом изгибе в данном случае будем исходить, что и при упругопластическом изгибе справедлива гипотеза плоских сечений, т.е.

Рис. 8.3

Упругопластическая стадия деформирования поперечного се­ чения бруса делится на две зоны: упругую и пластическую. Вели­ чина Ух, определяющая расстояние границы этих зон от нейтраль­ ной линии, определяется по (8.26):

329

По мерс увеличения изгибающего момента и соответственно кривизны, величина Ух уменьшается за счет сокращения высоты упругой зоны.

Выражение изгибающего момента в данном случае можно пре­ образовать в следующем виде:

Так как из теории изгиба, для упругого участка, выполняется со­ отношение

9

Подставляя последнее в (8.28) и после интегрирования получим

* * - !з* -р* ?

Учитывая, что ут= етр = -jrP, получим:

Е

Мх

4 а т “ з * с т р2»

откуда

РI \b h 2 oT -M x

Из последнего выражения следует, что кривизна бруса с увели­ чением момента Мх возрастает и обращается в бесконечность, при

(8.29)

В этом случае р - 0, следовательно, и как это следует из (8.27), ут= 0. Следовательно, все сечение охватывается пластической де­ формацией. Несущая способность сечения в данном случае исчер­ пана. Из (8.29) можно определить

330