книги из ГПНТБ / Пфлейдерер, Карл. Лопаточные машины для жидкостей и газов водяные насосы, вентиляторы, турбовоздуходувки, турбокомпрессоры

не меняются, если канал из горизонтального положения переводится в любое другое, поскольку нет свободной поверхности, и, следова­ тельно, согласно уравнению Бернулли для каждой точки простран­ ства z + Р/;' = const. Изменяются только давления в соответствии с изменением высоты г. Чтобы иметь возможность определять давле­ ния в любой точке, ради упрощения примем, что изменения высоты положения г отдельных частиц жидкости при их движении в канале исчезающе малы по сравнению с изменениями давлений. Это предположение почти всегда с достаточной точностью выполняется для потоков внутри рабочих и направляющих каналов лопаточных ма­

Рассмотрим канал, форма которого изображена на фиг. 39 и где имеет место как изменение сечения, так и изменение направления.

1. Подобие течения в элементарных уча­ стках плоского потока. Пусть ширина канала, пер­ пендикулярная к плоскости чертежа равняется Ь. Ширина Дг/ каж­ дой трубки тока с одинаковым расходом ДУ должна удовлетворять уравнению неразрывности. Следовательно, имеем

При этом Дг/ соответствует средней ширине криволинейного четы­ рехугольника. Вследствие равенства разности потенциалов ДФ между нормальными линиями, для средней ширины Дх нормальной линии

Правая сторона последнего выражения одинакова для всех криво­ линейных четырехугольников.

В плоском потоке несжимаемой жидкости образуются, таким образом, непосредственно наблюдаемые линии тока и нормальные

60

к ним линии (равного потенциала) прямоугольников с постоянным отношением сторон (см. работу того же автора «Центробежные насосы» 4-е издание).

Скорость с является средним значением, так что эти прямоуголь­ ники должны быть достаточно малыми. Если этот прямоугольник представляет собой квадрат, то и все криволинейные четырехуголь­ ники квадраты. Этот вывод показывает также, что поток в кана­ лах с кривизной полностью подобен в элементарных участках потоку в прямолинейном канале; он представляет также конформное отображение прямолинейного потока. Каждый плоский поток можно вывести из других известных плоских потоков, используя для кон­ формного преобразования соответствующие математические методы.

Используя закон подобия для построения картины течения сна­ чала строят основную сетку в относительно крупном масштабе, а затем уточняют полученное распределение путем нанесения диаго­ нальных кривых. Особенно удобно выбрать квадратную форму для криволинейных прямоугольников, потому что тогда можно исполь­ зовать вписанные окружности (см. фиг. 39), при этом диагонали будут расположены перпендикулярно друг другу. Расчет облег­ чается, когда дополнительно определяется характер изменения ско­ рости вдоль нормальных линий на основании изложенного ниже способа.

2. Определение распределения скоростей вдоль нормальной линии. Закон площадей рс — К. справедлив только тогда, когда все линии тока имеют общий центр кривизны, следовательно, являются концентрическими окружно­ стями. Это не имеет места за очень малыми исключениями, в част­ ности в колене трубы (см. фиг. 42). Насколько неправильно общее применение закона площадей можно показать на примере потока в сужающемся канале, изображенном на фиг. 41, где, очевидно, траектории как правило, искривлены вплоть до средней линии, для которой р = со, следовательно, согласно приведенному выше уравнению скорость должна равняться нулю.

Если для элемента, заштрихованного на фиг. 38 и образованного двумя соседними нормальными линиями и двумя соседними линиями тока на расстоянии dy, написать условие равновесия аналогичным образом, как это было сделано в разд. 9, то мы опять придем к уравне­ нию (2. 126), только вместо dp появится dy. При этом величина у представляет длину ЕА нормальной линии от наружного края до рассматриваемой точки Л, так что dy является положительным в на­ правлении к центру кривизны. Отсюда, очевидно, можно ввести dp =

Следовательно, имеется три переменных величины с, у, р, причем р зависит только от у. Если произвести интегрирование вдоль рассмат-

61

риваемой нормальной линии от £ до Л (фиг. 38) и обозначить скорость у наружного края в точке £, (при у = 0), то получим

Это уравнение справедливо для общей формы потока вместо закона площадей. Однако оно мало пригодно для определения картины то­

