книги из ГПНТБ / Пфлейдерер, Карл. Лопаточные машины для жидкостей и газов водяные насосы, вентиляторы, турбовоздуходувки, турбокомпрессоры

Следует заметить, что трение о стенки канала этим уравнением не учитывается, хотя в данном случае его следовало бы принять во внимание, так как место возникновения трения охватывается кон­ трольной плоскостью. Несмотря на то, что предположение о равномер­ ности давления по всему сечению / подводящего канала и в рассматри­ ваемом сечении 1 не совсем верно, полученное уравнение (2. 8) при расширениях хорошо подтверждается экспериментально. С умень­ шением разности ci — с2, вследствие квадратичной зависимости hv очень быстро приближается к нулю. Поэтому слабые скачкообразные изменения сечения вызывают меньшие потери, чем соответствующее

Фиг. 20. Определение удар­ ной составляющей скорости cs в колене, изображенном на фиг. 19.

плавное расширение, тогда как большие резкие изменения сечения значительно более неблагоприятны.

Для выравнивания скоростей по сечению потока при больших изменениях сечения канала, необходима длина трубы, равная вось­ микратному ее диаметру [9].

При обратном явлении, т. е. в случае внезапного сужения, решаю­ щее значение имеют главным образом потери с поджатием потока при обтекании острых кромок у входа в сужающийся канал и, сле­ довательно, рассмотрение процесса должно быть произведено с прин­ ципиально других позиций ПО].

в) Внезапное расширение сечения и изменение направления потока (колено). Этот случай можно рассматривать аналогичным образом как предыдущий, если снова принять, что давление в пере­ ходном сечении / во всех точках равно давлению в подводящем канале.

Принимая контрольную плоскость, как обозначено пунктиром на фиг. 19, получим количество движения = (y/g) Усг и Л2 = == Vc2; эти силы действуют под углом 8 колена. Условие равно­ весия в горизонтальном направлении дает

Kt cos 8 + PJZ = К2 + PJ2

следовательно, поскольку и в этом случае V/f2 -= с2, имеем

40

По закону косинусов выражение в скобках является квадратом третьей стороны cs треугольника АВС (фиг. 20), две другие стороны которого образованы скоростями ст и с2, т. е. представляет некоторую

перегородкой (фиг. 21), когда лопатка попадает под удар струи, неотсеченная часть струи под воздействием отклоняющего давления также изменит свое направление на угол р, который определяется при условии, что струя плоская, т. е. направляется двумя парал­ лельными плоскостями.

Выбранная контрольная поверхность, показанная пунктирной линией, пересекает перегородку, поэтому необходимо учесть силы, заменяющие напряжения, которые возникают в плоскости сечения. Подобный ход рассуждения принят в целях обобщения рассматри­ ваемого явления, хотя, как будет показано в дальнейшем, пересе­ чения перегородки и контрольной поверхности можно было бы избе­ жать. Если принять условие, что трение струи о перегородку отсут­ ствует, то можно утверждать, что неизвестные результирующие силы на верхней поверхности перегородки направлены перпендикулярно к этой поверхности. Поскольку пересечения струи с контрольной

41

поверхностью находятся на достаточном удалении от перегородки, то считают, что скорость струй, несмотря на изменение направления, все время остается постоянной и равной w.

Обозначая отсеченный поток через V, остальную часть потока — через V2 = V — 1Л, угол наклона перегородки относительно направле­ ния первоначальной нерассеченной струи через а, напишем условия равновесия для направления по оси первоначальной струи и перпен­

откуда определяется искомый угол а. Это уравнение можно соста­ вить непосредственно, если написать уравнение для количества движения по направлению перегородки. В этом случае исключается пересекание перегородки, т. е. контрольные поверхности проходят вокруг кромки вдоль поверхности перегородки.

Для пояснения полученных результатов следует рассмотреть

= V/5, то sin = Ч4 и соответственно ж 15°. Если же Ei = Vo = V72, то sin = 1; следовательно = 90°.

В данном случае струя ведет себя точно так же, как если бы она на всем своем сечении встречалась с перпендикулярной ей плоскостью. Подобный случай может иметь место и при отклонении струи, если ввести условие, что:

2) a + 3 = 180°. Тогда уравнение (2. 10) при V2 = V — Vi дае

При a = 45° имеем 1Л = 0,854 V; а = 20°, Vi = -у ; a = 135°,

К= 0,146V.

