книги из ГПНТБ / Пфлейдерер, Карл. Лопаточные машины для жидкостей и газов водяные насосы, вентиляторы, турбовоздуходувки, турбокомпрессоры

ного течения с циркуляцией определим распределение давления, пользуясь рассуждениями предыдущего примера. В сосуде, имеющем форму рабочего колеса насоса (фиг. 28), вырежем очень малый эле­ мент высотой Ь, ограниченный двумя цилиндрическими плоскостями с радиусом г п г + dr и двумя меридиональными плоскостями, рас­ положенными под бесконечно малым углом друг к другу. Ана­ логично уравнению (2. 12), приращение давления вследствие дей­ ствия центробежных сил составит

ние изменяется по параболе, что подтверждается экспериментально, так как известно, что при вращении свободная поверхность воды принимает форму параболы. На фиг. 28 внизу значения энергии давления h и hi произвольно отнесены к вершине параболы. Уравне­ ние (2. 17) справедливо также для газов, если под величиной h понимать адиабатическую энергию давления.

Подобный вихрь существует в потенциальном течении с циркуля­ цией вдоль его оси. Если осевой вихрь распространить на конечный объем с радиусом rw, причем на границе вихря его окружная ско­ рость будет равна окружной скорости потенциального течения с цир­ куляцией в данной точке, то поток, очевидно, не изменится в безвих­ ревой области. Только распределение давления в ядре вихря будет теперь происходить по параболическому закону, как показано на фиг. 26. Вихревое ядро с конечными размерами действует в поле потенциального течения с циркуляцией как инородное тело. Поэтому

50

его можно заменить твердым телом такой же формы, причем оно может быть также неподвижным в случае, когда его поверхности свободны от трения. Подобное представление о «замороженном» вихре может быть полезным, потому что в отличие от вихря из жид­ кости подобный «замороженный» вихрь может воспринимать боко­ вые усилия, т. е. может воспринимать подъемную силу.

г) . Потенциал скорости и циркуляция. Если течение обладает потенциалом скорости Ф, то в общем случае величина этого потен­ циала в соответствии с его функцией Ф (х, у, г) различна в разных точках потока. Согласно изложенному ниже определению потен­ циала, разность потенциалов между двумя точками А и В простран­ ства определяется линейным интегралом скорости вдоль любой соединительной линии

т. е. каждый элемент линии умножается на составляющую скорости, совпадающую

деленном потенциальном течении с циркуляцией радиус rw изменялся, то

u>rw-rw — ti>r2w — const..

Это значение, согласно предыдущему уравнению, пропорцио­ нально циркуляции или интенсивности потока. Отсюда ясно, что для определенного потенциального течения с циркуляцией интен­ сивность вихря не зависит от выбора диаметра вихревого шнура, и следовательно, однозначно определяется окружающим вихрь без­ вихревым потоком.

Рассмотрим бесконечно малую частицу жидкости прямоуголь­ ного сечения / (фиг. 30), составляющие скорости которой по осям х

и у равны соответственно и и v. Циркуляция вдоль контура частицы составит

Г= {и + du) dx — (у + dv)dy — udx + vdy — dudx — dvdy.

Сдругой стороны, угловая скорость вращ°ния частицы согласно уравнению (2. 11) с учетом знака каждой части, составит

следовательно,

Г = 2ю/.

Это соотношение можно вывести, взяв элементарную частицу любого сечения. Таким образом, выведенный выше закон для круг­

лого сечения справедлив для сечения любой формы, т. е. приобре­ тает характер общего закона. Отсюда: циркуляция равна нулю в любом случае, когда рассматриваемый элемент не имеет враще­ ния. Если представить себе любой поток с вихревым ядром или без него, то циркуляцию можно определить как линейный интеграл скорости вдоль замкнутой линии, окружающей рассматриваемую область (фиг. 31). Если мы получили представление о распределении вихря в результате разложения замкнутой поверхности на бесконечно большое число элементов (например, на элементарные прямоуголь­ ники), то согласно сказанному выше становится очевидным, что циркуляция вокруг невращающихся частиц равняется нулю, а вокруг завихренной частицы равняется соответствующему напря­ жению вихря.

Если составить сумму циркуляций по этим элементам (при этом, конечно, циркуляции для отдельных элементов должны все опре­ деляться в одном направлении), то окажется, что каждый линейный интеграл по линии, разграничивающей смежные элементы, входит в сумму дважды, но с противоположными знаками, так что в резуль­ тате суммирования остается только линейный интеграл по внешнему ограничивающему контуру. Отсюда следует:

52

1.Циркуляция равна сумме напряжений вихрей, заключенных внутри контура интегрирования.