в любом масштабе (фиг. 40) таким образом, чтобы радиусы кривизны

точке В кривой с, как показано на фиг. 40. Ввиду того, что рас­ ход V на любой длине у равняется

оо

интегральная кривая линия с представляет линию значений Vy/b. Ширину (/ струйки вдоль рассматриваемой нормальной линии, можно получить, если конечную ординату DD', которая характери-

зует общий расход -у-, разделить на большое количество одинаковых

частей, рассматривая их как отдельные струйки. Перенеся затем отдельные точки на линию Vy, можно определить значения Дг/'в виде отрезков на оси у (фиг. 40). Тот же способ осуществляется для не­ скольких нормальных линий и повторяется до тех пор при соответст­ вующем изменении кривой, пока криволинейный четырехугольник не будет удовлетворять закону подобия.

При использовании исключительно закона подкасательной, оче­ видно, кривая с определяется неоднозначно, потому что не учиты­ вается радиус кривизны средней линии тока. Выводы можно значи­

62

тельно облегчить, если исходить из часто встречающегося случая изменения р вдоль нормальной линии. Если принять для этого слу­ чая гиперболу с граничными значениями р] и ри, причем асимпто­ тами являются оси координат, то интегрирование уравнения (2.25) дает

(а—‘длина всей нормальной линии EF).

Кривую с можно легко подсчитать по этому уравнению. Оно тем более точно воспроизводит действительные соотношения, чем боль­ шую кривизну имеют стенки (границы) канала. Оно удовлетворяет также закону подкасательной на границах. Если р = со, т. е. одна из стенок (граница) канала прямолинейна, что часто встречается, то это уравнение примет вид

При очень резких или даже скачкообразных изменениях радиуса кривизны стенок канала целесообразно использовать один только закон подобия криволинейных четырехугольников. Масштаб линий с и Еу, которые непосредственно не используются при построении

ного графического метода, возможен также другой эксперименталь­ ный способ определения картины тока идеальной жидкости. Поток реальной жидкости дает иную картину вследствие влияния вязкости, что будет рассмотрено в разделе 12. Но в начальный период или что то же — при колебательном состоянии обтекаемых поверхностей установится искомая картина течения. Кроме того, можно точную картину потенциального потока осуществить, используя аналогию между потенциальным потоком и потоком с очень большой вязко­ стью согласно Хилл — Шоу [15], для чего наблюдается поведение потока в очень тонком слое между двумя стеклянными пластинами. Другая возможность состоит в предложении Прандтля и Кухарского о применении мембранной аналогии, причем над двумя точно гори­ зонтально расположенными, но сдвинутыми в вертикальном направле­ нии краями канала натянута тонкая резиновая пленка; линии тока получаются в виде горизонтальных сечений на поверхности [16]. Тома [17] экспериментально с этой же целью осуществил измерение электрического тока в тонкой пластине.

Этот способ использует возможность замены линий тока и нор­ мальных линий. Полученная сетка остается неизменной при плоском потоке вследствие закона подобия, если линии тока и нормальные линии взаимно обмениваются своими ролями.

Этот экспериментальный способ иногда пригоден для целей демонстрации; конструктор предпочитает применять графический спо­ соб. Важно также определить, что можно суммировать любые потоки

63

наложением и отсюда получать новые формы потоков. При этом ско­ рости, как и силы, складываются геометрически (векторно). Этот способ общеприменим также для неплоских потенциальных течений Е Если наложить друг на друга линии токов двух плоских потоков, то получаем результирующие течения путем проведения диагонали криволинейных четырехугольников, которые образуются отдель­

ными струйками с одинаковым расходом.

б) Некоторые особо важные картины токов для плоского потока.

На фиг. 41 показана картина токов для прямолинейного канала с переменным сечением. Пунктирные линии представляют линии

Фиг. 41. Потенциальное течение в суживающемся или расширяющемся канале с прямой осью.

одинаковой скорости, а следовательно также одинакового давления. Эта картина ясно показывает, что широко распространенное пред­ ставление о равномерном распределении давлений и скоростей по сече­ нию канала является неправильным даже тогда, когда ось канала прямолинейна. Отклонения наиболее велики в местах большей кри­ визны стенок канала.

