книги из ГПНТБ / Дорфман Л.А. Гидродинамическое сопротивление и теплоотдача вращающихся тел
.pdf§ |
16] |
|
|
РЕШЕНИЕ |
КАРМАНА |
69 |
||
|
Второе уравнение получим, если вычислим приращение |
|||||||
момента |
количества |
движения |
|
относительно оси вращения |
||||
в |
окружном направлении: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
О |
о |
' |
\ |
|
|
|
|
|
( |
dr, |
|
||
|
|
|
|
2к/-2р f Vrvv dz |
|
|||
которое |
должно |
уравновешиваться |
моментом |
сил трения |
||||
в |
окружном направлении — 2-гг2т? dr, |
так что |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.2) |
|
|
|
\ |
о |
|
' |
|
|
|
Заметим, что |
полученные |
|
интегральные |
соотношения |
|||
можно было вывести непосредственно из уравнений движения
в |
пограничном слое вращающегося диска 1)*3. |
|
||||||
|
|
§ 16. |
Решение Кармана для степенного профиля |
|||||
|
|
|
|
|
скоростей |
|
|
|
|
Для |
определения |
сопротивления |
вращающегося |
диска |
|||
в |
турбулентном потоке Карман2) использовал интегральные |
|||||||
соотношения (4.1), (4.2), |
приняв степенной закон для рас |
|||||||
пределения |
скоростей |
в |
пограничном слое со степенью 1/7, |
|||||
который |
наблюдался при |
течении в трубах в определенной |
||||||
зоне |
чисел |
Рейнольдса. Он полагает: |
|
|
||||
|
|
|
|
vr — агш |
|
|
(4.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v^ = ru> |
|
|
|
|
где |
а и |
о — неизвестные |
величины. Прорпли радиальных и |
|||||
окружных |
скоростей |
удовлетворяют |
граничным условиям |
|||||
на |
стенке |
|
z = Q: |
|
vr = 0, |
= го> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1)Лойцянский Л. Г., Аэродинамика пограничного |
слоя, |
||||||
1'остехиздат, |
1941. |
15, |
|
|
|
|||
|
3) См. |
сноску на стр. |
|
|
|
|||
70 |
ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА |
[ГЛ. IV |
и на внешней границе пограничного слоя
z = 8: vr — — 0.
Заметим, что вблизи диска (z —> 0)
vr |
— Га |
|
Га |
т. е. а представляет собой |
отношение между радиальной и |
окружной составляющими относительной скорости в погра ничном слое и, стало быть, отношение между соответствую щими составляющими напряжения трения
тг = —атг |
|
|
(4.4) |
Результирующая относительная скорость и среды вблизи |
|||
поверхности диска получится равной |
|
|
|
_________________ |
1 |
1 |
|
/•и)2—(1+а2)а |
гш‘ |
<4-5) |
|
Используя эмпирический закон /«* 7» для трубы
и
v*
где т^ — У^/р, получим из пего, подставляя u — U при z — Ъ, соотношение
1 |
|
то = О,О225р(/г(-^-)4. |
(4.6) |
Используя соотношения (4.4)—(4.6), получим для соста вляющих напряжения трения:
1 - / \- г 1 г
тг=0,0225ра4 (го)4 (jf [1 +~^-]8 >
0.6')
= ^0,0225р (гш)4 U-V [1 Н-а2]8.
§ 16] |
РЕШЕНИЕ КАРМАНА |
71 |
Вычислим затем интегралы, стоящие в уравнениях (4.1) и (4.2) с учетом (4.3):
f -и2 rf2 = 0,207a2(ru>)28,
О
|
J* |
vrv,f dz = 0,0681 (rw)2a8, |
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
*J v*dz |
= 0,0278 (ru>)2 8. |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
Подставляя эти значения в уравнения (4.1) и (4.2), а |
также |
|||||
используя |
(4.6'). |
получим |
уравнения для определения |
вели |
||
чин а и о: |
|
|
|
|
|
|
(0,207r2u?a28) — 0,0278г2«>28 = |
|
|
|
|||
|
|
= — 0,0225aW (—(1 + |
* • |
|||
|
|
|
\ arooO / |
\ |
а-/ |
|
|
|
|
2. |
|
з |
|
|
(0,068 IrWao) = 0,0225rW (r=)4 (1 + a2)?. |
|
||||
Положив, |
далее, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.7) |
получим |
систему |
алгебраических уравнений |
относительно a |
|||
и 8: |
|
|
1 |
|
|
з |
|
|
|
|
|
||
О,745ба20 — 0,02780 = — 0,0225а2 |
(1 |
+ |
> |
|||
|
|
|
± |
2. |
|
|
О,3133а0 = 0,0225(-^У (1 4~а2)8 .
