книги из ГПНТБ / Дорфман Л.А. Гидродинамическое сопротивление и теплоотдача вращающихся тел
.pdfГЛАВА VI
V ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА, ВРАЩАЮЩЕГОСЯ
ВОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§29. Вращение диска в очень узком кожухе
Рабочие колеса турбомашин обычно вращаются в узких цилиндрических камерах. В этом случае гидродинамика по тока существенно отличается от течения вокруг диска в не ограниченном пространстве. Окружная скорость среды, вра щающейся вместе с диском, уже не равна нулю на внешней границе пограничного слоя диска. Если вблизи диска ради альное течение направлено от центра, то около стенок ко жуха радиальная скорость направлена к центру. Картины течения в меридиональном сечении для некоторых случаев представлены на рис. 37 и 44.
При очень малой ширине зазора s между диском и ко жухом, когда исчезают отдельные пограничные слои на стен ках, распределение окружных скоростей имеет характер,
сходный с |
распределением скоростей при течении Куэтта. |
При числах |
/•2(0 |
R = —^—< 105 имеет место ламинарное тече |
ние Куэтта с линейным профилем скоростей. Касательное
напряжение трения на |
расстоянии г |
от оси будет равно |
||||
|
|
|
|
|
|
(6-1) |
а момент сил трения одной стороны диска радиуса |
R по |
|||||
лучится равным |
|
|
|
|
|
|
|
„ |
R |
, |
К |
ош/?4 |
|
= |
С , |
(6-2) |
||||
2к |
тг2 |
dr — |
2 |
—Г— |
||
|
|
J |
|
s |
|
|
о
120 |
|
ДИСК В ОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ |
[гл. VI |
|||
Для коэффициента момента трения, определяемого фор |
||||||
мулой (2.15), получим выражение |
|
|
|
|
||
|
|
V £я=*2”т4- |
|
$//? = 0,02 |
<6-з> |
|
На рис. |
36 эта формула для случая |
изо |
||||
бражена кривой 7, которая примерно до |
R= 104*хорошо |
|||||
совпадает с |
измерениями Цумбуша 4). |
Шультц-Грунов2) по |
||||
казал, |
что |
и для уточненного решения |
сохраняется |
фор |
||
мула (6.3), |
а Су3) нашел, что она |
справедлива |
также для |
|||
случая |
наличия небольших протечек в |
зазоре между диском |
||||
и кожухом. Для больших зазоров Су дает поправочный множитель, уменьшающий момент трения.
При больших числах Рейнольдса течение в зазоре ста новится турбулентным. Если при этом еще не появляются отдельные пограничные слои на стенках диска и кожуха, то для определения сил трения естественно применить со ответствующие соотношения для турбулентного течения
Куэтта |
(см. § 44). Возьмем формулу (7.87) из § 44, понимая |
|||||
в |
ней |
под г»! окружную скорость диска на данном радиусе, |
||||
а |
под |
соответствующую динамическую |
скорость |
= |
||
= 1/ |
JLl . Тогда, |
аппроксимируя |
эту формулу в области |
|||
|
r |
Р |
от Rs = 104 до |
Rs — 10е |
степенной |
за |
чисел |
Рейнольдса |
|||||
висимостью от Rs, |
найдем следующее выражение для коэф |
|||||
фициента момента трения: |
|
|
|
|||
|
|
|
|
\ — 0 2 |
|
(6.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученное соотношение согласуется с данными экспери |
|||||
ментов, которые описаны в статье |
Пантелла4). Разумеется, |
|||||
оно применимо лишь для определенной области чисел Рейнольдса, когда еще не появились отдельные пограничные
слои |
на стенках диска и кожуха. |
|
|
|
|
4) |
Шлихтинг Г., Теория пограничного слоя, |
ИЛ, 1956. |
|||
2) |
Sc h u 11 z - О гu no w F., |
Der |
Reibungswiderstand |
rotieren- |
|
der Scheiben in Gehausen, ZAMM, t. |
15, № 4, 1935. |
rotating disc, |
|||
3) |
Soo S. L., Laminar flow |
over an enclosed |
|||
Trans. ASME, t. 80, № 2, 1958. |
fiber |
Scheibenreibung, |
Forschung |
||
4) |
Pan tell K-, Versuche |
||||
a. d. Geb. d. Ingwes., t. 16, № 4, 1949—1950. |
|
|
|||
§ 29] |
ВРАЩЕНИЕ ДИСКА В УЗКОМ КОЖУХЕ |
121 |
^д_(сц/2)
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 ...- |
|
о-Опытные данные ЦумОуша для Мы |
|
||||
у |
в- |
” |
" |
" |
для патоки (-^-0,02) |
|
\ а © |
в- |
" |
" |
ч |
для машинного масла |
|
|
||||||
Vs
о-Опыты Шульти - Груь/ода 6 бо,.здухе
\ф
еэ
•X
•"«ч
——
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Рис. 36. Сопротивление трения диска, вращающегося в кожухе. Кривая 1 по формуле (6.3); кривая 2 (сплошная) — по формуле Окайа — Хасегава (6.24); кривая 2 (пунктир) —по расчету Шультц-Грунова для ламинарного ре жима (без учета разности между радиусами диска и кожуха); кривая 3 (сплошная) — по формуле Окайа — Хасегава (6.33); кривая.? (пунктир) —по расчету Шультц-Грунова для турбулентного режима (без учета разности
между радиусами диска и кожуха).
