книги / Строительная механика.-1

Подставляя в (6.10) значения М. « М “ та6л- «•!, получим

Дифференцируя (6.15) по г, имеем

dMKl

(6.16)

~ кpi " dz

момент.

Рассмотрим случай кручения, когда на свободном конце тонкостенногр стержня, защемленного с другим концом, действует кру­

(6.20)

Для определения Cj, C2, C3 и C4 с учетом граничных условий

при z = 0, Afy(0) = Ре и Дю(0) = 0;

271

Учитывая выражения произвольных постоянных (6.22) из (6.19) и (6.20), будем иметь

Y'(z) =

Pe c h a /- c h a r 67,*P cha/

(6.23)

a Pe sh a z . (77к/, cha/ *

a 2P e chaz Y"'(z) = - GJKp c h a /'

Здесь shx и chx - гиперболический синус и гиперболический ко­ синус соответственно аргумента х

Значения гиперболических функций при заданном аргументе приводятся в таблице 3.7.

В заключение, учитывая (6.23) и выражения усилий из таблицы 6.1, окончательно получим

А*=с/1”= Ч ,- | й ;

Заметим, что существует полная аналогия в основных зависи­ мостях теории стесненного кручения стержней открытого и замк­ нутого профилей. Основные расчетные зависимости теории расчета стержней замкнутого профиля можно получить, путем замены в приведенных выше зависимостях для расчета стержней открытого

272

профиля, уже известных нам секгориальных координат и сектори-

При этом, главная обобщенная секториальная координата с!>, для замкнутого профиля (рис. 6.7), определяется:

параметр, условно называемый «средним радиусом» замкнутого

Для тонкостенного стержня открытого профиля, изображенного

= 8104 МПа, требуется:

2 73

Рис. 6.8

1.Определить площадь, положение центра тяжести, главные центральные моменты инерции поперечного сечения.

2.Найти положение центра изгиба.

3.Определить момент инерции при чистом кручении JKp и секторнальные характеристики сечения.

4.Вычислить изгибно-крутильную характеристику а =

5.Построить эпюры поперечной силы Qx, изгибающего момента Му, момента чистого кручения Mv изгибно-крутящего момента Afa, бимомента Ви .

6.Построить эпюры нормальных напряжений стг, о ш и их сум­ марную эпюру.

Ре ш е н и е

1.Определение площади, положения центра тяжести

иглавных центральных моментов инерции

Тогда

1^ = 115^ = 161^ = 511^=61^ = 5 (я + 2Л) =

F i S, i s, ' S, '

= 1 • ИГ2 • (l8 .10-2 + 2.12 • НГ2) = 42 • КГ4 м2.

274

В выбранной системе координат Х\ухопределим положение цен-

Для этого построим эпюру координат Х\ (рис. 6.9, а) и вычислим статический момент сечения относительно оси У\

Для вычисления главных центральных моментов инерции пред­ варительно построим эпюру координат х и у (рис. 6.9, б, в). С при­ менением этих эпюр, определяются:

275

+ '12 Г " И 143' 10"2 *3-43' 10"2 + +858 *10~2 ' +8-58' 10~2) " -2 •3.43• 10-2 • 8.58• 1(T2]2J = 6.583• 10-6 M4.

2.Определение положения центра изгиба

Вначале построим эпюру секториальных координат площади сод, в характерных точках (1, 2, 3, 4) профиля, выбрав произвольный полюс в точке В (рис. 6.9, г)

о>1 = -2 • i • 9 • 10"2 • 12 • ИГ2 = -108 • 10"4 м2; ©2 = ©3 = 0;

©4 = 2 • ^ • 9 • 10-2 • 12• 10~2 = 108 • 10-4 м2.

Координаты центра изгиба вычисляем по формулам (6.S). Используя эпюры о>* и у и применяя правило Верещагина,

вычисляем секториально линейный статический момент

= -116.64-10-8 м5.

Тогда координата центра изгиба по вертикальной оси принимает значение

Координата центра изгиба по горизонтальной оси вычисляется

УA =S «iy/ J y

276

Так как эпюра х симметрична, а эпюра ©д обратно симметрична относительно х, то по правилу Верещагина секториально-линейный статический момент равен нулю, т.е.

Следовательно, у^ = 0 и поэтому центр изгиба лежит на оси х. Вычислим постоянную Д предварительно построив эпюру сек-

ториальных площадей со' (рис. 6.9, д).

При этом полюс расположим в центре изгиба (т. А). За начало отсчета возьмем точку 3 (произвольно):

F

Далее вычисляем секгориально статический момент S^ ., как произведение площади эпюры ©' на 6 :

S# = 1 • ИГ2 {108• Ю^4 • 12• 10"2 • | + (86.4 ■IQ-4 - 2L6• 10"*) ^ • 12• 10"2 +

+86.4 • 10^ • 18 • 10~2} = 1814.4 • 10"8 м4 .

Вэтом случае величина постоянной D будет равна

O = - 1 8 1 i_ 4 J 0 f = 4з,2 .,0^ .

4210-*

Далее, используя зависимость (6.7), вычисляем секториальные координаты характерных точек профиля:

щ = -21.6 • Ю^4 - 43.2 • 10-4 = -64.8 • Ю^4 м2 ;

©2 = 86.4 • 10"4 - 412 • 10"4 = 43.2 • Ю"4 м2 ;

© 3 = 0 - 43.2 • ИГ4 = -43.2 • 10"4м2;

277

со4 = 108 • 10^ - 43.2 • 10-4 = 64.8 • 10-4 м2 .

По полученным координатам строим эпюру со (рис. 6.9, е).

3. Определить момент инерции при чистом кручении JKp и секториальные характеристики сечения

+~ 7 Г ~ | 2|(43,2*10_4)2 -tf64-8 *10~4)2] “ 2 *43*2• Ю-4 ♦64.8 -10-4j 2| «

«3.7325 lO - V .

4.Определение изгибно-крутилъной характеристики а

Изгибно-кругильную характеристику а вычисляем по формуле

5. Построение эпюр поперечной силы Qx , изгибающего момента Му, момента чистого кручения Му, изгибно-крутящего момента Маи бимомента Д»

278

Му = 95 (1 - 0.1477 • chaz) (Нм);

Вт = 10.8• shaz (Нм2);

Ма = 14.034-ch az (Нм).

Предварительно разбив тонкостенный брус по длине на 5 равных частей, для этих сечений численные значения величин Qx, Му, Му, Мти Ва приведены в табл. 6.2.

По результатам табл. 6.2 строим эпюры Qx, Му , Му, Мши Вл (рис. 6.10). При этом в случае действия на брус сосредоточенной силы, во всех сечениях выполняется следующее условие: Му + Мт = Р е - const.

Нормальные напряжения зависят от внутренних силовых фак­ торов Му и Д„, согласно выражения (6.11). Опасным сечением явля­ ется сечение в заделке, так как в нем действуют наибольшие по ве­ личине Му и До (рис. 6.10, в, д). Нормальные напряжения от изгиба

279

± — 4 р

По найденным данным строим эпюру ог (рис. 6.11, а). Нормальные напряжения в точках профиля от действия бимо­

мента Вювычисляем по формуле

Вточке 3: о * , = 1937 • (-43.2 • 10"4) = -8.37 МПа.

Вточке 4: = 1937 ■64.8 • 10-4 = 1255 МПа.

По полученным данным строим эпюру Суммарные нор­ мальные напряжения в опасном сечении тонкостенного стержня от

280