книги / Строительная механика.-1

щие уравнения могут быть получены из рассмотрения равновесия отсеченной части системы, предполагая, что рассматриваемое сече­ ние проходит через пластический шарнир.

Рассмотрим различные возможные схемы предельной стадии ра­ боты конструкции.

Первая схема, предполагая, что пластические шарниры фор­ мируются в сечениях А и В (рис. 9.8, б):

Z y = KA *RD- 2P„e = 0 ;

ЪМл =

=PnrL -P B ?L+.Ма, = 0,

откуда

Вторая схема, предполагая, что пластические шарниры фор­ мируются в сечениях А и С (рис. 9.8, в):

ТУ = RA +RD ~2Рп? = 0;

ТМа =Рпг^ Р пр^ - Я в 1-Мя,=0;

откуда

(9.21)

Третья схема, предполагая, что пластические шарниры фор­ мируются в сечениях Ви С (рис. 9.8, г):

ТУ = Ва +Вр -2Рпг =0;

X M A = P „ p t + P „ p 2 - R B l - M A = 0; = M A - R A ~ M B P =b\

=M„p - R Dt = 0 ,

откуда, решая совместно эту систему уравнений, получим значения изгибающего момента в заделке МА и значение предельной нагрузки

РпА

351

М~пр

Так как условие МА > МПР не может быть реализовано, то тре­

тью схему следует исключить из дальнейшего рассмотрения. Сопоставляя предельные значения внешней силы, приведенные

в (9.20)—(9.21), определяем, что наименьшая предельная нагрузка имеет место при второй схеме предельного равновесия, т.е. когда пластические шарниры формируются в сечениях A n С.

деления величин продольных сил. Действительная схема разрушения системы пока­ зана на рис. 9.9. Составим уравнения работ всех внутренних и внешних усилий на возможных перемещениях:

Сопоставляя выражения (9.25) и (9.21), заметим, что кинемати­ ческий и статический способы дали идентичные результаты по зна­ чению предельной силы.

352

9.5. Пример расчета статически неопределимой балки (задача № 2 9 )

Из решения канонического уравнения метода сил

X 5ц + Ац» = 0 ,

получим

5

После определения величины опорной реакции X, построим окончательную эпюру моментов в заданной системе (рис. 9.10, д). Откуда следует, что опасным является сечение 1, где значение мо­

мента равно М2= Мщв = — Р1. 16

Предполагая, что в опасном сечении в опасной точке напряже­ ние равно ст-г. по методу допускаемых напряжений определим до­ пускаемую величину внешней силы Р - Рдоп.'-

откуда

Для расчета заданной системы по методу предельного равновес­ ного состояния, предварительно выразим значения моментов в сечениях 1 и 2 через внешнюю силу Р и реакции X, возникающей в месте шарнирного опирания:

Мх = Х 1 - Р ~ \

Исключая опорную реакцию X из последних соотношений, по­ лучим

Учитывая, что в предельном состоянии в данном случае имеем P -P nt\ М\ = -Мпг\ М2= МПг , уравнение (9.27) преобразуется в

» L2

ЗАГД = гпр ’

откуда окончательно получим

Принимая во внимание результаты расчетов по методу допус­ каемых напряжений и по методу предельного равновесия, соот­ ветственно (9.26) и (9.28) составим отношение:

354

Следовательно,

Рпр =L69 Рд

т.е. несущая способность рассматриваемой системы по результатам расчетов метода предельного равновесия в 1.69 раза больше, нежели по методу допускаемых напряжений.

9 .6 . О ц е н к а п р о ч н о с т и ж е л е з о б е т о н н ы х п л и т п р и д е й с т в и и л о к а л ь н ы х с т а т и ч е с к и х

н а г р у з о к

Рассмотрим действии равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q на локальном участке поверхности плиты

вформе сплошного круга с диаметром а.

Впредельном состоянии образуется эллиптическая поверх­ ность разрушения (рис. 9.11), проходящая в нижней зоне по площадкам главных растягивающих напряжений и в верхней зоне по площадкам максимальных касательных напряжений, а также по переходной зоне, сопрягающей указанные площадки. При этом

образование нормальных трещин происходит с относительно меньшим уровнем внешней нагрузки.

При дальнейшем росте внешней нагрузки, с развитием нор­ мальных трещин на площадках наиболее интенсивных главных растягивающих напряжений образуются и развиваются наклон­ ные трещины. П ри более высоком уровне внешней нагрузки, вблизи ее краев, с достижением предельных значений максималь­ ных касательных напряжений наступает предельное состояние.

Аппроксимированная поверхность разрушения конструкций (см. рис. 9.11) содержит три ломаные, первая из которых прохо­ дит по площадкам с максимальными касательными напряжени­ ями при интегральном значении соотношения а\\а2:а^= =0,1:1,0:1,0. Характерными точками ломаных являются: точ-

355

ка А, расположенная на внешней поверхности конструкции у края нагрузки; точка В, в которой нормальные напряжения на поверх* поста разрушения меняют знак, и точка С, расположенная в вер­ шине наклонной трещины, в которой нормальные напряжения принимают значения

02=Rbt>

где Яы— расчетное сопротивление бетона при одноосном рас­

тяжении.