122 |
ДИСК В ОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ |
[ГЛ. VI |
§30. Ламинарное течение между вращающимся
инеподвижным дисками неограниченных размеров
Стюартсон1), |
а |
также |
|
Гроне2) рассматривали |
задачу |
|||||
о течении между |
двумя |
неограниченными пластинами, от |
||||||||
стоящими друг |
от друга |
на |
расстоянии s, из |
которых одна |
||||||
вращается, а другая неподвижна. |
|
|
|
|
||||||
Первоначально решение поставленной задачи было |
||||||||||
качественно рассмотрено |
Бэтчелором 3). |
|
|
|
||||||
Для тождественного удовлетворения уравнению нераз- |
||||||||||
рывности вводится |
функция тока Ф, |
так |
что |
|
|
|||||
|
|
|
1 дФ |
|
|
1 |
дФ |
|
(6.5) |
|
|
■и, —---- , |
’ |
vr=------------ Д-. |
|
||||||
|
2 |
г |
dr |
|
r |
г |
dz |
|
|
|
.Тогда если еще ввести функции |
|
и |
(у) |
такие> |
||||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф = |
|
|
|
= |
|
|
(6.6) |
||
то получим из |
третьего |
уравнения |
системы (1.1) выражение |
|||||||
для давления в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A==0)2r2£^_2uPs'^-— + |
|
R = -^, |
(6-7) |
|||||||
а первые два уравнения системы (1.1) превратятся в два обыкновенных дифференциальных уравнения:
|
Д-Г+2//" + (//)2 — G2 + 2f = 0, |
| |
|
||
|
, |
|
} |
I |
(6-8) |
|
J_G"_2074-20/' = о, |
|
|||
где штрихи обозначают дифференцирование по C = z/s. |
|||||
t) |
Stewartson К., On the |
flow between two rotating coa |
|||
xial discs Proc. Cambr...Philos. Soc., |
t. 49, |
№ 2, 1953. |
in |
einer kreis- |
|
2) |
О г о h n e D,, Ober die laminare |
Stromung |
|||
zilindrischen Dose mit rotierendem Deckel, |
Nachrichten |
Acad. Wiss. |
|||
Gottingen Math. Phys. Klasse, № 12, 1955.
3) Batchelor G. K., Note on a class solutions of the Navier— Stokes equations representing steady rotationally — simmetric flow, Quart. Journ. Meeh. appl. Mathem., t. 4, № 1, 1951.
§ 30] |
ТЕЧЕНИЕ МЕЖДУ ДИСКАМИ |
|
123 |
Граничные условия задачи будут: |
|
|
|
|
на неподвижном диске (С = 0) |
|
|
|
/(0)=/'(0) = 0, |
G(0) —0, |
|
|
на вращающемся диске (С=1) |
|
(6-9) |
|
0(1)= 1. |
||
|
7£1)=/'(1)=0, |
||
При не очень больших числах R можно, по Стюартсону, |
|||
решение разложить в ряд по числам R: |
|
|
|
|
f (Q = RA (Q 4- R3/s (Q + R75 (0 + • • • ■ |
1 |
|
|
G(Q = go©+R2^G)+RW)+ |
(6-ю) |
|
|
E = Eo+R2£2+R%+ .... |
|
] |
где функции fn и gn удовлетворяют граничным условиям (6.9). Подстановка (6.10) в уравнения (6.8) дает, по Гроне, следующее решение:
/(С) = -^(С5_ зсз+2С2)+ ■■■’
с<9 = <-Т»(7С’-4‘ + С‘-4)+--- <6Л1>
Для весьма больших чисел R получается, по Бэтчелору, течение с образованием пограничных слоев на стенках и вращающимся как твер дое тело ядром. Течение в меридиональной плос кости принимает вид, указанный на рис. 37.
Ряды (6.11) сходятся до R^20, а модель Бэт
челора действует при R > 1000. Поэтому Гроне развивает иной метод расчета при умеренных чис лах R. Результаты рас
Рис. 37. Схема линий тока для больших чисел Рейнольдса и неограниченных дисков (по Бэтчелору).