Разделив первое уравнение на второе, получим:
1,0859a2 —0,0278 = 0,
откуда
a = 0,162.
72 |
ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА |
[ГЛ. IV |
Соответствующее значение р получится равным i
f = 0.525 (i)s,
так что толщина пограничного слоя будет
о — 0,525г |
• |
(4.8) |
|
Для составляющих местного коэффициента трения |
будем |
||
иметь следующие выражения: |
|
|
|
=-------- |
= O.O267R-0’3, |
(4.9) |
|
р (г®)- |
яр (Г®)2 |
|
|
если под величиной R понимать, как и ранее,
Вычислим момент сопротивления одной стороны диска ради уса /?:
V М = 2^R2P I xyv?<Zz = 0,0364R5a)2p,
6
так что коэффициент момента сопротивления [определяемый формулой (2.15)] получится равным
|
|
см = O,146R-0,2. |
|
|
|
(4.10) |
||
Полученный |
|
результат хорошо |
согласуется с |
опытными |
||||
данными (рис. |
3). Однако для больших значений |
чисел R |
||||||
он дает несколько меньшие значения, чем опытные. |
По-види |
|||||||
мому, лучшее |
согласование с |
результатами |
опытов |
можно |
||||
.получить, если |
применять для |
разных |
|
,, |
о |
г®В |
||
значений |
R5— ----- |
|||||||
несколько иные |
степени (не равные */?) |
для |
профиля ско |
|||||
ростей в пограничном слое. |
|
|
|
|
|
|
||
Заметим, что |
для количества |
жидкости, |
притекающей |
|||||
,к диску радиуса R в осевом направлении, получаем:
\/ Q = 2~R f vr dz = 0.,219/?3«>R"0’2. |
(4,11) |
§ |
17J ПРИМЕНЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ СКОРОСТЕЙ |
73 |
|
§ |
17. |
Применение логарифмического профиля скоростей |
|
|
Для |
получения лучшего согласования с опытными |
дан |
ными С. Гольдштейн1) использовал для расчета сопротивлений универсальный (не зависящий от числа R) логарифмический профиль скоростей в пограничном слое
—II |
. АЛ i |
^В, 4 = 2,5, В = 5,5, = -у.(4.12) |
О,. |
In |
|
Как и выше, обозначим через а отношение радиальной к ок ружной составляющей относительной скорости внутри погра ничного слоя:
|
|
|
|
а =-----------=------- . |
|
|
|
|
|
|
(4.13) |
|||
Тогда |
|
|
|
Г<» — |
|
Тф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.14) |
||
|
Хг = /ПДГз т°’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
а |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Vr — —у........ — U, |
ГО)---- — г — U, |
|
|
|
|
||||||||
где |
Г <1Ч-аЗ |
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
(4-15) |
|||
_____________ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
и = V v2 Д- (®т—rw)‘- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
На внешней границе пограничного слоя |
^1,^ = 0, по |
|||||||||||||
этому, |
согласно (4.15): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
{/ = a|y_3 = yrl-j-a2ru>, |
|
|
|
|
|
|
(4-16) |
|||||
и с учетом (4.12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■и —гш------ г |
a |
■. |
= |
U •—и |
—------г |
4и, |
, |
z |
• |
/4 i7\ |
||||
|
г |
—~ |
|
|
= |
1° |
— |
(4-17) |
||||||
* |
V 1 |
+ |
а2 |
/1 |
+ а2 |
/1 |
+ а2 |
|
В |
|
|
|||
Радиальная составляющая vr вблизи стенки согласно (4.13)
будет тогда равна |
|
|
|
|
|
|
vr — arc»—I—AaV^ 1h — |