Если бы канал имел острые выступающие кромки (внешний угол), то линии тока должны там сгущаться и возникать бесконечно большие скорости; в то же время скорость снижалась бы до нуля у острых внутренних углов, т. е. наблюдалось бы местное полное торможение. Поэтому необходимо избегать выступающих углов, которые приводят к срыву потока.

где и, v, w — составляющие скорости одной точки по направлениям х, у или г.

64

На фиг. 42 изображено колено с прямоугольным сечением, кото­ рое на обоих концах соединено с прямолинейными каналами с изме­ нением направления на 180°. Если рассматривать отдельно прямо­ линейную и криволинейную часть канала, то в прямом участке канала линии тока должны быть на одинаковом расстоянии друг от друга, а в криволинейном участке канала, вследствие неравномерного рас­ пределения скорости, — на разных расстояниях. Но тогда в местах перехода имел бы место разрыв течения (разрыв значений х линии тока). Так как это невозможно, то линии тока в прямолинейном ка­ нале перед и после колена должны принимать криволи­ нейную форму. Следователь­ но, поток в криволинейном канале оказывает влияние на поток в прилегающих прямолинейных участках.

Фиг. 42. Потенциальное течение в колене прямоугольного сече­ ния.

Отсюда ясно, что при изменении направления потока картина *тече ния на повороте сильно зависит от примыкающих каналов. Это делает более понятным, почему в межлопаточном канале (для ко­ торого линии тока изображены согласно описанным выше правилам на фиг. 85, в разделе 19) поток в середине канала не следует полно­ стью за изменением направления, предписанному формой лопаток.

Другой важный особый случай плоского потока представляет собой вихреисточник или вихресток (фиг. 43), который образуется

в результате сочетания потенциального вихря (см. раздел 9, пункт б)

срадиальным потоком, т. е. с источником, расположенным на оси. Например, этот поток может находиться на окружности радиального лопаточного колеса, так как там поток выходит с определенной ра­ диальной и тангенциальной составляющими скорости и продол­ жается дальше между параллельными стенками. У этого потока угол

наклона а линии тока относительно параллельных окружностей является постоянным, что должно иметь место также для нормаль­ ных линий. Оба семейства кривых представляют, следовательно, логарифмические спирали. Доказательство получается из следую­ щего простого рассуждения. Обозначим ст и си — радиальную и тан-

генциальную составляющую скорости на расстоянии радиуса г (меридиональная и окружная составляющие) при ширине канала Ь,

в меридиональном сечении (фиг. 44), представляющими собой радиальную проекцию действительных линий тока. При этом очевидно на протекание линий тока влияет только составляющая скорости, параллельная меридиональной плос­ кости, т .е. меридиональная составляющая ст (которая одна создает перенос жидкости), в то время как перпендикулярно ей направ­ ленная окружная составляющая скорости си (т. е. циркуляция) никакого отражения не получает.

1. Поток без тангенциальных составляю­ щих скоростей си (расходный поток). Четырехугольники, которые образованы линиями тока и нормальными линиями в рас­ сматриваемом меридиональном сечении, больше не подчиняются закону подобия, выведенному для плоского потока [см. уравнение (2. 23) ], потому что кольцеобразное сечение отдельных струек 2itMz/ зависит от соответствующего радиуса г. Отсюда условие неразрыв­ ности гласит

л

rbycm=-^-.

66

С другой стороны, мы здесь опять имеем дело с потенциальным течением и нормальные линии должны иметь одинаковую разность потенциалов ДФ, а следовательно здесь справедливо

Дхс,„ = ДФ.

Отсюда для криволинейного четырехугольника сетки линий тока

причем Дх, Дг/ представляют среднюю длину сторон криволинейного четырехугольника (в противоположность обозначениям на фиг. 44).

Следовательно, по меридиональному сечению соседние линии тока и нормальные линии образуют прямоугольники, отношение сторон которых, пропорционально их расстоянию от оси вращения. Криволинейные четырехугольники изменяются, следовательно, таким образом, что с ростом радиуса г сторона Дг/ сокращается по срав­ нению Дх. Приведенная выше зависимость при построении картины течения в первом приближении оказывает такую же хорошую службу, как и закон подобия для течения в элементарных участках плоского потока; ее можно еще дополнить нижеследующим определением рас­ пределения скорости вдоль нормальной линии.