четов |
изображены |
на |
рис. |
38, 39 и 40. |
Как видно, для очень малых значений R |
справедливо допущение о линейности профиля окружных
124 |
ДИСК В ОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ |
[ГЛ. VI |
Рис. 38. Изменение функции тока / в осевом направлении (по Гроне).
Рис. 40. Зависимость |
коэффициента |
|||
давления от |
числа |
п |
* |
<°52 |
Рейнольдса |
— |
|||
(по Гроне).
Рис. 39. Изменение угЛЪвой скорости в осевом зазоре (по Гроне).
Рис. 41. Коэффициент момента сопро-
. 2М / т \ „
тивления Д =——т I—) смоченной с prsa>J xrcs '
одной стороны поверхности диска от оси до радиуса т в зависимости от чи-
ела Рейнольдса —(по Гроне).
§ 31] ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ НАД НЕПОДВИЖН. ОСНОВАН. 125
скоростей и |
отсутствии радиальных составляющих, |
т. е. те |
допущения, |
которые легли в основу вывода формулы (6.3). |
|
На рис. |
41 представлены подсчитанные Гроне |
значения |
коэффициента момента сопротивления смоченной с одной
стороны |
поверхности диска. |
|
|
|
|
|
Заметим, что Стюартсон отрицает вывод Бэтчелора об |
||||||
образовании пограничного слоя на |
неподвижной |
стенке |
при |
|||
больших |
числах R |
и приводит |
некоторые |
соображения |
||
в обоснование своего |
утверждения)*. В то |
же |
время |
из |
||
расчетов Гроне следует (см. рис. 39), что предсказание Бэтчелора оправдано.
§ 31. Вращательное движение жидкости над неподвижным основанием
Для выяснения характера течения вблизи неподвижной
стенки при |
больших числах |
Рейнольдса |
рассмотрим задачу |
|
о вращательном движении |
жидкости |
над |
неподвижным |
|
основанием. |
В случае вращения жидкости над |
неподвижным |
||
основанием (полагаем его расположенным горизонтально) для частиц, находящихся вдали от стенки, центробежная сила и радиальный градиент давления взаимно уравновешиваются. Для частиц жидкости, находящихся вблизи стенки, окруж ная скорость благодаря торможению уменьшается, центро
бежная сила еще |
более значительно уменьшается, в |
то |
|||
время как радиальный градиент давления |
остается тем |
же, |
|||
что и вдали от стенки. |
В результате |
этого |
возникает |
||
радиальное течение |
вблизи |
стенки, направленное |
внутрь, |
||
к оси вращения. Это радиальное течение в свою очередь вследствие условия неразрывности вызывает восходящее течение в осевом направлении.
На большом расстоянии |
от |
стенки, где отсутствует |
||
трение, имеем: |
|
|
|
|
|
1 |
др |
_ v* |
|
и так как |
Р |
дг |
г |
' |
= го>, то |
|
|
|
|
= |
|
<6Л2> |
|
1) Интересен комментарий Мура по |
поводу этой |
дискуссии |
|
в обзорной статье о пространственном пограничном |
слое, |
поме |
|
щенной в сборнике «Advances in Applied |
Mechanics.», |
т. IV, |
1956. |
126 |
ДИСК |
В |
ОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ |
[ГЛ. VI |
Решая |
задачу |
в |
рамках теории пограничного |
слоя, |
примем, что этот градиент давления существует по всему сечению пограничного слоя. Подставив это выражение в си стему уравнений (1.1) и применив подстановку (2.6), по
лучим |
систему уравнений: |
|
|
|
|
|
Z72 _ О2 4- HF' — F" + 1 = О, |
|
|||
|
|
2GF + /7G' — G" = 0, |
(6.13) |
||
|
|
|
2F-|-tf' = 0. |
|
|
Граничные условия задачи примут |
вид: |
|
|||
|
F ~G = H—Q |
при С = 0, 1 |
(6-14) |
||
|
F = О, |
G=1 |
при £=сю. / |
||
|
|
||||
У. Бедевадт1) решил систему (6.13), представив подобно |
|||||
Кокрэну функции F, |
G и Н в |
виде степенных |
рядов вблизи |
||
С = 0 |
ив виде асимптотических |
разложений |
для £=оо. |
||
Путем |
кропотливых |
вычислений |
им были найдены значения |
||
искомых функций, которые приведены в таблице |
10 и графи |
||||
чески изображены на рис. 42.J Полярная диаграмма, изо браженная на рис. 43, представляет изменение результирую щей горизонтальной скорости v с составляющими vr и Угол между вектором v и окружным направлением зависит от безразмерной высоты С над основанием. Наибольшее отклонение от окружного направления имеется вблизи стенки: оно равно 50,6° и направлено внутрь. Наибольшее отклоне
ние |
наружу, |
равное 7,4°, |
получается |
на высоте |
С = 4,63. |
|||
Любопытно |
также, |
что |
осевая составляющая |
есть |
функ |
|||
ция |
только |
от С, |
но |
не |
зависит от |
расстояния г |
от оси |
|
вращения, причем всюду > 0, т. е. имеется восходящее движение, затухающее вдали от основания.
