книги / Строительная механика.-1

Г Л А В А 7

ПЛАСТИНЫ И О Б О Л О Ч К И

7.1.Основные полохення теории оболочек

Большинство элементов инженерных конструкций в расчетной схеме, подлежащих расчету на прочность, как это уже было от­ мечено, связаны с расчетом бруса, пластинок или оболочек.

Предыдущие разделы были достаточно подробно посвящены во­ просам расчета стержней и стержневых систем. Настоящий раздел книги посвящен различным вопросам расчета пластинок и обо­ лочек.

Под оболочкой понимается тело, одно из измерений которого (толщина) значительно меньше двух других. Геометрическое место точек, равноотстоящих от обеих поверхностей оболочки, носит наз­ вание срединной поверхности.

Если срединная поверхность оболочки является плоскостью, то такую оболочку называют пластиной.

Геометрическая форма объектов, которые могут быть причислены к оболочкам или пластинам, чрезвычайно разнообразна: в машино­ строении — это корпуса всевозможных машин; в гражданском и промышленном строительстве — покрытия и перекрытия, навесы, карнизы; в кораблестроении — корпуса судов, сухих и плавучих до­ ков; в авиастроении — фюзеляжи и крылья самолетов; в подвижном составе железнодорожного транспорта, кузова вагонов, цистерны, не­ сущие конструкции локомотивов; в атомной энергетике — защитная конструкция атомных станций, корпуса реакторов и т.д.

Если срединная поверхность оболочки образует поверхность вращения в форме цилиндра, то оболочку называют цилиндриче­ ской.

К схеме осесимметричной цилиндрической оболочки сво­ дится очень много инженерных конструкций, в том числе котлов, баков, нефтепроводов, газопроводов, деталей машин и др.

Задача о расчете тонкостенных оболочек вращения наиболее просто решается в том случае, когда возможно принять, что напря­ жения, возникающие в оболочке, постоянны по толщине и, следо­ вательно, изгиб оболочки отсутствует.

2 8 2

Теория оболочек, построенная в этом предположении, называ­ ется безмоментной теорией оболочек.

Если оболочка имеет резкий переход и жесткие защемления и, кроме того, нагружена сосредоточенной силой и моментами, то в местах крепежа оболочки, резких изменений формы, и в местах действия сосредоточенных сил и моментов возникают интенсивные напряжения, обусловленные изгибным эффектом. Учет изгибных эффектов можно получить в рамках моментной теории оболочек.

Следует отметить, что чем меньше отношение толщины h обо­ лочки к ее радиусу R, тем точнее выполняется предположение о по­ стоянстве напряжений по толщине и тем более точнее выполняются расчеты по безмоментной теории.

h 1 Отметим, что оболочка считается тонкой, если — й~~.

R 20 Следовательно, при расчете на прочность тонких оболочек в за­

висимости от характера распределения внешних нагрузок, опорных закреплений, применяется или безмоментная или моментаая тео­ рия. При этом предполагается равномерное распределение на­ пряжений по продольным и поперечным сечениям оболочек (от­ сутствие в этих сечениях изгибающих, крутящих моментов и попе­ речных сил).

При осесимметричной нагрузке отсутствуют также сдвигающие силы. Определение усилий по безмоментной теории производится достаточно точно на расстоянии, превышающем величину (3*5)х

от мест скачкообразного изменения формы или площади

сечения, жестких контурных закреплений или от места приложения внешних сосредоточенных сил и моментов. Вблизи указанных мест возникают дополнительные напряжения от изгибного эффекта.

В моментной и безмоментной теории тонких оболочек или, так называемой, технической теории оболочек, состоящей в рез­ ком различии их толщины и габаритных размеров, влечет за собой возможность упрощения теории путем некоторой схематизации действительной работы конструкций. Эта схематизация формирует­ ся в используемых гипотезах, аналогичных гипотезам в теории стержней, т.е. гипотезам плоских сечений и гипотезам «ненадавливания» слоев оболочки друг на друга.

Эти гипотезы позволяют свести трехмерную задачу механики сплошной среды к двумерной, подобно тому, как в теории стержней трехмерная задача сведена к одномерной.

Далее в технической теории тонких оболочек пренебрегают членами И/R по сравнению с единицей.

283

зультатов по точности применяется аппарат механики сплошной среды, в частности теории упругости или пластичности в зависи­ мости от постановки задачи.