Чтобы вынудить отклонение на угол a + = 180° (на фиг. 22

изображено при а = 135°), требуется отсечь тем меньшую часть струи, чем больше делается угол а.

42

Из изложенного выше нельзя сделать вывода о положении кромки перегородки. Можно, однако, сказать, что критическая точка нахо­ дится не на кромке, а где-нибудь на поверхности перегородки так, чтобы перегородка могла воспринимать силы импульсов отсеченной струи V2. Таким образом, перегородка должна глубже проникать в струю, чем это соответствует отклоненному потоку.

Отсюда следует, что лопатка, например, лопаточного насоса, обтекаемая «ударной» струей, всегда вызывает отклонение в обрат­ ном направлении.

д) Поток за лопаточной решеткой. Пусть прямолинейная решетка с лопатками, установленными под углом 2 (фиг. 23) обтекается таким

Фиг. 23. Отклонение потока за решеткой лопаток.

образом, что в отдельных межлопаточных каналах непосредственно перед выходом потока из решетки устанавливается однородное парал­ лельное течение. На выходе из решетки влияние толщины конца каждой лопатки внезапно прекращается, т. е. ширина отдельных струй после решетки, измеренная по направлению решетки, равна полному шагу лопаток t, а в самой решетке только t — о. Возникаю­ щие в конце лопаток мертвые пространства А исчезают на некотором расстоянии от решетки. Следовательно, в результате прекращения влияния толщины лопаток происходит изменение скорости от w2 до ш3, которое определяется в предположении, что в конечном счете поток выравнивается.

Разложим обе скорости w2 и w3 на составляющие, параллель­ но решетке w2u и w3u и перпендикулярно к ней w2m и w3m, тогда из условий неразрывности получим зависимость между скоростями ш2я1 и w3m, так как сечения, соответствующие этим скоростям, отно­

сятся друг к другу, как (t — о) к /, следовательно: w3m = w2m—

Для определения зависимости между скоростями ш3и и ш2:1 выберем контрольные поверхности таким образом, чтобы, с одной стороны, поверхность проходила по двум линиям тока ad и Ьс, удаленными друг от друга на шаг лопаток, и, с другой стороны, непосредственно позади решетки или параллельно ей на достаточном расстоянии по направлению потока, чтобы можно было принять поток выравненным. Вдоль боковых поверхностей ad и Ьс в пространстве, ограниченном выбранной контрольной поверхностью, силы давления равны, но

43

направлены в противоположные стороны, следовательно, они взаимно уничтожаются (если пренебречь моментом от пары сил, который нас интересовать не может).

Вдоль сторон ab и cd контрольной поверхности действуют силы,

равные: вдоль ad — К2 = (Vg) ДКа>2 ,* вдоль de — К3 = (^/g)^Vw3,

поскольку ДУ есть часть потока, приходящаяся на межлопаточное пространство. Скорость w2 и тем самым также К2 наклонены под углом лопатки 2; w3 и следовательно К3 наклонены под неизвест­ ным углом 3. Так как силы давления взаимно уничтожаются, то из условия равновесия сил в направлении решетки следует:

К2 cos р2 = К3 cos ,В3

следовательно w2 cos 2 = w3 cos 3 или w2a = w3u.

Окружная составляющая wu остается неизменной, тогда как перпендикулярная к ней составляющая wm изменяется согласно приведенному выше уравнению. Отсюда следует показанная на фиг. 23 простая геометрическая зависимость между w2 и w3 и важный вывод: за лопаточной решеткой, вследствие прекращения влияния конеч­ ной толщины лопаток, поток отклоняется с уменьшением угла траек­ тории относительно направления решетки, так как окружная со­ ставляющая скорости остается неизменной.

е) Смешивание потоков. Если поток постоянного сечения имеет вначале неравномерное распределение скоростей, то постепенно про­ исходит выравнивание до некоторой средней скорости с. Переме­ шивание внутри потока происходит по законам неупругого удара, следовательно, с потерей энергии. Однако в этом случае имеет место повышение статического давления, которое должно учитываться во многих практически важных случаях, в особенности при выборе мест измерения давления. Оно определяется следующим образом.

