w = e - b f a sin k x + c2 cos be) + efo(c3sin k x + c4 cos kx) + w \ (7.74)
где w*— частное решение, которое определяется в зависимости от за данного закона изменения внешней нагрузки Р(х) вдоль образующей.
Произвольные постоянные с,- (г = 1, 2, 3, 4) определяются из концевых условий закрепления цилиндра.
7.11. Расчет длинной цилиндрической трубы при действии внутреннего давления (задача № 24)
Для цилиндрической трубы (рис. 7.27) большой длины
/ > ЮуЦЛ, имеющей на концах жесткие фланцы, при действии внутреннего давления р, требуется:
1.Определить эпюры изгибающих моментов и прогибов w в ок рестности фланцев.
2.Определить максимальные напряжения в окрестности фланцев.
Решение
1.Определить эпюры изгибающих моментов и прогибов w в окрестности фланцев
Вданном случае справедливо предположить, что осевая сила Nx равна нулю.
Так как давление р постоянно по оси х, то частное решение уравнения (7.72) принимает вид:
Подставляя выражение w* в (7.74), получим |
|
w = e'^^ siiu b c + c2cosfa) + ete(c3sinkx + c4coskx) + |
. |
При достаточно большом расстоянии от фланца x z S^kh пе ремещение w должно стремиться к постоянной величине. Этому ус ловию противоречит наличие слагаемого .е**^ sinkx + c^ cos Ах), которое неограниченно возрастает с ростом х. Поэтому для устра
нения данного противоречия справедливо полагать, что с3 = |
= 0. |
С учетом данного обстоятельства получим |
|
w = e"te(c,sinAx + c2cosJbc)+— . |
(7.75) |
Для определения С\ и с2> учитывая, что в начале системы коор динат при х = 0, в месте сопряжения цилиндра с жестким фланцем должно выполняться условие
w = 0; |
^ - |
= 0. |
(7.76) |
|
ах |
|
|
Подставляя решение (7.75) в граничные условия (7.76) получим |
= с2 = - |
Р |
|
Ak2D |
|
|
|
|
С учетом последнего выражения, решение (7.75) принимает вид: |
IV = ^ - [ l - |
(sinfct + costa)]. |
|
При достаточно больших x t |
s jk h выражение преобразуется и |
приобретает вид |
|
|
|
.£ * 1 |
|
(7.77) |
|
Eh |
* |
|
|
Подставляя (7.77) в (7.67), получим выражение для определения изгибающего момента Мх в следующем виде
М ------ |
, pRh |
е * (cos Ах- s in Ах). |
(7.78) |
*2 V 3 0 V )
Эпюра Мх и трафик изменения w(x) изображены на рис. 7.28. Наибольшее значение изгибающий момент имеет в заделке, значение которого определяется из (7.78), полагая что х = 0:
pRh
к ;
2 ^ 3 (1 - Ц 2) '
2.Определить максимальные напряжения
вокрестности фланцев
Поскольку Nx = 0, формула, по определению меридионального напряжения ах из (7.73), принимает вид
Следовательно, максимальное напряжение вычисляется по фор муле
т.е. изгибающие напряжения в меридиональном направлении ока зываются в 1.82 раза больше расчетного напряжения по безмоментной теории, что подтверждает факт о неприменимости безмоментной теории в случаях, когда оболочка имеет краевой эффект.
7.12. Расчет вертикально стоящего открытого цилиндрического бака, заполненного доверху жидкостью (задача № 25)
Пусть открытый цилиндрический бак заделан нижней частью в жесткое основание и заполнен доверху жидкостью (рис. 7.29), тогда при следующих исходных данных: R = 1.0 м — радиус срединной поверхности цилиндра; h = 510"3 м — толщина стенки цилиндра; Я = 5 м — высота стенки бака; Е= 2108 кН/м2— модуль упругости материала конструкции; ц = 0.3 — коэффициент Пуассона материа ла; у = 10 кН/м3 — удельный вес жидкости, требуется:
1.Определить функции внутренних силовых факторов.
2.Построить эпюры Мх и Ny.
3.Определить эквивалентное напряжение по теории наибольших касательных напряжений в опасных точках опасного сечения.