при |
|
£<^<8. |
(4.18) |
||
У 1 |
+ a2 5 |
|
|
|
|
|
J) Goldstein S., On the resistance |
to |
the |
rotation |
of a disp |
||
/innierseil in a flujd, Proc, |
Cambr, Phil. |
Soc; |
t. |
31, |
1935- |
|
74 |
|
ТУРБУЛЕНТНОЕ |
ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА |
|
[ГЛ. IV |
|||||
Для |
того чтобы эта составляющая |
превращалась в нуль |
||||||||
на внешней границе |
пограничного слоя, |
Гольдштейн полагает |
||||||||
в области |
z, <6 z << S |
|
Лаг»,, . |
г |
|
|
|
|||
|
|
|
—------г |
|
|
(4-19) |
||||
|
|
|
■ ■ |
In |
—, |
|
|
|||
|
|
|
|
V 1 + аЗ |
|
з |
|
|
|
|
причем |
из |
условия |
смыкания |
(4.18) |
и |
(4.19) |
в |
точке |
z~zv |
|
|
|
|
ЧАук |
1 |
2t |
|
/’(О. |
|
|
|
|
|
|
|
1П |
— =— |
|
|
|
||
Обозначив |
/1 + я'3 |
6 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Г = -^-=:1п^-|-4 = 1п — — 1ПЛГ + 4- |
(4-20) |
||||||||
|
|
Ли, |
v |
1 |
А |
|
v |
1 |
Л |
|
найдем следующие формулы для распределения скоростей:
vr = arw^l -|- j- In уУ ПРИ
Ч- |
яГо) |
г |
при |
<8, |
(4.21) |
~У~ |
1пт |
||||
|
Г<о |
Z |
|
|
|
v<f~ |
т пт |
|
|
|
|
Вычисление |
интегралов, |
входящих в |
(4.1), |
(4.2), даст |
|
следующие значения:
/’ . 2aW8 (. „ -4 4
J vi dz =---- у.,— V — Ye - ) ,
6
(4.22)
В то же время |
|
|
|
|
_ |
|
/1 + аЗ гЗиЗ |
(4.23) |
|
S |
Р |
Л2УЗ |
||
|
Подставляя полученные выражения в уравнения (4.1), (4.2), Гольдштейн получает два сложных дифференциальных урав нения. Для случая больших значений Y уравнения упро щаются и находится значение а —4, а также вид формулы
§ 17] ПРИМЕНЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ СКОРОСТЕЙ 75
сопротивления, коэффициенты которой были определены Гольдштейном согласно опытным данным Шмидта и Кемпфа (см. рис. 3). Окончательно получается следующая формула для коэффициента момента сопротивления:
= 1,97 lg |
+ 0,03. |
(4.24) |
При этом связь между величиной Y и числом R = —— полу |
||
чается следующей: |
|
|
R = 0,826Ker. |
(4.25) |
|
Заметим, что формула (4.24) |
при больших |
значениях |
чисел R дает более высокие значения cv, чем тщательные
опыты NACA1).
Для более полного решения задачи2) на основе фор мул (4.1), (4.2) при логарифмических формулах распределе
ния |
скоростей предварительно, до подстановки выраже |
|||
ний |
(4.17) и (4.18) |
в интегральные соотношения, произведем |
||
их аппроксимацию |
|
л. |
иъ |
|
степенными формулами |
зависимости от —: |
|||
|
|
, |
( иъ \ь |
|
|
|
|
• |
|
с различными значениями коэффициентов а и b в разных интервалах In-^-. Как видно из рис. 21, числа а и b имеют
следующие значения:
|
|
|
,, |
|
. |
Ш |
|
|
От 6,5 |
От 8,5 |
От 15 |
|
|
|
Интервал In —— |
|
|
до 8,5 |
ло 13 |
ло 19 |
|||
, |
1 |
/i |
-и ■ |
|
| |
а |
0,055 |
0,0498 |
0,033 |
||
A = W |
, 1 — Ye |
2 |
1 |
|
1 |
ь |
-0,161 -0,152 -0,12 |
||||
|
|
|
1 |
„ ~4rЛ , 4\ |
|||||||
|
1 |
|
( |
а |
0,0573 |
0,0506 |
0,033 |
||||
|
|
|
1— -ту Ye |
3 |
(1+у) |
1 |
ь |
-0,161 -0,152 -0,12 |
|||
, |
1 |
|
|
|
|
|
1а |
0,141 |
0,0789 |
0,033 |
|
/з |
|
|
|
|
|
|
\Ь |
-0,250 -0,184 |
-0,12 |
||
!) См. сноску па стр. 21.
