книги / Строительная механика.-1

Здесь Щ носит название пластического момента сопротивления сечения.

Обобщая выражения (8.29) с известным аналогичным соотно-

bh?

шением теории изгиба ст2 = Мх = Wx а2 = —— о можно устано- 6

вить, что при значениях момента \ bh2<sT <, Mr < - b h 2aT в попе- 6 Л 4

речном сечении балки возникает пластическая деформация, а значение Mx =—bh2aT следует рассматривать как предельное

значение момента, при котором несущая способность конструкций в данном сечении исчерпана.

8 .4 . О сиовы теории ползучести

В физических уравнениях теории упругости и теории пластич­ ности введено допущение, что при действии внешних сил тело де­ формируется мгновенно. Однако в действительности полная де­ формация любой точки заданного тела при действии внешних сил формируется в течение определенного промежутка времени. Далее известно, что все материалы обладают свойством старения, т.е. фи­ зико-механические характеристики во времени меняются, поэтому учет временных процессов, протекающих в элементах конструкций в период действия внешних сил, имеет важное значение в плане со­ вершенствования методов их расчета.

Свойства материалов, связанные с деформацией во времени при действии внешних постоянных нагрузок, называются ползу­ честью.

Явление ползучести в принципе присуще всем материалам. Учет

331

цесс сопровождается уменьшением скорости деформирования ё и при /-*», е ->0, то ползучесть называется установившейся (1) (рис. 8.4) Если деформация ползучести имеет тенденцию к беспредель­ ному увеличению и в итоге сопровождается разрушением материа­ лов конструкции, то данный вид ползучести называется неуст а­ новившейся (2) (рис. 8.4).

Полная деформация в произвольный момент времени определя­ ется как сумма начальной деформации б (0) и деформации пол­

Заметим, что характер протекания ползучести во времени очень чувствителен в зависимости об интенсивности напряжений и тем­ пературы. Увеличение интенсивности напряжений или градиента температуры, как правило, приводит к возрастанию деформаций ползучести.

Если увеличение деформаций ползучести пропорционально уве­ личению напряжений, то имеем дело с линейной ползучестью, в противном случае — с нелинейной ползучестью.

Если в некоторый момент времени t\ > 0 производить разгрузку, то накопленная деформация ползучести начинает уменьшаться, асимптотически стремясь к некоторому пределу е», рис. 8.S. Такое явление носит название обратной ползучести. В частном случае, при линейной ползучести деформация б» при полной разгрузке мо­ жет стремиться к нулю, т.е. образец во времени полностью восста­ навливает свои первоначальные размеры. Это свойство материала

Обратимся к другому случаю, характеризующему свойства мате­ риалов и тесно связанному с ползучестью. Если имеется образец и обеспечить постоянство деформаций во времени в образце, как по­ казывают эксперименты, то во времени происходит снижение на­ пряжений (рис 8.6). Явления медленного уменьшения напряжений

вобразце при постоянной деформации называются релаксацией. При линейной ползучести, если материал конструкции не обла­

дает свойством старения, зависимость между напряжениями и де­ формацией можно представить в следующем виде:

332

Теория ползучести, учитывающая предысторию надеужения, на­ зывается наследственной теорией ползучести.

Связь между напряжением и деформациями по наследственной

Функция K{t-т) может иметь различные представления, в част­

где у, к — постоянные коэффициенты, характеризующие свойства материалов.

Если учесть свойства старения материалов, т.е свойства мате­ риалов, изменяющиеся во времени, то величина и упругие дефор­ мации и деформации ползучести конструкций зависят от возраста материала. В этом случае физические уравнения можно представить в следующем виде:

Здесь a , 0, я, А, В, у — постоянные характеристики материалов конструкций.

В общем случае, когда переменными являются как напряжение так и деформация, соотношения между ними с учетом свойства на­ следственности и строения в рамках линейной теории записывают­ ся в виде:

Здесь вводим обозначения:

333

(8.35)

Линейное соотношение между напряжениями и деформациями (8.34) отличается от закона Гука для упругого материала только тем, что вместо величины 1/1? здесь имеется интегральный оператор. От­ сюда следует следующее простое правило построения решения за­ дачи теории линейной ползучести, которое носит название прин­ цип Вольтерра.

Решение задачи по теории линейной ползучести может быть по­ лучено из решения аналогичной задачи в упругой постановке, далее следует заменить упругие постоянные интегральные операторы и произвести необходимые операции над ними.

В частности, если в известных упругих решениях предполагать, что они записаны в изображениях Лапласа, т.е. заменить уп­ ругие постоянные изображениями соответствующих операторов теории ползучести и применить операции переходов от изобра­ жений к оригиналам искомых функций, получим решение, соот­ ветствующее задаче с учетом ползучести материалов конструкции.

