книги из ГПНТБ / Дорфман Л.А. Гидродинамическое сопротивление и теплоотдача вращающихся тел
.pdf§ 48] |
ВЫБОР |
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ |
219 |
||
так, чтобы были удовлетворены |
следующие условия, выте |
||||
кающие из |
граничных условий (8.2) и уравнений (8.1): |
|
|||
при/ = 0 |
« = 0, |
д2а |
= |
dU vl dR |
|
|
|
|
|||
, , |
,. |
да |
п |
д^а |
|
лри/=1 |
u = U, |
-^ |
= 0, |
^г=0; |
|
Рис. 98. Профили меридиональных и окружных скоростей [по формулам (8.14) и (8.15)].
В соответствии с этими условиями получаются следую
щие полиномиальные представления: |
|
|
|
|
||
|
JL=2f—2/3 + /4 + К--|-(^ — 3^ + 3^ — f4), |
(8.14) |
||||
|
2_= 1_2^-|-2^8 —//4, |
|
|
(8.15) |
||
где |
vo |
|
|
|
|
|
формпараметр |
|
|
|
|
||
|
|
/<- = 22. Г_^__|_('_Е«у ^-^-1 • |
|
(8.16) |
||
|
|
v L dx 1 \ U) R dx J |
1 |
v |
' |
|
|
|
. |
гт |
— |
WU' |
|
является аналогом формпараметра |
Польгаузена |
К |
—-— |
|||
(и |
переходит в |
него при R — оо). Распределения |
скоростей |
|||
(8.14) и (8.15) |
представлены на рис. |
98. |
|
|
|
|
220 ВРАЩЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА В ОСЕВОМ ПОТОКЕ [ГЛ. VIII
Условие отрыва |
= 0 |
дает значение |
|
К = — 12 |
(8-17) |
такое же, как для плоского и осесимметричного случаев.
Вообще, для составляющей и получается то |
же выражение, |
|||||
что и для |
плоского |
и осесимметричного случаев. Поэтому |
||||
обеспечено, |
что в случае отсутствия вращения (v = 0) полу |
|||||
чим решения Томотика и Шолкемейера!) для |
осесимметрич |
|||||
ного невращающегося тела. |
|
|
|
|||
§ 49. Преобразование уравнений импульсов |
|
|||||
Согласно (8.10) |
с учетом (8.15) |
составляющая напряже |
||||
ния трения |
в окружном направлении |
равна |
|
|
||
|
Р |
= |
\ dz Jo |
Ъу |
(8.18) |
|
|
|
v |
' |
|||
и уравнению (8.8) можно придать вид:
(8.19)
Введением величин
***«.
= |
|
Д = /-, |
(8.20) |
||
|
9 = |
|
|
(8.21) |
|
a = |
\ dx |
1 |
R dx ) |
(8.22) |
|
|
v |
' |
|||
получим из (8.19) следующее дифференциальное уравнение
для 6(х): |
G(AS A) |
(8 23) |
|
dx |
|||
U |
|
||
где |
|
|
|
G(К, A) = 4g0-2o |
(8.24) |
||
—универсальная функция обоих параметров К и А.
1)Шлихтинг Г., Теория пограничного слоя, ИЛ, 1956.
§ 49] |
|
[преобразование |
уравнений импульсов |
|
221 |
|||||||
Для |
g0{K, Д) |
можно |
получить |
следующее |
выражение: |
|||||||
|
|
gQ(K, |
Д) = ^(Д) + ^2(Д)- |
|
|
(8-25) |
||||||
Функции £\(Д) и ^2(Д) имеют вид: |
|
|
|
|
|
|
||||||
приД<1 |
£х(Д) |
15 Д |
|
140 Д3-Ь 180 Д4’ |
|
|
|
|||||
|
|
^2 (Д) = 90 Д ~ 84 Д2 + 560 Д3 — 1080 Д4; |
||||||||||
* |
, |
/л\ |
3 |
3 |
1,21 |
3 |
1, |
|
||||
при Д>1 |
§т(Д) — 10 |
ю |
д + |
15 |
дг |
но |
Д4 |
+ |
(8.26) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
180 |
Д5 |
’ |
|
|
|
А |
|
11 |
1 |
1 |
I |
|
|
|
|
|
|
|
g2 W — |
120 |
д |
180 |
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
1 |
i |
11 |
|
||
|
|
|
|
|
|
' |
840 |
Д4 |
3024 |
Д5 |
• |
|
Значения gr и |
g2 |
даны |
в таблице |
13, а |
величины g0 |
|||||||
изображены на рис. 99.