Ре ш е н и е
1.Определить функции внутренних силовых факторов
Если Координату х отсчитывать от днища цилиндра, то давление от жидкости, заполняющей цилиндр, на стенки конструкции при нимает значение
/> = у ( Я - х ) .
Очевидно, что при этом продольные силы по оси х, т.е. Nx - 0. Согласно (7.16), выражение перемещения w записывается в виде:
w = |
sin kx+ с2cos Joe)+ |
sin Joe+ c4 cos Joe)+ |
|
, Y (H -x ) |
(7.79) |
|
4k4D |
|
произвольные постоянные с,- (/ - |
, 2, 3, 4) определяются из н е |
ничных условий: |
|
|
dw |
х - Н, Мх = 0 = 0. |
при х = 0, w = —— = 0; при |
Согласно выражениям (7.67) и (7.69), граничные условия при
d^w |
d3w |
х = Я преобразуются в виде — =- = — =- = 0 . |
dxr |
dxi |
Подставляя решение (7.79) в граничные условия задачи, получим четыре уравнения для определения произвольных постоянных <7(1-1, 2, 3,4):
у Н
С2+* = - ^ |
: |
|
|
|
|
|
с1- , 2 + с , + с4 = - ^ ; |
|
|
|
|
-CI ё~ш cosАЯ+<£c_WirsinАЯ+с3с***cosАЯ- с4 е** sin АЯ = 0 ; |
И е~ш (cos кН + sin АЯ)+ Сг c_Aff(cos АЯ-sin АЯ)+ |
|
+с3 c^ (co s кН - sin АЯ) - С4 e*^(cos кН + sin АЯ) = 0 . |
(7.80) |
Рассчитывая величину кН, определим |
|
|
|
и я Н И |
ф |
ш 5 Ш |
Щ |
ш 9 1 . |
|
|
I |
Л2Л |
? 1-5-10-3 |
|
|
Следовательно, |
величина |
= е~91 |
ничтожна мала |
по срав |
нению с с * * = е91, поэтому, пренебрегая членами системы уравне
ний (7.80), содержащих множитель е~кН и после некоторых преоб разований, решение системы уравнений (7.80) для данного случая можно представить
Подставляя выражение постоянных с,- (/ = 1, 2, 3, 4) в выражение (7.79), откуда определим:
определить из выражений (7.81), относящихся w и Ny , предполагая в них е^м'О:
Следовательно, наиболее опасными точками цилиндра являются точки, расположенные у внутренней и внешней поверхности ци линдра, непосредственно вблизи заделки.
3. Определитьэквивалентное напряжение по теории наибольших касательныхнапряжений в опасныхточках опасного сечения
С учетом (7.73), главные напряжения у внутренней поверхности принимают значения
сз = 0 .
Эквивалентное напряжение по теории наибольших касательных напряжений принимает значение
стзкв. = <ТщиОдщ, = <Ti - 03 = 17900 кН/м2.
На внешней поверхности цилиндра в опасном сечении имеем О] = -17900 кН/м2; о2 = -5400 кН/м2; 03 = 0, следовательно стэкв. = = 03 - oj = 17900 кН/м2, т.е. эквивалентное напряжение в опасных точках внешней поверхности принимает то же значение, что и в опасных точках внутренней поверхности.
. 7.13. Расчет цилиндрической трубы при воздействии температуры
Предположим, что однородный длинный цилиндр находится под действием температуры /, распределенной по закону параболы по толщине стенки
(7.81)
где 4) — разность температур между наружной и внутренней поверх ностью цилиндра. При нагреве цилиндра на температуру матери
ал конструкции получает относительное удлинение в трех направ лениях, равное
б = a t,
где а — коэффициент температурного расширения ма териала, принимаемый равным для всех направлений для дан ного материала.
Закон Гука в данном случае записывается в виде
_ d u __L
р - ц ( о ф + а г
Бр dp ~ Е
S - t * K +0z)£ “ '»(1~ |r ) |
(7 82) |
О 2 - ц (о р + Оф) £ а / 0 [1 --^ -]
Так как принадлежащие цилиндру, равноудаленные от его оси z, точки будут иметь одинаковую температуру, то в указанных точках выполняются
t =const, dt =0, tz = C, |
(7.83) |
где С— произвольная постоянная.