Контрольные плоскости располагаем в начальном сечении I, в сечении II, в котором скорость выравнена и равна с, а в остальном — вдоль стенок канала между этими двумя сечениями. Количество движения для элемента входного сечения равно PJg)‘ dfc2, следова­ тельно, для всего входного сечения 1 Кг = (~[/g) §c2df. Количество

движения в выходном сечении равняется К2 = (1/g) fc2. Давление по всему входному сечению /, несмотря на неравномерное распреде­ ление скоростей, можно принять одинаковым, благодаря парал­ лельности потока. Равновесие сил для этого случая запишется, если

44

Первый член в скобках всегда больше второго, так как среднее квадратичное значение больше квадрата средней величины. Следо­ вательно, смешение в канале постоянного сечения повышает давле­ ние, которое равняется удвоенной разности между средним ско­ ростным напором на входе и скоростным напором при усредненной скорости. Для несжимаемых жидкостей лучше вместо скоростного

Пример. В трубе соединяются два потока жидкости, скорости которых равны соответственно 2 и 5 м1сек\ площади сечения потоков составляют соответственно 2/3 и ‘/3 площади сечения трубы. В этом случае для первого члена в скобках в уравнении (2. 10в) получим

Следовательно приращение давления й2 — hi = 2 (1112g — 32/2g) =

=0,2 м столба жидкости.

Другие примеры применения закона количества движения при­

можность передачи мощности потоку в насосах ? Этот вопрос возни­ кает естественно, потому что по закону гидродинамики тело, погру­ женное в поток невязкой жидкости, не испытывает сопротивления.

В реальных жидкостях, как показывает опыт, сопротивление тела движению потока определяется силами трения. Может пока­ заться, что в рабочем колесе насоса силы воздействия, лопаток воз­ никают, следовательно, как силы сопротивления, требующие'большой затраты работы и связаны с большими потерями энергии. Что это не так, будет показано в пункте «е» настоящего раздела. Доста­ точно сказать, что упомянутый выше закон гидродинамики спра­ ведлив для случая, когда рассматривается только поток протека­ ния и не принимается во внимание циркуляционный поток, который, в отличие от первого, вращается вокруг погруженного в него тела и, следовательно, не участвует в перемещении жидкости. Для изу­ чения свойств циркуляционного потока необходимо сначала выяс­

наряду с перемещением, может также деформироваться и повора­ чиваться. Вращательное движение является отличительным свой­ ством вихря. Вращение элемента потока определяется его угловой

45

скоростью. Чтобы отличить вращение от деформации, угловая ско­ рость элемента определяется как среднее арифметическое угловых

скоростей двух взаимно-перпендикулярных сторон элемента, напри­ мер, АВ и AD:

^ср 2 oj,id)' (2. П)

Угловая скорость равна нулю, например, в том случае, когда квадрат ABCD деформируется в параллелограмм A'B'C'D' таким

Фиг. 24.

а. б — чистая деформация без вращения; в — чистое вращение без деформации.

Суммарная угловая скорость равна нулю также в случае, когда квадрат превращается в прямоугольник A"B"C"D" стороны которого параллельны сторонам первоначального квадрата (фиг. 24, а). В обоих случаях речь идет о чистой деформации без вращения. Напротив, при перемещении первоначального квадрата в положе­ ние A"’B"’C'"D"’ (фиг. 24, в).' имеет место лишь вращение, а деформа­ ция отсутствует.

Ниже рассматривается простейшая форма потенциального тече­ ния с циркуляцией, линии тока которого представляют собой кон­ центрические окружности. Такой поток называют циркуляционным потоком или «потенциальным вихрем», несмотря на то, что он сво­ боден от завихрений.

б) Потенциальное течение с циркуляцией. Закон площадей. Пусть идеальная жидкость вращается в полости вращения (фиг. 25), причем линии тока, естественно, являются концентрическими окруж­ ностями. В этом случае, несмотря на вращательное движение, поток должен быть безвихревым. Тогда будет справедливо уравнение Бер­ нулли, которое мы применим в форме для несжимаемой жидкости [уравнение (2.3а)].

Вследствие искривления линий тока частицы воды испытывают действие центробежных сил, которые вызывают увеличение давле­ ния. Давление возрастает по мере увеличения расстояния р от центра вращения (фиг. 25). Согласно уравнению (2. За), приращению давле-

46

Ния соответствует снижение скорости, следовательно, распределение скоростей по сечению больше не будет равномерным.

Выделим в потоке бесконечно малый элемент ABCD (фиг. 25) с высотой Ь, ограниченный двумя осевыми плоскостями, располо­ женными под бесконечно малым углом dtp друг к другу, и двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами р и р + dp. Если пренебречь бесконечно малыми величинами высшего порядка, то

где К — постоянная.