2.Циркуляция не зависит от формы этого контура, если в нем за­ ключаются одни и те же вихри.

3.Для всех контуров, внутри которых нет вихрей, циркуля­

ция равна нулю.

4. Только безвихревые потоки имеют потенциал, который в дан­ ном случае является разностью потенциалов между двумя точками пространства, независимо от пути интегрирования. Поскольку между линиями интегрирования нет вихревого ядра; то согласно фиг. 32 имеем

выше законов содержит в себе, как особый случай, закон площадей, выведенный в разделе 9, пункт б, потому что циркуляция по круго­ вому контуру потенциального течения с циркуляцией равна моменту количества движения, умноженному на 2и и, следовательно, может быть постоянной только при условии постоянства момента коли­ чества движения.

Распределение вихревых нитей определяет собой распределение циркуляции и влияет, таким образом, на вызванное ею циркуляцион­ ное движение. Последнее получается наложением потенциальных вихрей, соответствующих отдельным вихревым нитям, причем ско­ рости складываются геометрически. Само движение, за исключением входящих в него вихрей, происходит без вращения частиц. Особый признак движения, кроме замкнутых линий тока, состоит в том, что скорости уменьшаются до нуля в бесконечности. В общем наблю­ даются аналогичные условия как в магнитном поле, которое харак­ теризуется числом и положением проводников тока.

Между вихревой нитью в невращающейся жидкости и электри­ ческим проводником существует полная аналогия. Закон Био-Са- вара справедлив и для вихревых шнуров. Сила тока в проводнике соответствует напряжению вихря или циркуляции, напряженность магнитного поля—скорости течения.

В пространственном потоке вихревые нити могут быть произвольно изогнуты. Однако напряжение их должно быть постоянно по всей длине.

Следовательно, эти нити не могут заканчиваться внутри жидкости. Они должны либо упираться в границы жидкости, либо замыкаться сами на себя (вихревые кольца). Разветвление вихревой нити, разу­ меется возможно, так как общая величина циркуляции от этого не меняется.

53

Объединяя в пучок большое число вихревых нитей различного напряжения получим ядро любого сечения конечных размеров, для

Циркуляция равна удвоенному вихревому потоку (интеграль­ ный закон Стокса).

Подобными вихревыми ядрами любой формы с неравномерным распределением напряжения можно, например, считать лопатку рабочего колеса насоса или крыло самолета, причем в этих случаях речь идет о «замороженных вихрях».

д) Возникновение давления на лопатку (11). Плоский потен­ циальный поток вокруг одной лопатки в неограниченном простран-

Фиг. 33. Обтекание крылового профиля:

а — обтекание без циркуляции; б — циркуляционное течение; в — результирую­ щий поток.

стве может быть или потоком чистого обтекания (фиг. 33, а), или чисто циркуляционным потоком (фиг. 33, б), или, наконец, сочета­ нием этих двух видов потоков (фиг. 33, в). Чистое обтекание характе­ ризуется тем, что происходит перемещение жидкости, а циркуляция отсутствует. При чисто циркуляционном потоке линии тока замкнуты и окружают рассматриваемое тело. Следовательно, благодаря тому, что контур интегрирования окружает тело лопатки, чисто циркуля­ ционный поток характерен отсутствием перемещения жидкости; циркуляция вокруг лопатки во всех точках пространства остается одинаковой, и, очевидно, скорости циркуляционного потока на бес­ конечности стремятся к нулю. Чистое обтекание можно мысленно представить, помещая лопатку в плоско-параллельный поток идеаль­ ной жидкости. Чисто циркуляционный поток можно считать обусло­ вленным суммой Г циркуляций ряда воображаемых вихрей, распо­ ложенных по контуру (или внутри) лопатки и уходящих в бесконеч­ ность. Ни один из таких потоков идеальной жидкости не может вызвать силы, действующей на лопатку. Если же эти оба потока сло­ жить (путем векторного сложения скоростей в каждой точке), то можно увидеть, что на верхней стороне лопатки, где направление обоих течений совпадает, возникнут большие скорости, в то время как на другой, нижней стороне лопатки вследствие противополож­ ного направления потоков скорости уменьшаются. Так как самый поток является бехвихревым и, следовательно, соотношения в рем в данном случае удовлетворяют уравнению Бернулли, то, очевидно,

54

давление на нижней стороне лопатки будет выше, чем на верхней. Вследствие разности давлений возникнет некоторая сила (подъем­ ная сила).