Рассмотрим в плоскости меридионального (продольного) сечения бесконечно малый элемент ABCD (см. фиг. 44), которому соответ­ ствует жидкое кольцо постоянного сечения. Вследствие кривизны траектории возникают центробежные силы, которые снижают давле­ ние по направлению к центру кривизны. При обозначениях, приве­ денных на фиг. 44, площадь сечения кольца

df = dxdy = pdydy

и поэтому центробежная сила, приходящаяся на единицу длины окружности при условии, что скорость в рассматриваемом месте равняется ст и определяется из уравнения

..2

dC = df-?- = -1- *d<?dyc n.

Следовательно, приращение давления на длине dy нормальной линии соответствует

Перед правой частью уравнения следует поставить знак минус, если мы будем считать у положительным по направлению к центру кривизны, следовательно, в направлении, обратном, de, что будет соответствовать ранее принятым обозначениям.

Если объединить это выражение с производной от уравнения Бернулли, т. е. согласно уравнению (2. 12а)

_LdP + £^l = 0 1 1 g

получаем дифференциальное уравнение

Рст

которое полностью совпадает с ранее выведенным уравнением (2. 24) для плоского потока. Отсюда следует, что и для этого случая можно применить уравнение (2. 25) для определения скорости

ln-^=f-^. (2.28)

Здесь индекс I относится к тому краю канала, откуда начинается отсчет у, т. е. от поверхности канала, лежащей дальше от центра. кривизны.

Проверка картины тока с помощью этого уравнения производится аналогич­ ным образом как и в ранее описанном слу­ чае плоского потока. Изменяется только условие неразрывности, потому что через

Фиг. 45. Диаграмма для определения картины токов потенциального течения в полости вращения.

любой участок длины у нормальной линии, т. е. через соответствую­

оо

причем г зависит от у. Ввиду того, что уравнение (2. 27а) идентично уравнению (2. 24) (если ст заменить на с); здесь также справедлива закономерность, согласно которой подкасательная у кривой ст равна радиусу кривизны р линии тока (фиг. 45). Справедливо также уравне­ ние (2. 26) и, таким образом, форму этой кривой в большинстве слу­ чаев можно достаточно точно определить, не применяя уравнения (2. 28), так как известны радиусы кривизны обеих сторон канала. Множитель 2тс в уравнении (2. 29), как раньше Ь, входит в соответ­ ствующий масштаб линии V .

68

Здесь возможно также осуществить экспериментальные методы,

составляющей скорости ctl. Если наряду с рассмотрен­ ным меридиональным потоком имеется еще круговое движение вокруг оси, то можно оба потока объединить так, что скорости будут скла­ дываться геометрически, а давления — арифметически. Тогда мери­ диональные скорости ст результирующей скорости с не будут изме­ няться, следовательно, не изменяются также приведенные выше выводы.

Очевидно, результирующее течение может быть свободно от вра­ щательного движения только тогда, когда не имеет вращательного движения круговой поток, дополняющий меридиональное течение; отсюда следует, что должен быть справедлив закон площадей также в случае кругового потока. Если си означает окружную составляющую на расстоянии радиуса г, то должно быть справедливо равенство

V = К.

Эта форма течения была уже рассмотрена в разделе 9 как потен­ циальный вихрь. Здесь также скорости са могут недопустимо возра­ стать с уменьшением радиуса г и, следовательно, давление может снижаться вплоть до разрыва сплошности. Поэтому при протекании воды через полости вращения (например, через всасывающие трубы) либо не допускают вращения воды, либо вводится воздух, либо уста­ навливаются специальные обтекатели по оси (см. фиг. 329).

12. ТЕЧЕНИЕ РЕАЛЬНЫХ ЖИДКОСТЕЙ

Движение частиц жидкости происходит под влиянием сил давле­ ния, которым противодействуют массовые силы и силы вязкости. Последними мы до сих пор пренебрегали, В настоящем разделе особо рассматривается влияние вязкости на течение реальной жидкости и газов.

кость (см. фиг. 46), перемещаются параллельно друг другу с раз­ ницей скорости Ас. Как известно из практики, преодолеваемое сопротивление пропорционально разности скоростей Ас плоскостей АВ и CD и обратно пропорционально расстоянию А у между этими

1 Этот способ имеет тот недостаток что определяются не линии токов, а нормальные линии, которые при данном пространственном течении не аналогичны линиям токов. См. работу [20]; кроме того, работы [21] и [22].

69