Отметим, что в настоящее время при решении многих инже­ нерных задач как в области механики твердого деформируемого те­ ла, так и других отраслях, широко применяется метод интеграль­ ного преобразования Лапласа. Этот метод особенно эффективен при решении линейных дифференциальных, интегро-дифференци- альных и интегральных уравнений, а также систем, состоящих из вышеуказанных типов уравнений, суть которого является следу­ ющей.

Если имеется некая искомая функция y{f) от действительной пе­ ременной /, обозначая через y(s) образ искомой функции ком­ плексной переменной s, т.е. изображение заданной функции по Ла­ пласу, тогда формулы по определению оригинала и его изобра­ жения имеют следующие представления:

О

где / — мнимая единица, а с — некоторая постоянная, на действи­ тельной оси.

334

кой, постоянной во времени. Материал балки характеризуется ли­ нейной ползучестью, для которого

* ( /}Т) = Х £ г * ('-т>.

Ч

По методу начальных параметров в упругой постановке эацачи решение записывается в виде

Тогда выражения перемещения (8.36) в изображениях Лапласа

Е0 S(S +у)*

Сучетом (8.38), (8.37) принимает вид

Выполняя операции обратного преобразования Лапласа, получим

Отсюда следует, что при действии постоянной нагрузки прогиб балки с течением времени возрастает по экспоненциальному закону и при /-><* принимает следующее предельное значение:

335

где уА— упругое перемещение, т.е. перемещение балки в точке А приГ=0.

8.5.Расчет перемещении балки с учетом ползучести

(задача № 28)

предполагая материал конструкции упругим, далее — линейно-пол-

336

3EQJ

= 2.0625Р + m ilq a = 32.28 кН.

Далее вычисляются опорные реакции в заделке:

2 > (0 ) = 0; А/0 = - Р З а - 2 Р а + 31282а =

=-90 - 60 - 81 +193.68 = 37.32 кН-м;

£/я(с) = 0; М0 + ЕоЗа-2Р2а + Хв а-д@ Ф - = о,огкуда

^= 3 7 .3 2 ,1 2 0 ,8 1 - 96.81 =1572icH

Проверяем правильность вычисления величины опорных реак­ ций:

Z У = ЛЬ + Хв - 2Р - Р - q3а = 15.72 + 3228 - 20 -1 0 -1 8 = 48 - 48 = 0. По методу начальных параметров последовательно определим ве­

337

2.Определить перемещение в точках А и С

сучетом ползучести материала конструкции

Запишем выражения упругого перемещения:

103.95.2537.88

Ул=~ E„J ’ Ус ~ Ее/ '

По аналогу этих формул, запишем выражения перемещений с учетом ползучести материала балки в изображениях Лапласа:

<■*

Применяя изображения Лапласа, запишем выражение функции K(t-т) в изображениях в виде (8.38).

Подставляя (8.38) в (8.40) получим

л Ю . _ м З » Г 1 + _ ! ! еД

Переходя к оригиналам окончательно получим

103.95

Ул(0 = - EQJ

В условиях установившейся ползучести при / -> ® из последних выражений вычисляются результирующие перемещения:

Ус(®) = - ^ 8 [! + к) = -14.582.-10~3 м.

338

ГЛАВА 9

Р А С Ч Е Т К О Н С Т Р У К Ц И Й П О М Е Т О Д У П Р Е Д Е Л Ь Н О Г О Р А В Н О В Е С И Я

9.1.Основные положения

Расчет конструкций в упругой постановке задачи, как известно, проводится по методу допускаемых напряжений. Данный подход при расчете статически определимых и статически неопре­ делимых систем не позволяет найти их истинный запас прочности, так как исчерпание несущей способности конструкции сопровож­ дается появлением в ней пластических деформаций. Для выявления истинного запаса несущей способности конструкции необходимо проводить расчет с учетом упругопластических деформаций. Однако сложность аппарата теории пластичности не позволяет решать ши­ рокий круг очень важных инженерных задач. В этом отношении расчет конструкций по методу предельного равновесия поз­ воляет дополнить существующий пробел по данному вопросу. По­ этому метод расчета конструкций по предельным состояниям, по сравнению с упругим расчетом, является важным этапом для оцен­ ки истинных запасов прочности конструкции. При этом следует от­ метить, что расчет конструкций по методу предельных состояний является приближенным в том контексте, что, в отличие от уп­ ругопластического расчета, не позволяет описать процесс перехода от упругого к предельному состоянию.

Если при проектировании инженерных сооружений необходимо знать процесс формирования напряженно-деформированного со­ стояния вплоть до исчерпания несущей способности конструкций, метод предельного равновесия неприменим. Однако в тех случаях, когда необходимо определить только несущую способность конст­ рукции, этот метод является очень эффективным и имеет важное практическое значение.

При расчете конструкций по допускаемым напряжениям в уп­ ругой постановке задачи, как известно, предельной нагрузкой

вводится понятие о допускаемом напряжении, определяемом по

формуле [о] = — , где п — коэффициент запаса. 1 * п

340