Таблица 13
Значения функций gt и g>,
вычисленных по формулам (8.26)
д |
gi |
ft |
0 |
0 |
0 |
0,2 |
0,0265 |
0,179 |
0,4 |
0,0521 |
0,286 |
0,6 |
0,0761 |
0,342 |
0,7 |
0,0873 |
0,356 |
0,8 |
0,0980 |
0,363 |
0,9 |
0,1080 |
0,365 |
1,0 |
0,1175 |
0,364 |
1,2 |
0,1345 |
0,353 |
1,4 |
0,1492 |
0,337 |
1,6 |
0,1618 |
0,319 |
1,8 |
0,1727 |
0,301 |
2,0 |
0,1822 |
0,284 |
2,5 |
0,2008 |
0,247 |
3,0 |
0,2146 |
0,217 |
222 ВРАЩЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА В ОСЕВОМ ПОТОКЕ [ГЛ. VIII
Для меридионального направления, если обозначить
( \2** |
|
|
|
|
|
v |
x = |
dx |
' |
(8.27) |
|
|
|
v |
' |
||
получим из (8.3) дифференциальное уравнение относительно Z(x):
dx |
U |
(8.28)' |
где
F (К, Д) = 2 { /3 — (2-z + z/2) - Z
—универсальная функция К и Д. При этом1)
|
** |
37 |
Я |
|
f (К\ —_ ® |
||||
_ |
945 |
|||
|
Йд. |
315 |
||
71 (А) - |
8* |
3 |
К |
|
8Ж |
" 10 |
120 ’ |
||
|
||||
[1 + (^)2 Д] }
(8.29)
№
9072
«ч** /.ТО = ^ = (2 + 4)/»(Ю.
|
Связь между Z и К, согласно |
(8.16), |
(8.27) и (8.30), |
|||||
имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
<8'з1> |
так |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. , / |
V U Я'1 |
„/ 37 |
К |
К? V |
(8.32) |
|
|
|
^\U ) |
R U’\ ” Л 315 |
945 |
9072 / |
|||
|
|
|
||||||
|
Универсальные |
функции /0, /2, |
/3 и |
К в |
зависимости |
|||
от |
*х |
представлены |
на рис. |
100. Точка отрыва |
(К ——12) |
|||
|
!) |
Эти функции |
известны из |
расчетов плоского пограничного |
||||
слоя (см. Шлихтинг Г., Теория пограничного слоя, ИЛ, М., 1956, стр. 218).
§ 49] |
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ИМПУЛЬСОВ |
223 |
КЧ2 -10 -8 -6-4 -2 0 2 4 6 8 Ю 12
Рис. 99. Значения функций g0A (по Шлихтингу).
Рис. 100. Универсальные функции /0, /3, /8 и К в зави симости от х* (по Шлихтингу).
224 ВРАЩЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА В ОСЕВОМ ПОТОКЕ [ГЛ. VIII
соответствует значению х* =—0,1567. В точке разветвле ния потока без вращения ^= 4,716, что соответствует
-*z = 0,05708.
В дальнейшем для расчетов необходимо знать связь между Д, g0, 9, Z и К- В соответствии с формулами, опре
деляющими эти параметры, эта связь имеет вид: |
|
Д£0(/С Д) = |/’±/о(/О. |
(8.33) |
Итак, имеем ьдва дифференциальных уравнения (8.23)йи (8.28), связанных через универсальные функции G и F.
§ 50. Начальные значения в точке разветвления потока
В |
точке разветвления потока |
(U — 0) оба уравнения |
(8.23) |
и (8.28) имеют особенность. |
Для того чтобы правые |
части этих уравнений имели конечное значение, необходимо, чтобы G и F в этой точке были равны нулю.
Для потенциального потока при х —> 0 |
|
||
U(x) = U'R = aR, |
^ = 1. |
(8.34) |
|
Поэтому начальное значение для меридионального напра |
|||
вления находится из F = Q по (8.29) в виде |
|
||
/зо— (2х0 —j—Хо/ао) — хо Г1 + |
0. |
||
L |
Too |
||
|
|||
Совместно с К0/оо — х0 |
|
|
|
по (8.30) после |
преобразований |
получим: |
|
Ко |
|
|
___ L^_23 |
(8.35) |
|
|
|
|
|||
|
210 |
2520 А° |
0 |
||
|
3024 А° |
126 |
|||
При отсутствии вращения имеем: |
|
|
|||
2 |
105 |
2520 |
3024 |
= 0 |
(8.36) |
с решением
(Ко)<»=о = .Коо — 4,716,
известным из решения Томотика.
§ 50] НАЧАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ В ТОЧКЕ РАЗВЕТВЛЕНИЯ ПОТОКА 225
Для окружного направления из G = 0 следует:
2go(^o. До) = ° (/<о. До).
а так как а(/<0, До) = 4а90 = 4а^оДо —у— по (8.20) — (8.22)
и= +(•—-)2] по (8.16), то в соответствии с (8.25)
найдем:
/Ср |
_________________ 1_____________ |
/о о уч |
1+(-^У |
2 [ft (До) +/<0^2 (До)] До |
' |
Таким образом получаем два уравнения связи (8.35) и (8.37) между Ко и До для заданного ш/а.