Рассмотрим вопрос, как возникает циркуляция и подъемная сила, когда крыло помещено в потоке реальной (вязкой) жидкости. Если построить картину токов для крыла, обтекаемого плоско-парал­ лельным потоком (например, при помощи методов, изложенных в разделе 11), то получим картину токов чистого обтекания (фиг. 33, а) Для этого случая характерны критические точки А и В у передней и задней кромок крыла, в которых линия тока, подходящая перпен­ дикулярно к профилю крыла, разветвляется, обтекает контур,

щей некоторой конечной, но настолько малой вязкостью, что она проявляется, главным образом, лишь в прилипании к стенкам. Острая задняя кромка крыла должна обтекаться с бесконечно боль­ шой скоростью, следовательно при отрицательном давлении, в направ влении от нижней поверхности крыла к точке В. В действительности это приводит к срыву вихря в пограничном слое, как показано на на фиг. 34. Так как вначале циркуляция по достаточно большому кон­ туру, охватывающему крыло и сбегающий вихрь, была равна нулю, то и в дальнейшем она должна оставаться равной нулю, что возможно лишь в случае, когда вокруг крыла возникает циркуляция такая же, как и вокруг вихря, но противоположного знака. Это циркуляцион­ ное обтекание (фиг. 33, б), очевидно, вызывает передвижение крити­ ческой точки В по направлению к задней кромке. Образованием ряда последовательных вихрей она передвигается до самой кромки до тех пор, пока не установится стекание струй по касательной, в силу чего исчезает причина одностороннего срыва вихрей. На основании

сил является вязкость и что за счет той же вязкости жидкость стре­ мится стекать по касательной к профилю.

Если крыло не имеет острой задней кромки, то срыв вихрей будет иметь место как с верхней поверхности, так и с нижней. Но из-за несимметрии профиля одна из систем вихрей получит перевес, так что с одной стороны будет сообщаться большая циркуляция, чем с другой, и, таким образом, возникнет результирующая циркуляция, которая равняется отрицательному значению алгебраической суммы интенсивностей срывающихся вихрей. Непрерывный срыв вихрей за тупым концом крыла приводит, однако, к увеличению сопротивле­ ния по сравнению с острой кромкой.

55

Некоторое количество вихрей будет срываться с крыла при уста­ новившемся движении даже при наличии острой кромки, так как картина токов с касательным стеканием струй (фиг. 30, в) показы­ вает, что на верхней стороне крыла будет наблюдаться большая толщина пограничного слоя, в то время, как на нижней стороне она уменьшается к концу крыла. Вследствие этого с верхней стороны крыла будет перетекать больше «застойной жидкости» чем с нижней стороны, не полностью достигается также тангенциальное стекание,

а устанавливается течение с уменьшенной

ного сопротивления формы, которое имеет непосредственную связь с уменьшением подъемной силы; на прео­ доление этого сопротивления требуется дополнительная затрата работы, соответствующая энергии срыва вихрей.

Если увеличивать угол наклона крыла по отношению к набегаю­ щему на него потоку, т. е. угол атаки, то в конце концов поток начи­ нает срываться с верхней поверхности крыла, близко к его передней кромке, и подъемная сила перестанет увеличиваться и может даже начать падать. Это явление много общего имеет с так называемым входным ударом в рабочих колесах насосов.

10. ЗАКОН КУТТА-ЖУКОВСКОГО

Вывод величины силы давления на лопатки (подъемной силы) проще всего сделать, рассматривая сначала самый общий случай (фиг. 36), а именно, рассматривая обтекание плоской лопаточной решетки, полученной путем развертки коаксиального цилиндри­ ческого сечения, сделанного по осевому рабочему колесу.

Поток через эту решетку должен быть плоским, т. е. его ширина b в направлении, перпендикулярном плоскости развертки, должна быть постоянной. Решетка может быть неподвижной или переме­ щаться с постоянной скоростью в своем продольном направлении (т. е. в окружном направлении осевого колеса). Поток будем рассмат­ ривать относительно решетки, т. е. так, как он представляется нахо­ дящемуся на решетке наблюдателю. При этом условии упомянутое собственное движение решетки невлияет на ход рассуждений. Отно­ сительные скорости потока будем обозначать буквой ш, все величины для точек, расположенных на некотором удалении перед и за решет­ кой, будем обозначать соответственными индексами 0 и 3. Составляю­ щие сил и скоростей в направлении параллельно и перпендикулярно длинной стороне решетки, обозначим индексами и и т. Будем счи-

56

тать, что плотность перемещаемой жидкости остается примерно постоянной.

