книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

поэтому функции Jj(s) от кСJе также будут ^-индифферентными относитель­

но Gs.

Способ учета температурной зависимости определяющих соотношений в виде разности тензора деформации и тензора тепловой деформации (4.1.66) называют моделью Дюгамеля — Неймана (см. также п. 2.6.1).

Подобным образом с помощью модели Дюгамеля — Неймана учитывают зависимость функции р$ от температуры:

подстановки (4.1.68а) в (4.1.64) получим выражение для плотности энтропии:

Говорят, что рассматривается модель Ап термореологически простой вязкоупругой среды, если ядра рт (4.1.57) в определяющих соотношениях (4.1.53) и (4.1.64) зависят от температуры в функциональным образом, с помощью так называемого приведенного времени:

— приведенное время — функционал от функции а${9), называемой функцией температурно-временного сдвига.

(п)

Если процесс С (г) рассмотреть относительно приведенного времени:

о

то, поскольку dr[ = ае(в(тг)) dri, функционал (4.1.53) с ядром (4.1.70) можно записать относительно приведенного времени:

Подставляя функционал (4.1.73) в (4.1.38), с учетом правила дифферен­ цирования (4.1.27) получаем определяющие соотношения для термореологи­

Здесь учтено, что d/dt = ao(d/dtf).

Отметим, что с помощью (4.1.38) и (4.1.74) функцию рассеивания w*

которая оказывается полезной при циклическом нагружении (см. § 4.6). Теорема 4.1.7. Термореологически простая среда является стабильной.

▼ Приведенное время (4.1.71) для смещенного процесса нагрева в{т) = = 6 (т —to) с учетом условия нормировки (4.1.72) можно представить в виде

при to < r <t. Дальнейший ход доказательства такой же, как в теореме 4.1.6, подробности оставляем в качестве упр. 1 к § 4.1. А

Упражнения к § 4.1

Упражнение 1. Провести полное доказательство теоремы 4.1.7.

Упражнение 2 . Используя определения 4.1.2 и 4.1.3, доказать, что функционал,

дифференцируемый по Фреше, является непрерывным.

§ 4 . 2 . Г л а в н ы е , к в а д р а т и ч н ы е и л и н е й н ы е м о д е л и в я з к о у п р у г и х с р е д с к о н е ч н ы м и д е ф о р м а ц и я м и

4.2.1. Главные модели А ^ вязкоупругих сред

Определяющие соотношения с использованием многократных интегра­ лов типа (4.1.53), (4.1.61) или (4.1.73) являются чрезвычайно громоздкими и сложными для практических вычислений. Поэтому широко используют частные модели вязкоупругих сред, в которых удерживают конечное число интегралов.

Для главной модели Ап термовязкоупругой среды разностного типа

в сумме (4.1.61) удерживают только один интеграл (га = 1), т. е. ф в этой модели имеет вид

О

где ро и р\ — функции указанных аргументов, причем функцию р\ выбираем со знаком «—», что всегда можно осуществить простым переобозначением функций.

Определяющие соотношения для такой среды имеют вид (4.1.64), где

следует принять га = 1:

t

зом, чтобы первые г штук образовывали функциональный базис инвариантов

где d/dt — частная производная от уц по первому аргументу; д'/дв — частная

Для главной модели Ап изотропной термовязкоупругой среды разност­ ного типа функциональный базис совместных инвариантов состоит из девяти инвариантов, в качестве которых можно выбрать следующие (см. т. 1, п. 4.14.3, а также т. 2, (3.13.35)):

Тензоры производных от этих инвариантов вычисляем с помощью следующих

Подставляя выражения (4.2.8) в (4.2.1) и группируя слагаемые по тензорным степеням, получаем определяющие соотношения для главной модели Ап изо­ тропной термовязкоупругой среды:

Соотношение (4.2.9) по форме подобно аналогичному соотношению (т. 2,

(3.8.46)) для изотропной упругой среды, однако в (4.2.9) ф\, ф^ и Фз ~ Уже

(п)

не функции инвариантов тензора С, а функционалы вида (4.2.10).