Полное количество жидкости, протекающей к оси враще ния через поверхность цилиндра радиуса R, равно
Q = 2т.R J vzdz — 2т.R2 Ушу J F (С) Л =
г = о |
0 |
= — t.R2 Ушу Н(сю) = — 1,349л/?2 Ушу . (6.15)
х) Bodewadt U., Drehstromung iiber festem Grunde, ZAMM, t. 20, 1940.
-d<f |
|
|
|
|
-0.6 |
|
|
|
|
Рис. 42. Распределение скоростей в пограничном |
Рис. 43. |
Полярная диаграмма горизонтальной |
составляющей |
|
слое, образующемся при вращении жидкости вбли |
скорости в пограничном слое, образующемся |
при |
вращении |
|
зи неподвижного основания (по Бедевадту). |
жидкости |
вблизи неподвижного основания (по |
Бедевадту). |
|
128 |
ДИСК В ОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ |
[гл. Vi |
||||||
Столько же жидкости поднимается вверх в осевом на |
||||||||
правлении. Наибольшее |
значение |
скорость |
восходящего |
|||||
|
|
|
|
|
Таблица 10 |
|||
|
Значения функций F, G, И, определяющих |
|||||||
|
распределение скоростей при |
вращательном |
||||||
|
|
движении жидкости |
|
|
|
|||
|
|
над неподвижным основанием |
|
|
||||
|
|
(по Бедевадту) |
|
|
|
|
|
|
|
с |
F |
о |
|
|
н |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0,5 |
-0,349 |
0,383 |
|
|
0,194 |
|
|
|
1,0 |
—0,484 |
0,736 |
|
■ |
0,624 |
|
|
|
1,5 |
-0,450 |
1,014 |
|
1,099 |
|
||
|
2,0 |
-0,329 |
1,193 |
|
|
1,493 |
|
|
|
2,5 |
-0,176 |
1,272 |
|
|
1,746 |
|
|
|
3,0 |
-0,036 |
1,272 |
|
|
1,849 |
|
|
|
3,5 |
0,067 |
1,218 |
|
|
1,830 |
|
|
|
4,0 |
0,123 |
1,141 |
|
|
1,732 |
|
|
|
4,5 |
0,137 |
1,064 |
|
|
1,599 |
|
|
|
5,0 |
0,121 |
1,002 |
|
|
1,468 |
|
|
|
5,5 |
0,088 |
0,961 |
|
|
1,362 |
|
|
|
6,0 |
0,050 |
0,943 |
|
|
1,294 |
|
|
|
6,5 |
0,016 |
0,942 |
|
|
1,261 |
|
|
|
7,0 |
—0,008 |
0,953 |
|
|
1,258 |
|
|
|
7,5 |
-0,022 |
0,969 |
|
|
1,275 |
|
|
|
8,0 |
-0,027 |
0,986 |
|
|
1,300 |
|
|
|
8,5 |
-0,024 |
0,999 |
|
|
1,326 |
|
|
|
9,0 |
-0,018 |
1,008 |
|
|
1,347 |
|
|
|
9,5 |
-0,010 |
1,012 |
|
|
1,361 |
|
|
|
10,0 |
-0,003 |
1,012 |
|
|
1,368 |
|
|
|
10,5 |
0,002 |
1,010 |
|
|
1,368 |
|
|
|
11,0 |
0,005 |
1,007 |
|
|
1,365 |
|
|
|
11,5 |
0,006 |
1,003 |
|
|
1,359 |
|
|
|
12,0 |
0,005 |
1,000 |
|
|
1,354 |
|
|
|
12,5 |
0,004 |
0,998 |
|
|
1,349 |
|
|
|
СО |
0 |
1 |
|
|
1,349 |
|
|
движения имеет |
на высоте |
£.= 3,31, |
где она |
равна |
|
|||
|
|
vz = 1,853 ]/vu). |
|
|
|
(6.16) |
||
Заметим, что толщина пограничного слоя в рассматри |
||||||||
ваемом |
случае |
значительно больше, |
чем |
при |
вращении |
|||
диска в покоящейся жидкости. Если за толщину § погранич