7.2.Изгиб тонкостенных симметричио нагруж енны х

круглых пластин

Рассмотрим расчет пластины постоянной толщины h при дейст­ вии внешних сил, перпендикулярных срединной плоскости и сим­ метрично расположенными относительно оси z (рис. 7.1).

В данном случае функции деформации, перемещения и напря­ жения, возникающие в пластине, будут также симметричны относи­ тельно оси Z-

Прогиб-пластины w и угол поворота нормали v = - ^ являютdr

ся функциями только от радиуса г (рис. 7.2)

Из деформированной схемы (рис. 7.3) следует, что точки, распо­ ложении? на нормали после изгиба образуют нормаль Л[В[ ,

совершая поворот на угол v. Соответственно нормаль А2В2 соверша­ ет поворот v+dv (рис. 7.3).

Радиальный отрезок CD, расположенный на расстоянии z от сре­ динной поверхности приобретает абсолютное удлинение величиной

284

В сечениях z = const, согласно гипотезы, гласящей об отсутствии давления между продольными слоями параллельных срединной плоскости, следовательно, нормальное напряжение az= 0 (рис. 7.4), а поэтому закон Гука в данном случае записывается в виде:

дующем виде:

285

^ r)

(7.4)

* " i _ м2 lr Цdr)

Зная напряжения, можно определить равнодействующие момен­

ты (рис. 7.5):

Далее возьмем сумму моментов от всех усилий (рис. 7.5) относи­ тельно оси у, касательной к дуге круга радиуса г в срединной плос-

{Mr + dMr^r + dr^jdp - M rr dp - q г dr dq> — - - Mуdr dip + (Q + dQ^r + drjdp dz = 0,

2 8 6

и, пренебрегая малыми величинами, получим:

Остальные уравнения выполняются тождественно, вследствие условий симметрии.

Полагая жесткость D постоянной и подставляя (7.S) в (7.8) по­ лучим

После двукратного интегрирования выражения (7.9), получим

V = cxr + ^ ~ J[r jGdrjc/r, (7.10)

где С] и С2 — произвольные постоянные интегрирования, которые определяются из граничных условий задачи. Величина поперечной силы определяется из решения (7.7).

Сравнивая выражения (7.3) и (7.4), легко установить

диус пластины R, толщина h определить прогибы и напряжения в пластине, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой д, в двух случаях закрепления: при защемлении контура; при шарнир­ ном опирании контура (рис. 7.6).

2 8 7

Решенше:

Для определения поперечной силы Q из центральной части пла­ стины, независимо от характера ее закрепления. Выделим элемент с

Независимо от характера закрепления пластин, угол поворота v в центре пластины, т.е. при г — 0 должен быть равен нулю. Данное условие выполняется только в том случае, когда Q = 0. Следова­ тельно, (7.4) принимает вид

Для пластины с жестко заделанным контуром имеем

Подставляя (7.15) в (7.16), получим

(7.17)

С учетом (7.17) из (7.15) окончательно получим

(7.18)

Согласно выражениям (7.5), формулы по определению изгибаю­ щих моментов принимают вид

288

Далее, интегрируя v из (7.18), находим формулу по определению прогиба плиты

■ Ж И ^ - т ) -

где постоянное интегрирование Сз определяется из условия w(R) - О

1

с3 ^ Я * .

и соответственно

(7.21)

• « - « у * ’ - ' ’ ) '

Для пластины шарнирно опертым контуром имеем, что

С учетом (7.23), выражения изгибающих моментов из (7.5) при­ нимают вид

(7.24)

Из (7.23), выражение прогибов принимает форму

289

19-3196

где произвольная постоянная сз определяется из условия Ц Л ) = 0:

Л4 5 + ц

С3 ш -

4 1 + ц ’ и, следовательно, окончательно будем иметь

Согласно выражениям (7.19) и (7.24), эпюры изгибающих момен­ тов приобретают формы, изображенные на рис. 7.7.

эп м,

с я ,

Рис. 7.7

В случае защемленного контура наибольшие напряжения возни­

Из (7.21) наибольший прогиб имеем при г = 0:

qR4 Wtaax~ 6 4 D ‘

Для платины с шарнирно опертым контуром, наибольшие на­ пряжения возникают в центре на нижней поверхности конструк­ ции:

290