4.2.3. Главная модель А п трансверсально-изотропной

термовязкоупругой среды

Для главной модели Ап трансверсально-изотропной (относительно группы Т3) термовязкоупругой среды разностного типа функциональный базис сов-

где инварианты ц(3); определяются формулами (т. 2, (3.8.21)).

366 Глава 4. Вязкоупругие среды

Подставляя эти выражения в (4.2.1), после перегруппировки слагаемых полу­ чаем определяющие соотношения для главной модели Ап трансверсальноизотропной термовязкоупругой среды:

4.2.4. Главная модель A ^ ортотропной термовязкоупругой среды

Для главной модели Ап ортотропной термовязкоупругой среды разност­ ного типа функциональный базис совместных инвариантов состоит из 12 ин­ вариантов, в качестве которых можно выбрать следующие (см. т. 1, п. 4.14.3 и т. 2, (3.13.35в)):

4 °) = 4 ° )(С *(*)), 7 = 1. • • • .6; 4 2 = 4 0)(С в(г)). 7 = 1, 2,3,6;

К этому набору целесообразно добавить еще два инварианта (являющихся зависимыми) для получения симметричных относительно векторов с2а соот­ ношений:

Тензоры частных производных от этих инвариантов имеют вид (см. т. 1, и. 4.14.7):

где тензор 6Ош определяется формулой (т. 2, (3.8.40)).

Подставляя выражения (4.2.17) в (4.2.1), после приведения подобных получаем определяющие соотношения для главной модели Ап ортотропной термовязкоупругой среды:

4.2.5. Квадратичные модели A n вязкоупругих сред

В квадратичной модели Ап термовязкоупругой среды разностного

типа в сумме (4.1.61) оставляют два интеграла, т. е. т = 1,2. Вид опре-

о

деляющих соотношений для конкретных групп симметрии Gs становится существенно более громоздким, так как при этом появляются двукратные ин­ тегралы и приходится рассматривать совместные инварианты Jj уже от трех тензоров. Поэтому обычно ограничиваются частным случаем квадратичной

Поскольку ядро Lp2 в этой модели не зависит от С #(£), то dp2 /dCo(t) = 0 и определяющие соотношения совпадают с (4.2.2), а, следовательно, и с (4.2.9), (4.2.13) и (4.2.18). Отличие между главной и квадратичной моделями заключается только в виде самого функционала ф и функции диссипации w*. Такая ситуация является характерной для вязкоупругих сред, когда различным функционалам свободной энергии ф соответствуют одни и те же соотношения между тензорами напряжений и деформации. Из сравне­ ния главной модели (4.2.1) с квадратичной (4.2.20) очевидно, что у первой имеется только одно ядро уц, которое входит в соотношение (4.2.2), а у квадратичной модели — два ядра и одно из которых не входит в соотношение (4.2.2) между напряжениями и деформациями. Отсюда следует, что для главной модели можно восстановить функционал свободной энергии ф по соотношениям (4.2.2) с точностью до энтропийной составляющей дро/дв и константы ро(0 , во) = '00-

Модели вязкоупругих сред, обладающие таким свойством, называют ме­ ханически детерминированными.

Квадратичная модель не является механически детерминированной, так как из-за наличия ядра р 2 нельзя восстановить вид ф по соотношениям (4.2.2) между напряжениями и деформациями. Тем не менее, эту модель также используют в приложениях ввиду ее квадратичной структуры, харак­ терной для термодинамических потенциалов.

4.2.6. Линейные модели A n вязкоупругих сред

Квадратичную модель Ап термовязкоупругой среды разностного типа

p77(t —n , t —72) — двухмоментные ядра (функции двух переменных, сим­ метричные по у и /3, а также по t — т\ и t —72);

(п)(п)

J7(Co(r\), С 0(72)) входят в выражение для функционала ф линейных моде­

лей, удобно перенумеровать эти инварианты по сравнению с базисами (4.2.7),

(п)

(4.2.11), (4.2.15), перечисляя сначала линейные инварианты 1^(С #(£)), а за-

тем квадратичные совместные инварианты С ,9(72)).

Главная линейная модель Ап вязкоупругих сред получается после приме­ нения аналогичных соотношений для функций уу и уу главной модели (4.2.1),