Определим сначала циркуляцию вокруг одной лопатки прямо­ линейной решетки, так как мы будем ею пользоваться впоследствии. Контур интегрирования выбираем параллельно фронту решетки далеко впереди и позади нее и вдоль двух линий тока ab и cd (пунктир­ ные линии на фиг. 36), отстоящих друг от друга на шаг лопаток t

и, являющихся конгруэнтными. Линейные интегралы вдоль этих двух линий тока взаимно уни­ чтожаются, так как они равны

по величине и противоположны по знаку; циркуляция вокруг ло­ патки составит

г« = (ЩОи — W^t.

Величину и направление усилия лопатки А определим, пользуясь законом количества движения, причем контрольной поверхностью будет служить упомянутый выше контур интегрирования. По усло­ вию равновесия сил на контрольных поверхностях давления, дей­ ствующие вдоль боковых поверхностей потока исключаются, так как они равны по величине и противоположны по знаку. Расход через каждый канал между соседними лопатками ДР = btwam = btwSm, поэтому w3m = w3m = wm (фиг. 37); из. условия равновесия сил получим составляющую усилия лопатки А вдоль направления

57

и следовательно

А т = 2i bt ~ (wou + “’sj-

Если построить среднегеометрическое CD= w„ между обеими

скоростями w0 = СА и w3 = СВ (фиг. 37), причем конец вектора D делит отрезок АВ пополам, и обозначить угол наклона этого век­ тора- к фронту решетки через р„, то, очевидно,

%-. + ®за = 2FD = 2wm ctg

следовательно

= Y- btwm — WSu) Ctg «, = J- bwmVs Ctg

или, с учетом уравнения (2. 21)

Am = 71„ctg o».

Отсюда следует, что является также углом между А и А т, т. е. усилие лопатки А перпендикулярно среднему направлению потока w«,. Кроме того, имеем

то в уравнении (2. 22) ничто не изменится. Циркуляция Ц остается при этом конечной, тогда как расход растет через межлопаточное пространство бесконечно с неограниченным увеличением шага лопа­ ток. Поэтому единичная лопатка в безграничном параллельном тече­ нии не может вызвать общего отклонения потока и, следовательно, скорость на определенном удалении за лопаткой будет соответство­

было сначала выведено другим путем и получило наименование

характеристическим параметром набегающего потока, а Г, — пара­ метром циркуляции. Закон Кутта — Жуковского, следовательно, гласит, что возникающая подъемная сила для удельной массы ~{/g =1 и ширина потока b = 1 при отсутствии трения равна произведению указанных обоих параметров и действует перпендикулярно к направ-

58

лению потока. Однако остается неизвестной точка приложения подъем­ ной силы А к лопатке. Она может быть ощзедшшна-эксперименталъно или более тщат£дьцым_изучением распредеданця.давдений.__

Выведенный закон остается справедливым и для случая когда ст непостоянна, при условии сохранения постоянства плотности жидкости [12].

11. КАРТИНА ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ (БЕЗ ТРЕНИЯ)

Мы рассмотрели различные картины течения и теперь можем перейти к описанию методов их построения.

Снова ограничимся случаем пренебрежимо малого изменения плотности перемещаемой среды и полным отсутствием трения. Так как вследствие этого в потоке отсутствуют силы сдвига, то ондолжен

ном направлении. Вдоль нормальной линии не существует составляющих скорости и, следовательно, нет

разности потенциалов, как указывалось в разделе 9. Таким образом, нормальные линии являются линиями равного потенциала, но не линиями равного давления или равной скорости. Они поэтому назы­ ваются эквипотенциальными линиями. Что между двумя нормаль­ ными линиями в любом месте существует одинаковая разность по­ тенциалов ДФ, следует из закона, выведенного в разделе 9, согласно которому линейный интеграл скорости, определяющий разность потенциалов, не зависит от пути интегрирования.

Картина станет более наглядной, если принять, что между всеми соседними нормальными линиями существует одинаковая разность потенциалов. >

Скорости, а также распределение линий тока исходя из условий неразрывности, не зависит от того, как ориентирован рассматривае­ мый канал к горизонтальной плоскости. Линии тока, следовательно,

59