3) Дорфман Л. А., Турбулентный пограничный слой иа вра щающемся диске, Изв. АН СССР, ОТН, 1957, № 7,
76 |
ТУРБУЛЕНТНОЕ |
ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА |
[ГЛ. IV |
|
Приведем |
дальнейшие |
вычисления лишь для |
второго |
|
. |
(Л> |
ос |
. о |
|
интервала In |
— =8,5-г-13. |
|
||
Рис. 21. Значения функций |
fa, /3 в зависимости |
от —. |
Номера на кривых |
||||||||||
|
|
|
|
|
соответствуют индексам функций. |
|
|
||||||
Подстановка полученных степенных выражений в соотно |
|||||||||||||
шения (4.1), |
(4.2) с учетом |
|
(4.22) дает |
|
|
|
|
|
|||||
d |
Г |
/-За25 |
I Ш \ ~°’1521 |
|
-. |
/ |
|
\~ |
181 |
= |
|||
0,0986#- |
|
\ |
—) |
J |
— 0,1578г2о |
\ |
—) |
|
|||||
dr L |
|
|
у ) |
|
|
|
у / |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
--------- / [П \-0.181 |
||
|
|
|
|
|
|
= — 0,1262r3a/1 + a2 |
|
||||||
d |
|
Г |
r4ao |
I НЪ\-°>132] |
|
|
|
г-------- / |
in \-0,Ш |
||||
0,1012 #- |
|
(| |
J |
=0,1262Н/1 + |
а2( |
—) |
|||||||
dr L |
|
|
\ у / |
|
|
|
|
\ |
у / |
||||
Решение ищем в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
(4.26) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
причем показатели и и z определим из условия, чтобы в урав нениях (4.26) сократились множители, являющиеся степе-
.нями г. Это дает
—— 0,016,
§ 17] ПРИМЕНЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ СКОРОСТЕЙ 77
В результате после подстановки (4.27) в (4.26), дифференци рования и сокращений получим:
О.356аоР°’М8 — 0,1578p°’81R — 0,1262 (1 |
+ )*a |
0’482 aop-0,184, ( |
||
a0 = О.О2693Р-1'03'2 (1 |
4- a2)0,402, |
' j |
||
откуда следует |
|
|
|
(4.28) |
|
|
|
|
|
a0 = 0,4565(1 +a2)-°’08, |
] |
|
(4-29) |
|
0 445 |
|
} |
|
|
0,0643 (1 +a2)0,4, |
, |
j |
|
|
Таким образом, получаем: |
|
|
|
|
a = 0,4565(-^-)_n’°lfi(l +a2)“°'°ie. |
(4.30) |
|||
Так как множитель (1 + a2)-n’oie пренебрежимо мало отли чается от 1, то в формулах (4.29) можно полагать
С помощью полученных величин определяем момент сопро тивления двух сторон диска радиуса /?:
- 8
2А4 = 4тс/?2р *J vrv4 dz
- о
Для коэффициента момента см получим формулу |
|
|
сп = 0,1136R-0’181 (1 + 0,21 R-0’232)0'318. |
(4.31) |
|
Толщина пограничного слоя определится выражением |
||
0,0643R‘°’01G(l +0,21 R-0’032)0’483. |
(4.32) |
|
Из этой формулы следует, что интервал In |
— 8,5 -ч- 13 |
|
соответствует интервалу значений R^9- 104-:-9- 10е. Аналогичные выражения для других двух интервалов дают
следующие формулы:
78 |
ТУРБУЛЕНТНОЕ |
ТЕЧЕНИЕ |
ВОКРУГ ДИСКА |
[гл. IV |
в |
интервале значений |
R от 104 |
до 9- 104 |
|
см = 0,0229R-O’239(l 4-0,395R-o’o8)0’24,s
= O,O853R~°'043 (1 + 0,395 R-0,08)0’46, |
(4.33) |
|
а= 0,629R~°’°43(l + 0,395R“°’O8)“<)'013;
винтервале значений R от 6,4- 107 до 3,3- 109
cjV = 0,042R~°’122,
=0,0515, |
(4.34) |
а = 0,342. |
|
На рис. 22 нанесены значения |
см для рассматриваемых |
чисел Рейнольдса r’m/v.
трех интервалов. Все эти значения объединяются общей фор мулой
\/ см = 0,982 (lg R)~2'58. |
(4.35) |
Эта зависимость изображена кривой IV, являющейся огибаю щей кривых /, //, III.