Величина рс представляет момент количества движения жидкости на единицу массы. Закон, выраженный уравнением (2. 13), назы­ вается также законом площадей, потому что радиус или вектор каждой частицы жидкости описывает за одинаковый отрезок времени одинаковую площадь (аналогично движению планет).

Он выражает, следовательно, что момент количества движения является постоянным в незавихренном потоке при общем центре кривизны линий токов; его можно также непосредственно вывести из закона количества движения, выведенного в конце подраздела «г».

Скорость с согласно этому закону изменяется по равносторонней гиперболе, для которой ось вращения служит асимптотой (фиг. 25). Она очень сильно растет с уменьшением радиуса р и даже может

47

приобретать бесконечно большое значение по оси вращения. Так как удельный вес был исключен из выражения до интегрирования, то плотность может быть так же переменной. Поэтому уравнение (2. 13) справедливо без ограничений для газов. Однако дальнейшие рас­ суждения мы ограничим сначала случаем пренебрежимо малого изменения объема.

вычислить с помощью уравнения (2. За), если ввести значение ско­ рости с из уравнения (2. 13); тогда получим

начинается образование пустот. Значение минимального радиуса можно вычислить по уравнению (2. 14). Поэтому падение давления по сравнению с давлением на бесконечности будет составлять, если выразить его в единицах столба жидкости

Эта зависимость показана на фиг. 26. Если рассматриваемому течению придать свободную поверхность, то вдоль нее давление Р будет постоянным. Эта поверхность должна будет устанавливаться на различной высоте, потому что в уравнении Бернулли появится вместо Р/f величина z, характеризующая положение по высоте. Уравнение (2. 15) сохраняется, если под величиной h понимать раз­ ность высот относительно бесконечности. Тогда вновь получим форму АВС поверхности, изображенной на фиг. 26, которую можно наблюдать в месте вытекания воды из ванны или умывальника. В этих случаях завихрение образуется вследствие несимметричного поло­ жения выпускного отверстия.

Рассматриваемый поток является безвихревым, несмотря на вра­ щательное движение, что подтверждается следующим рассуждением. Скорость воды на стороне АВ элемента (фиг. 27) согласно уравнению (2. 126) меньше на величину —de = cdp/p скорости на внутренней стороне CD. Следовательно стороны AD и ВС совершают относитель­ ное вращение, противоположное направлению вращения течения, с угловой скоростью —dc/dp — с/р, т. е. равной, но противополож­ ной угловой скорости двух других сторон АВ и CD, так что среднее арифметическое значение угловых скоростей двух непараллельных сторон, а именно, скорости вращения всего элемента, равняется нулю. Кривизна траектории компенсируется, таким образом, обрат­ ным вращением. Квадратный элемент изменяется при вращении

48

по направлению часовой стрелки, как показано на фиг. 24, б и 27, т. е. из квадрата превращается в ромб.

Для идеальной жидкости, не испаряющейся, но способной вос­ принимать любые растягивающие усилия, т. е. для такой жидкости, в которой невозможно образование пустот, частицы, лежащие на оси вращения, приобретают вращательное движение с бесконечно боль­ шой угловой скоростью; иначе говоря, ось представляет собой вих­ ревую линию. Рассматриваемый поток называют поэтому «потен­ циальным вихрем», хотя он является безвихревым, за исключением

единственной точки. Картина токов дана на фиг. 27, которая была построена по правилам, изложенным ниже в разделе И.

в) Пример чистого вихря. Если цилиндрический сосуд, напол­ ненный водой, вращать вокруг его оси, то вода около стенок будет увлекаться ими и постепенно придет во вращение. Вследствие влия­ ния сил сцепления вращение постепенно будет передаваться слоям воды, расположенным ближе к центру, так что через некоторое время вода будет вращаться как твердое тело вместе с сосудом. Очевидно, каждая частица воды в этом случае, кроме поступательного движения по круговой траектории, будет совершать вращательное движение с угловой скоростью, равной угловой скорости вращения сосуда (фиг. 24, в). Поток будет представлять собой единый вихрь. В данном случае будут справедливы другие законы, отличные от предыдущего примера; это следует хотя бы из того, что если раньше скорость была обратно пропорциональна радиусу, то теперь она прямо пропорцио­ нальна радиусу.

Уравнение Бернулли для этого вращательного потока также неприменимо. Для выяснения различия этого случая от потенциаль-