Условие равновесия выделенного элемента с размерами dp, dz, (Ар в радиальном направлении записывается в виде
d(paр)
(7.84)
pdp р dz
где тФР — напряжение сдвига. С учетом соотношений (7.83) можно
предположить, что в данном |
случае |
—;— = 0. Тогда уравнение |
равновесия (7.84) принимает вид |
az |
|
о ч> " |
rf(pgp) |
(7.85) |
pdp |
Из (7.82), выражая напряжение через перемещение, получим
°Р“(1+ц)(1-2ц) |
1—цdu , и + 1±Ц„ |
|
р |
dp |
р |
Р |
|
|
du { 1-Р U t1+ P ( |
(7.86) |
|
dp |
р |
р |
Р |
|
|
Ер |
*L+H.+iH La J l |
|
° 2 -(1 + ц)(1 - 2 ц) |
dp |
р |
ц |
1 |
|
Принимая во внимание (7.86) из (7.85), получим |
|
л |
+^ |
. 2{±£а,0[4]]=о. |
(7.87) |
dp2 |
dp |
1 - р |
|
После двойного интегрирования (7.87), определяется |
|
u = at0 |
|
(7.88) |
|
X} 4 ( М |
|
где А и В — произвольные постоянные, которые вычисляются из граничных условий задачи.
Для определения трех произвольных постоянных А, В, С, вхо дящих в выражения напряжений и перемещений (7.86) и (7.88), можно сформулировать следующие три необходимых граничных ус ловия.
Два граничных условия вытекают из условия равенства нулю ра диальных напряжений на наружной и внутренней поверхности ци линдра, т.е.
ор = 0 при р = |
и при р = Ra. |
(7.89) |
Необходимое третье условие определяется из следующих со ображений. Из условия соблюдения равновесия цилиндра по осевому направлению и, следовательно, сумма всех нормальных напряжений на площади поперечного сечения должна быть рав на нулю, т.е.
jc z npdp = 0. |
(7.90) |
Лм |
|
Подставляя выражение ор из (7.86) в (7.89), |
а выражение oz |
из (7.86) в (7.90), и после ряда несложных преобразований, получим:
(7.91)
Из (7.86), с учетом (7.91), окончательные выражения напряжений можно записать следующим образом:
(7.92)
Для сплошного цилиндра, т.е. при Лв= 0, выражение (7.92) уп рощается и принимает вид
(7.93)
Как показывают выражения (7.92) и (7.93), температурные на пряжения для данной конструкции не зависят от диаметра цилинд ра, а зависят лишь исключительно от разности температур 4) .между наружным и внутренним слоями, следовательно, в тождественных формах, имеющих одинаковую разность температур, равную 4)» и одинаковый закон распределения, внутренние температурные на пряжения будут равны.
|
7.14. Пример расчета трубы ори действии |
|
температуры (задача № 26) |
Пусть |
задано цилиндрическое тело с наружным радиусом |
Rfi = 1 м, |
коэффициентом температурного расширения а —10's, |
модулем |
деформации Е= 2108кН/м2, коэффициентом Пуассона |
ц = 0.3; при разности температур между наружными и внутренними слоями to= 100е, требуется:
1. Определить характер распределения температурных напря жений в сплошном (Rg = 0) и в полом цилиндре с Re = 0.15 м.
2. По теории прочности Губера-Мизеса определить ха рактер распределения интенсивности напряжений в поперечных сечениях сплошного и полого цилиндра
Решение
1.Определить характер распределения температурных напряжений в сплошном и в полом цилиндре
Напряженное состояние полого цилиндра определяется соотно шением (7.92), а для сплошного цилиндра выражением (7.93). Ре зультаты расчетов обобщены в табл. 7.1, где значения напряжений указаны в кН/м2. Эпюры напряжений о р, <т„ аг для сплошного и полого цилиндров показаны на рис. 7.31.
Для сплошного цилиндра полученные результаты, приведенные в табл. 7.1. и на рис. 7.31, а, показывают, что радиальные напряжения 0 £ Стр £ 720 кН/м2 являются только растягивающими. Максималь-