Наклон ломаных принят <*1=45° и а2=60°, что достаточно точно описывает поверхность разрушения конструкции.

Для определения ординаты эпюры напряжений, действую­ щих на поверхности разрушения, воспользуемся теорией прочно­ сти А.В. Яшина. Графическое изображение условий прочности А.В. Яшина, в зависимости от соотношения компонент главных

ные значения функций нормальных и касательных напряжений, f= l отнесено к площадкам максимальных касательных напряже­ ний (АВ), i= 2 — к зоне перехода (ВС).

Из условия прочности А.В. Яшина, используя известные СОСТ­

Так как в точке В, отнесенной к ломаной ВС, нормальные напряжения равны нулю, то можно предположить, что в этой точке разрушение должно происходить за счет сдвига. Предель­ ное значение касательных напряжений при <7=0 можно опреде­ лить с помощью круга Мора (рис. 9.13):

Принимая (7=0, получим формулу для определения касатель­ ного напряжения в точке В:

356

Последняя точка С переходной зоны расположена на вершине наклонной трещины. Следовательно, в этой точке имеем

Принимаем, что эпюры нормальных и касательных напряже­ ний в зоне перехода изменяются по параболическому закону с коэффициентом усреднения 3/4. Следовательно, в центрах тяже­ сти эпюр напряжения принимают следующие значения:

Цг)=~у/RbRbi,

(9.33)

ff<2)= " R b , ‘

Для определения положения характерных точек, принадлежа­ щих поверхности разрушения, вводим следующие обозначения: х, до — соответственно высота сечения под вершинами наклонной и нормальной трещин в предельной стадии работы конструкции; Х\ — высота сечения под характерной точкой В (см. рис. 9.11).

Для определения значений величин х, х0, Х\ выделим из со­ става плиты полосу единичной ширины, проходящую через зону

действия нагрузки.

Рассмотрим сечение по предполагаемой поверхности разруше­ ния, принадлежащей выделенной полосе. Применяя метод сече­

357

ний, изучаем равновесие отсеченной части выделенной полосы, слева от рассматриваемого сечения (рис. 9.14, а). Учитывая, что выделенная часть полосы в предельной стадии работы конструк­ ции при действии всех внешних и внутренних сил находится в равновесном состоянии, получаем:

EY=0=>NJ - N t+Ni cos а! - N2cos a2+ T\ sin ai + T2sin a2= 0 .

(9.34)

Усилие Nj в продольной арматуре в зоне сжатия равно

Величину напряжения o's определяем из условия полного сцеп­ ления между бетоном и арматурой в зоне сжатия. Принимая значения напряжений в нормальном сечении равными a=Rbn вос­ пользовавшись соотношением

Остается установить величину Ns=A/r„ т. е. значение усилия в продольной арматуре в зоне растяжения. Учитывая, что напря­ жения в растянутой арматуре а, возрастают при увеличении клас­ са бетона, приближенно принимаем следующую линейную зави­ симость а, от расчетного сопротивления бетона сжатию Rb.

где значение Rbберется в мегапаскалях.

Р и с . 9 .1 4

358

Обозначая в формуле (9.36) выражение в квадратных скобках через к, получим

Na=kRjAs. (9.37)

Исходя из характера распределения эпюры напряжений на поверхности разрушения (см. рис. 9.11), выражения нормальных сил N\ и Nj и тангенциальных сил Т\ и Т2 несложно представить в следующем виде:

(Л-хО

JV, = 1,LR*

С учетом выражений (9.38) уравнение (9.34) можно предста­ вить в виде

=kRjAs—ctRaA'.

Отсюда

(9.39)

={kRtn-<LRX)h.

Последнее уравнение содержит два неизвестных х\ и х.

Для вывода дополнительного уравнения проведем нормаль­ ное сечение, проходящее через точку А, и рассмотрим равновесие отсеченной части выделенной полосы, расположенной слева от заданного сечения (рис. 9.14, 6):

359

Принимая x=Jto и треугольный характер эпюры нормальных напряжений в сжатой зоне бетона, для равнодействующей силы от напряжений в сжатой зоне получим

Для определения прочности плиты воспользуемся расчетной схемой, представленной на рис. 9.11.

Условием прочности конструкций служит уравнение равнове­ сия выделенной усеченной пирамиды при разрушении плиты в предельном состоянии по направлению действия внешних сил. В правую часть уравнения равновесия введем максимальное зна­ чение модуля вектора нагрузки Рщжх, а в левую часть — несущую способность поверхности разрушения по направлению вектора внешней нагрузки:

где Рх — интегральное значение усилия от хомутов, пересека­ ющих поверхность разрушения конструкции; Si — площ адь бо­ ковой поверхности усеченного конуса высотой х ь меньшим ос­ нованием которого служит площадь действия нагрузки; S2 — пло­ щадь боковой поверхности усеченного конуса высотой (х —JCJ), которая образуется в зоне перехода от площадок максимальных

360