При отсутствии вращения (со = О) получается Доо= 0,915. То, что Оу^ййд., является физически оправданным. Совмест ное решение уравнений (8.35) и (8.37) показывает, что при (о/а> 0,815 нет приемлемых решений.
Результат совместного решения этих уравнений пред
ставлен в |
таблице 14 и на рис. 101. Как видно, начиная |
с /<=12, |
рассматриваемый расчетный метод непригоден. |
|
Таблица 14 |
Значения характерных величин пограничного слоя
в точке разветвления потока, |
обтекающего |
||||
|
вращающееся осесимметричное тело |
|
|||
|
|
(по Шлихтингу) |
|
|
|
CD |
ка |
А» |
100хо |
*100х |
2 |
а |
|
|
2 ^00 |
||
0 |
4,716 |
0,915 |
5,71 |
5,71 |
0,0629 |
0,221 |
5 |
0,908 |
5,71 |
5,99 |
0,0632 |
0,454 |
6 |
0,882 |
5,70 |
6,89 |
0,0640 |
Начальное значение для Zo получается из условия (/' = а, согласно второму уравнению (8.27), в виде:
, |
Zo = -^-. |
(8.38а) |
15 Зак. 944. Л. А. Дорфман
226 ВРАЩЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА В ОСЕВОМ ПОТОКЕ [ГЛ. VIII
Для |
6 начальное значение ввиду равенств ao=2g'oo |
и |
|||
(8.34), |
согласно (8.22), |
получится равным |
|
||
|
|
6о = ТДГ‘ |
(8-386) |
||
Примененный здесь |
способ |
задания |
распределения ско |
||
ростей |
[параболы 4-й степени |
для и и |
V, формулы (8.14) |
и |
|
Рис. 101. Начальные значения формпараметров (по Шлихтингу).
(8.15)] отличается от способа, примененного ранее^Шлих-
тингом и Труккенбродтом *) для расчета |
пограничного слоя |
|||
на |
обдуваемом |
диске. Однако |
следует ожидать, что значе |
|
ния |
параметров |
пограничного |
слоя для |
обдуваемого диска |
будут приближенно совпадать со значениями, полученными излагаемым в настоящей главе способом в точке разветвле ния потока на вращающемся осесимметричном теле.
Согласно уравнению (8.38а) и (8.27) будем иметь:
л ** j О' |
1 г |
6ж0 у —— V у-0’
J) См. сноску 1) на стр. 33.
§ 50] НАЧАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ В ТОЧКЕ РАЗВЕТВЛЕНИЯ ПОТОКА 227
Для меридиональной составляющей |
напряжения трения |
на стенке в точке разветвления потока |
(тж0)ж=0 =Ь-0’ с0" |
гласно четвертому соотношению (8.30), получим:
М ,UR _ ЛУ/о(Ко) [2+4 Ко].
pt/a Г |
— ' “ Со |
На рис. 102 приведены подсчитанные по этим формулам
Пунктирные линии —по результатам непосредственного расчета для обдуваемого диска; сплошные линии —по приближенному расчету для точки разветвления потока (по Шлихтингу).
с данными непосредственного расчета для обдуваемого диска до ш/а = 0,815. Это позволяет считать излагаемый расчет ный метод справедливым для всех значений и>/а в интервале
0^21<0,815.
а
15*
228 ВРАЩЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА В ОСЕВОМ ПОТОКЕ [ГЛ. VIII
§ 51. Момент вращения и коэффициент сопротивления
Момент вращения определяется интегрированием окруж ной составляющей напряжения трения от точки разветвления
потока до точки отрыва ха |
где |
— абсцисса конечной |
точки тела: |
|
|
|
о |
|
На основании уравнения (8.8) это дает |
||
М = |
л^хуА, |
(8.40) |
где индекс А относится к значениям в точке отрыва. Введем безразмерное значение Зж2/^:
ОДД 1/ |
U^Rm g |
(8.41) |
Rm ’ |
у |
— |
где Rm—радиус наибольшего поперечного сечения тела вра щения. Тогда для коэффициента момента трения см, опре
деляемого формулой
М
|
|
2 |
|
<8-42; |
|
|
|
|
|
получим соотношение |
|
|
|
|
|
|
с |
4тсВСМ3£д, |
(8 43) |
Uсо Г |
V |
м |
\ Rm / С/со |
|
где Vm=uRm.
Для вращающегося обдуваемого диска радиуса Rm~R получим отсюда, исходя из того, что Ra = R, Ua — oR'.
лГс -41г/
Г V If MJ f у У (й
Тогда для точки разветвления потока, согласно (8.386), взяв наименьшее численное значение